江苏省连云港市高二数学下学期期末模拟(理)试题苏教版

第16题图
连云港市高二理科数学第二学期期末模拟试题
一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共80分． 1．双曲线22
28x y -=的实轴长是 .
2. “若a M ∉或a P ∉，则a M P ∉”的逆否命题是_ __ ___ __．
3．在数学归纳法证明“1
2
11(1)1n n
a a a a a n a
+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为
.
4.已知命题P ：∈∃x R ，0322
>-+x ax ．如果命题 ⌝P 是真命题，那么a 的范围是 ． 5．已知复数lg (lg )i z m n =+，其中i 是虚数单位．若复数z 在复平面内对应的点在直线y x =-上，则mn 的值等于
.
6．已知可逆矩阵2 73a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵 2 7 b a --⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
1A ，则a b += .
7.已知过曲线3cos ,(4sin x y θθθ
=⎧⎨
=⎩为参数，0)θπ≤≤上一点P 与原点O 的直线OP 的倾斜角为4π
，则点P 的
极坐标为 .
8．数列{}n a 满足：11a =，且对任意的*
,m n N ∈都有：m n m n a a a mn +=++，则
123111a a a +++…＋2012
1
a ＝____ ____.
9．在空间直角坐标系O xyz -中，过点(4,2,3)M --作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点
(,,0)P x y 的坐标满足条件
．
10．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于 .
11. 设1m >，在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围
为 .
12．已知三次函数3221
()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，
则m 的取值范围为
．
13．5
12a x x x x ⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 .
14．已知2
()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是
．
15．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，上的最大值是20，则实数m 的值等于 ． 16． 如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上
面．将
n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ；
则：（1）(3)f = (2) ()f n = .
二、解答题：本大题共8小题，共120分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题14分）设矩阵0 0
a
b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
M （其中0,0a b ><）.
（1）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵-1M ；
（2）若曲线2
2
:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2
/
2:14
x C y +=，求,a b 的值.
18. （本小题14分）已知某圆的极坐标方程为2
42cos()604
π
ρρθ--+=，求：
（1）圆的普通方程和参数方程；
（2）圆上所有点(,)x y 中xy 的最大值和最小值.
19．（本小题14分）已知关于,x y 的方程组(21)(3)(2)(4)98x i y y i
x ay x y b i i
-+=--⎧⎨
+--+=-⎩有实数解，求,a b 的值．
20、（本小题14分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人来
该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11
,
42
；两小时以上且不超过三
小时还车的概率分别为11
,
24
；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；21．（本小题16分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面
ABCD,
90
=
∠
=
∠ADC
BAD,
1
2
AB AD CD a ，2
PD a.
(1)若M为PA中点，求证：//
AC平面MDE；
(2)求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小.
22. （本小题16分）已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点A(0,1)和直线l：y＝x＋m，线段AB是椭圆E的一条弦并且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．
23. 设d为非零实数，12211*
1
(2(1)]()
n n n n
n n n n n
a C d C d n C d nC d n N
n
--
=+++-+∈
(1)写出
123
,,
a a a并判断{}
n
a是否为等比数列。

若是，给出证明；若不是，说明理由；
(2)设*
()
n n
b nda n N
=∈，求数列{}
n
b的前n项和
n
S．
24．（本小题16分）已知函数3
()31
f x x ax
=+-，()()5
g x f x ax
'
=--，其中()
f x
'是()
f x的导函数．
（1）对满足11
a
-≤≤的一切a的值，都有()0
g x<，求实数x的取值范围；
（2）设2
a m
=-，当实数m在什么范围内变化时，函数()
y f x
=的图象与直线3
y=只有一个公共点．
A B
C
E
P
D
M
模拟试题八答案 一、填空题
1.4；
2. 若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P ；
3. 1a +；
4. 3
1
-≤a ； 5. 1 ； 6. 8；
7.122(
,)54π； 8. 40242013
； 9. 4x ＋2y ＋29＝0； 10. 13
22或； 11. (1,12)+； 12. 42≤≤m ； 13. 40； 14. 12a <≤； 15. 2-； 16. 7， 21n -.
