人教B版高中数学选择性必修第三册课后习题 复习课 第1课时 数列

第1课时数列
课后训练巩固提升
1.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A.1
3B.-1
3
C.1
9
D.-1
9
解析:由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,
又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1=1
9
.
答案:C
2.已知等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则数列{a n}的前n 项和S n=( )
A.n(n+1)
B.n(n-1)
C.n(n+1)
2D.n(n-1)
2
解析:由题意,得a2,a2+4,a2+12成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得a2=4,
即a1=2,所以S n=2n+n(n-1)
2
×2=n(n+1).
答案:A
3.设首项为1,公比为2
3
的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )
A.S n=2a n-1
B.S n=3a n-2
C.S n=4-3a n
D.S n=3-2a n
解析:方法一:因为等比数列的首项为1,公比为2
3
,S n =
a 1-a n q 1-q
=
1-23
a n 1-23
,所以
S n =3-2a n . 方法二:S n =1-(23)
n 1-23
=3-3×(23)n =3-2(23
)
n -1
,a n =(23
)
n -1
,观察四个选项可知选D.
答案:D
4.(多选题)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,已知S 14>0,S 15<0,下列说法正确的有( ) A.a 1>0,d<0 B.a 7+a 8>0
C.S 6与S 7均为S n 的最大值
D.a 8<0
解析:因为等差数列{a n }的前n 项和是S n ,且S 14>0,S 15<0,所以S 14=
14×(a 1+a 14)
2
=7(a 1+a 14)=7(a 7+a 8)>0,即a 7+a 8>0,S 15=
15×(a 1+a 15)
2
=15a 8<0,即
a 8<0,则a 7>0,所以等差数列{a n }的前7项为正数,从第8项开始为负数,则a 1>0,d<0.所以S 7为S n 的最大值.选项A,B,D 正确.故选ABD. 答案:ABD
5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列{1a n a n+1
}的前100
项和为( )
A.
100101
B.
99
101
C.
99
100
D.
101100
解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. ∵a 5=5,S 5=15,∴{a 1+4d =5,
5a 1+5×(5-1)
2
d =15.
∴{a 1=1,
d =1.∴a n =a 1+(n-1)d=n. ∴
1a n a n+1
=
1n (n+1)
=1n
−
1n+1
,
∴数列{
1
a n a n+1
}的前100项和为1-1
2+1
2−1
3+…+1
100−1
101=1-1
101=100
101.
答案:A
6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n +n,则a 1= ,数列{a n }的通项公式a n = .
解析:因为S n =2a n +n,所以当n=1时,S 1=a 1=2a 1+1,所以a 1=-1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n +n-2a n-1-n+1,即a n =2a n-1-1,即a n -1=2(a n-1-1),所以数列{a n -1}是以-2为首项,2为公比的等比数列,所以a n -1=-2n ,所以a n =1-2n . 答案:-1 1-2n
7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=5. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{
1a 2n -1a 2n+1
}的前n 项和.
解:(1)设数列{a n }的公差为d,则S n =na 1+n (n -1)2
d.
由已知可得{
3a 1+3d =0,5a 1+10d =-5,解得{a 1=1,
d =-1.
故数列{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)由(1)知1a 2n -1a 2n+1
=
1
(3-2n )(1-2n )
=
1212n -3−
12n -1,
从而数列{1
a
2n -1a 2n+1
}的前n 项和为1
2×(1
-1-1
1+1
1-1
3+…+1
2n -3-1
2n -1)=
n 1-2n
.
8.已知数列{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a
n 2n
}的前n 项和. 解:(1)方程x 2-5x+6=0的两根为2,3, 由题意得a 2=2,a 4=3.
设数列{a n }的公差为d,则a 4-a 2=2d,故d=1
2,
从而a 1=3
2
.
所以数列{a n }的通项公式为a n =1
2
n+1.
(2)设数列{a
n 2n }的前n 项和为S n . 由(1)知
a n 2n
=
n+22
n+1
,则S n =32
2+42
3
+…+n+12n
+
n+22
n+1
,12S n =32
3+42
4
+…+n+1
2
n+1
+n+22n+2
.
两式相减得12
S n =
32
2
+12
3
+1
24+…+12
n+1
−n+22n+2
=12
+12
2
+12
3
+12
4+…+1
2n+1
−
n+22n+2
=
12(1-1
2
n+1)1-12
−
n+22
n+2
=1-n+4
2
n+2
,所以S n =2-n+4
2n+1
.。