连续统假设的否定

连续统假设的否定（一）
陈守仁*
摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定连续统假设。

关键词：连续统假设，不可数集，凝聚点，有界闭集，一致连续。

一、 连续统假设的推论3[1]
在(-∞,+∞)的一个不可数子集E 上，存在一个连续函数f(x)，使得它在E 的任一个不可数子集上都不是一致连续的。

下面我们证明此推论不成立。

二、 证明过程
引理一、任何不可数集E 中，都至少包含一个凝聚点M ，且M ∈E 。

证：分两种情况讨论：
（一）当E 为有界不可数集时
假设集合E 不含凝聚点，下面再分三种情况探讨：
（1） E 中只含一些孤立点，则E 为至多可数集，即E≤a [2]。

（2） E 中只含一般的聚点，设M 1为E 中一聚点，则以M 1为中心的任一
邻域内都含有E 中可数无限个点，集合E 必包含于以M 1为中心的
某一邻域内（因E 有界），此邻域包含E 中可数个点，且包含E 中
全部的点，故E 为可数集。

即E=a 。

（3） E 中既有孤立点，也有一般的聚点，即E=E 1+E 2。

其中E 1中只含
孤立点，E 2中只含一般的聚点。

所以…….E =E 1+E 2≤E 1+E 2=a+a=a 。

从以上三种情况都可证出E ≤a ，和E=C 的假设（因假设E 为不可数集）矛盾，故E 中至少含有一个凝聚点M 。

下面再分两种情况讨论：
(a) 若M 为E 的内点，则M ∈E 。

(b) 若M 为E 的边界点，则M 可能属于E ，也可能不属于E 。

当M ∈E 时，问题已解决；当M ∉ E 时，因M 为E 的凝聚点，则以M
为中心的任一邻域δ内，都含有E 中不可数的点。

用E δ表示δ邻域中
所有E 中点的集合，则E δ为不可数集。

因为M ∉ E ，故M ∉ E δ。

设= = =
= = =
=
M1为Eδ中任一点，因M ∉Eδ，而M1∈Eδ，所以M1≠M。

现在以M1为
中心，δ长为半径，做一个邻域δ
1，则Eδ就被δ
1
覆盖，于是δ
1
中也含有
E中不可数的点。

因为δ邻域的长是任意的，而δ1比δ长一倍，故δ1邻
域的长也是任意的，这样，以M1为中心的任一δ
1
邻域内，都含有E中不可数的点，所以M1为E的凝聚点，且M1∈Eδ⊂E。

这就证明了在任意
有界不可数集E中，皆至少含有一个属于E的E的凝聚点。

（二）当E为无界不可数集时
当E为无界不可数集时，E中至少有一个有界不可数子集，否则若E中任一有界子集皆为至多可数集（注解1）,则集合E就成为可数个可数集的并集，仍为可数集，这就和E为不可数集的假设矛盾。

假设集合E中有一个有界不可数子集E1，根据（一）中所证，E1中至少含有一个凝聚点M1，且M1∈E1。

则以M1为中心的任一邻域内，都含有E1中不可数的点，因E1⊂E，故以M1为中心的任一邻域内，都含有E中不可数的点，即M1也是E的凝聚点，且M1∈E。

这就证明了无界不可数集也含有属于它的凝聚点。

综上所述，任何不可数集E中，都至少含有一个凝聚点M，且M∈E，引理一得证。

引理二、设E1为不可数集E中所有凝聚点的集合，则E1为不可数集。

证：由于E1为E中所有凝聚点的集合，则集合（E-E1）中就不含凝聚点，从引理一（一）的证明过程中就可看出E-E1≤a。

如E1不是不可数集，E1必为至多可数集（注解1）,则E1≤a，这时E=E1+(E-E1) ≤E1+E-E1≤a+a=a，即E为至多可数集，和E为不可数集的假设矛盾，所以E1为不可数集，引理二得证。

引理三、设E为不可数集，且E中所有的点都是E中的凝聚点，则E中任意一个由凝聚点组成的有界子集E1也是不可数集（E未必有界）。

证：由于E1⊂E，设M1为E1中任一点，则M1∈E1⊂E，根据假设，E1中所有的点都是E中的凝聚点，M1也不例外，则以M1为中心的任一δ邻域内，都含有E
中不可数的点。

我们这样选取δ邻域：（一）、M1为E1的内点，选取时把δ邻域的两个端点都选在E1的边界内，并称新选取的邻域为δ1。

（二）、M1为E1
的边界点（M1∈E1），选取时把δ邻域的一个端点落在E1的边界内，称δ邻域在E1内部的一半为δ1，由于M1为E的凝聚点，故不论M1为E1的内点或边界点，
δ1邻域内都含有E 中不可数的点，即δ1=c 。

又因为E 为不可数集，所以E=c ；又由于δ1⊂E 1⊂E ，因此就得出
c=δ1≤E 1≤E=c (1)
否则，若（1）式不成立，就有
δ1＞E 1 (2)
或有
E 1＞E (3)
但（2）、（3）两式皆和δ1⊂E 1⊂E 矛盾，因此都不能成立。

