《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练 9-6 Word版含解析

双曲线几何性质的解题误区
[典例] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，
则C 的方程为( )
A.x 220－y 2
5＝1 B.x 25－y 2
20＝1 C.x 280－y 2
20
＝1 D.x 220－y 2
80
＝1 [审题视角] 1.因对双曲线的几何性质不清，误以为c ＝10，错选C ； 2．因对双曲线渐近线理解不清而毁灭渐近线求解错误，错解成12＝a
b ，从而错
选B.
[解析] 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排解C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝1
2x ，得12
＝b a ，解得a 2＝20，b 2＝5.
[答案] A
解决与双曲线性质有关的问题时，还易毁灭对a ，b ，c 之间的关系式c 2＝a 2
＋b 2与椭圆中a ，b ，c 之间的关系式a 2＝c 2＋b 2的混淆，从而毁灭解题错误等．
1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2
9＝1有相同的焦点，且双曲
线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析：由题意知双曲线的焦点为(－7，0)，(7，0)，即c ＝7，又由于双曲
线的离心率为e ＝c a ＝27
4，所以a ＝2，故b 2＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23
＝1.
答案：x 24－y 2
3
＝1
2．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x ，且经过点A (2，－3)，则双曲线的标
准方程为________．
解析：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x ，
若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9
b 2＝1.②
由①②联立，无解．
若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4
b 2＝1.④
由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 2
32＝1.
答案：y 28－x 2
32
＝1。