二、解答题
17.答案：（1）01 2103-⎤
⎡⎥⎢=⎥⎢⎣
⎦1
M
； ………………………7分
（2）2,1a b ==. ………………………14分
18.答案：（1）2
224460,,(22x x x y y α
αα
⎧=+⎪--+=⎨=+⎪⎩为参数）； ………………………7分
（2）max min ()9,()1xy xy ==. ………………………14分
19. 解：⎩
⎪⎨
⎪⎧
(2x －1)＋i ＝y －(3－y )，
(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i
由第一个等式得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －1＝y 1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
52
y ＝4
. ………………………7分
将上述结果代入第二个等式中得5＋4a －(10－4＋b )i ＝9－8i.由两复数相等得⎩⎪⎨
⎪⎧
5＋4a ＝9
10－4＋b ＝8，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝2
. ………………………14分
20. 解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为1111428P =
⋅=，付2元为2111
248
P =⋅=，付4元为3111
4416
P =⋅=.……………………………………………………………………………3分
则所付费用相同的概率为1235
16
P P P P =++=
. ………………………………6分 (2)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8 ……………………………8分
1
(0)8
11115(2)442216
1111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416
P P P P P ξξξξξ
====⋅+⋅=
==⋅+⋅+⋅===⋅+⋅=
==⋅=
分布列
ξ 0
2
4
6
8
P
18
516
516
316
116
84822
E ξ=+++=………………………………………………………………16分
21. (1) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，
在PAC ∆中，∵,M N 分别为两腰,PA PC 的中点
∴//MN AC …………2分 又AC ⊄面MDE ，MN ⊂面MDE , 所以 //AC 平面MDE …………5分
(2)以D 为空间坐标系的原点，分别以 ,,DA DC DP 所
在直线为,,x y z 轴
建立空间直角坐标系，
则2),(,,0),(0,2,0)P a B a a C a
(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-………8分
设平面PAD 的单位法向量为1n ，
则可设1(0,1,0)n = …………10分
N
E
D
C
B
A
P
y
z
M
设面PBC 的法向量2(,,)n x y z =，应有
22(,,)(,,2)0
(,,)(,,0)0
n PB x y z a a a n BC x y z a a ⎧⋅=⋅-=⎪⎨
⋅=⋅-=⎪⎩ 即：200
x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，
则2222x y =
=)1,2
2
,22(2=n …………13分 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，
∴12
122
1
2cos 212n n n n θ⋅===⋅⋅ …………15分
60=∴θ，所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为 60………16分
22.解：(1)由e ＝c a ＝
32
，2a ＝4，得c ＝3，而a 2－b 2＝c 2
，则b ＝1， ………3分 故椭圆E 的标准方程为x 2
4＋y 2
＝1. ……………………6分
(2)由条件可得直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.于是，有
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ＋1x 24
＋y 2
＝1，则5x 2
－8x ＝0， ……………………9分
故x B ＝85，y B ＝－x B ＋1＝－3
5. ……………………11分
设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得x M ＝45，y M ＝1
5， ……………………14分
由此及点M 在直线l 上得15＝45＋m ⇒m ＝－3
5. ……………………16分
23. 解 ：（1）2
123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=+ ………………3分
01223
111(1),(1)n n
n n n n n n n n a C d C d C d C d d d a d d --+=+++
+=+=+
1
1n n
a d a +=+. 因为d 为常数，所以{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列.………………7分
（2）21202122
21(1),(1)2(1)3(1)(1)n n n n b nd d S d d d d d d nd d --=+=++++++
++
20121[(1)2(1)3(1)(1)](1)n d d d d n d -=++++++++
2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)](2)n n d S d d d d n d +=++++++
++
（2）-（1）2
221(1(1))
[
(1)()(1)1(1)n n n n d dS d d n d d d n d d d ⋅-+==-++=+-+-+ …………14分 1(1)(1)n n S dn d ∴=+-+. ………………16分
24.解：（1）由题意，得2
2
()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2
()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．
对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，
(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨
-<⎩，，即2
232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，
，
解得213x -<<． 故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，
时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <；…………………6分 （2）2
2
()33f x x m '=-，
①当0m =时，3
()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点；…………………8分 ②当0m ≠时，列表：
x ()m -∞-，
m - ()m m -，
m ()m +∞，
()f x '
+
-
+
()f x
极大值
最小值
3
2()()()311f x f m m m m ∴==--<-极小， …………………11分
又
()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，
∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．
当x m <-时，恒有()()f x f m -≤，
由题意，得()3f m -<，即3
2
21213m m m -=-<，
解得33
(2(02)m ∈，，． …………………14分
综上，m 的取值范围是33
(22)，
． …………………16分。