最后由（1）式得出c≤E 1≤c ，即E 1=c ，所以E 1为不可数集，引理三得证。

引理四、在有界闭集E 上连续的函数f (x )在E 上一致连续。

证：设x 0为E 中任一点，x 为E 中异于x 0任一点（即x≠x 0），因假设f (x )在E 上连续，故f (x )在x 0也必连续（因x 0∈E ）。

因此对于任意给定的ε＞0，必存在一个δ＞0，当|x-x 0|＜δ时，就有|f(x)-f(x 0)|＜ε成立。

我们假设f (x )在E 上不一致连续，则对于某一个ε0＞0，不管δ多麽小，在
闭集E 上总可找到两点x 1和x 2，虽然| x 1-x 2|≥δ，但仍有
|f(x 1)-f(x 2)|≥ε (1)
由于f (x )在E 上连续，故f (x )在x 2也应该连续(因x 2∈E )，则当|x 1-x 2|＜δ0（δ0为某一正数，δ0随ε0而定），有
|f(x 1)-f(x 2)|＜ε0 (2)
这就和（1）式矛盾，所以f (x )在E 上一致连续，引理四证毕。

在这里，我们应注意两点：
（一）此引理是数学分析中康托定理[3]的推广，康托定理只通用于闭区间，而此引理却适用于任意有界闭集。

（二）集合E 有界且为闭集这两个条件缺一不可，否则此引理就不成立，请看以下两个反例[3]：
a) f(x)=x 2在(-∞,+∞)连续，但在(-∞,+∞)却不一致连续（因(-∞,+∞)无界）。

b) f(x)= 在（0,1）连续，但在（0,1）却不一致连续（因（0,1）为开集）。

= =
=
= = = = = = = = x — 1
定理一、（推论3的否定） 设E 为(-∞,+∞)中的任一个不可数子集，f (x )是定义在E 上的任一个连续函数，则至少存在E 的一个有界不可数子集E 1，使f (x )在E 1上一致连续。

证：因E 为不可数集，根据引理一，E 中至少含有一个E 的凝聚点M ，且M ∈E 。

设E 中所有凝聚点的集合为E 1，根据引理二，E 1为不可数集。

由于f (x )在E 上连续，则f (x )在E 的子集E 1上也连续，否则若f (x )在E 的子集E 1上某一点x 1间断，由于x 1∈E 1⊂E ，所以f (x )在E 上就有间断点x 1，和f (x )在E 上连续的假设矛盾。

又由于E 1为E 中所有凝聚点的集合，故E 1为完全集（注解2）,也是闭集，但E 1未必有界。

下面分两种情况讨论：
（一）、当E 1无界时，可在E 1中选取有界的一段E 1，选取时要把E 1的边界点放在E 1内，这时E 1就成为有界闭集（注解3）, f (x )既在E 上连续，则f (x )在E 1的子集E 1上也连续（其证法和f (x )在E 1上连续的方法相同），根据引理四，f (x )在E 1上一致连续，又因为E 1为不可数集，且E 1全由凝聚点组成，根据引理三，E 1的有界子集E 1也是不可数集。

（可以证明E 1中都是凝聚点）
（二）、当E 1有界时，可把E 1记作E 1，前面已证出E 1即E 1为不可数集，
且E 1即E 1为有界闭集，又证明了f (x )在E 1即E 1上连续，根据引理四，f (x )在E 1即E 1上一致连续。

这样对(-∞,+∞)中的任一个不可数子集E 上的任一个连续函数f (x )，都至少存在E 的一个有界不可数子集E 1（因E 1⊂E 1⊂E ），使f (x )在E 1上一致连续，这就和推论3矛盾，因此推论3被推翻。

三、 连续统假设的否定
任何命题都和其逆否命题等价，推论3是在连续统假设成立的假设下推导出来的，现在证出了推论3不成立，说明连续统假设也不成立。

通常所说的连续统假设指的是狭义连续统假设，它是广义连续统假设的特殊情况，狭义连续统假设不成立，广义连续统假设也不能成立。

这样，这个百余年来号称第一数学难题的命题，终于得到彻底解决。

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注解（1）：这里我们假设a 和c 之间没有中间势，即假设连续统假设成立。

推论3是在连续统假设成立的假设下推导出来的，现在根据同样的假设又证出推论3不成立，这就发生矛盾，这就说明连续统假设不成立。

注解（2）：即E 1中所有的点都是E 的凝聚点，也都是E 1的凝聚点；而且E 中所有的凝聚点（也就是E 1中所有的凝聚点）都在E 1中，故E 1为完全集。

注解（3）：集合E 1有界是有意构 造的，由于E 1 ⊂E 1，仿照前面证明f (x )在E 1上连续的证法，可以证出E 1中所有的内点和边界点都是E 的凝聚点，也都是
E 1的凝聚点，而且这些点都属于E 1，有界集合E 1既包含自己所有的凝聚点，故E 1为闭集。

参考文献
（1）张锦文，王雪生.连续统假设 [M].沈阳：辽宁教育出版社.1989.
（2）程其襄等.实变函数与泛函分析基础 [M].北京：高等教育出版社.1983.
（3）华东师范大学数学系，数学分析，高教出版社.1981.
* 作者：陈守仁， 河北大学数学系本科毕业，退休前任天津家用电器五厂职工业校数学教师。

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