高中数学高考总复习-集合与函数概念知识点及习题

高中数学高考总复习-集合与函数概念知识点及习题
第一章集合与函数概念
知识网络
第一讲集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
4.常见集合的符号表示
表示
关系
文字语言符号语言
相等集合A与集合B中的所有元素
都相同
B
A⊆且A
⊆
B⇔
B
A=
子集A中任意一元素均为B中的元
素
B
A⊆或A
B⊇
真子集A中任意一元素均为B中的元
素，且B中至少有一元素不是
A的元素
A B
空集空集是任何集合的子集，是任
何非空集合的真子集
A
⊆
φ，φB（φ
≠
B）三：集合的基本运算
①两个集合的交集:A B
I= {}
x x A x B
∈∈
且;
②两个集合的并集: A B
U={}
x x A x B
∈∈
或;
③设全集是U,集合A U
⊆,则
U
C A={}
x x U x A
∈∉
且
交并补
I U
{|,}
A B x x A x B
=∈∈
I且{|,}
A B x x A x B
=∈∈
U或
U
C A={}
x x U x A
∈∉
且
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；
2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，{})(x f
y
x=如、{})(x f
y
y=、{})(
)
,
(x
f
y
y
x=等的差别，如果对集合中代表元素
认识不清， 将导致求解错误：
问题：已知集合221,1,9432x y x y M x
N y ⎧⎫⎧⎫
=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法， 在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用
Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集， 即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集， 即A A ⊆
（3）子集、真子集都有传递性， 即若B A ⊆， C B ⊆， 则C A ⊆ 4．集合的运算性质
（1）交集：①A B B A I I =；②A A A =I ；③φφ=I A ；④A B A ⊆I ， B B A ⊆I ⑤B A A B A ⊆⇔=I ；
（2）并集：①A B B A Y Y =；②A A A =Y ；③A A =φY ；④A B A ⊇Y ， B B A ⊇Y ⑤A B A B A ⊆⇔=Y ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U I ；U A C A U =Y
②)()()(B C A C B A C U U U Y I =；)()()(B C A C B A C U U U I Y =
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设
{}{}1,2,0,2A B ==， 则集合A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6 题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）
A ．X Y ；
B ．Y X ；
C ．Y X =；
D ．Y X ≠ [新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行， 若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}， 集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}， 集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}， 则下列关系正确的是（ ）
A ．
B A ⊆ B.
C B ⊆ C.C B A =I D. A C B =Y
2．(2006•山东改编）定义集合运算:{
}
B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 2
2,设集合
{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为
3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合， 定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|， 如果
P=(0,3)， {}1<=x x Q ,那么Q P -等于
4．研究集合{
}42
-==x y x A ， {
}42
-==x y y B ， {
}
4),(2
-==x y y x C 之间的关系 考点二：集合的基本运算
[例3] 设集合{
}
0232
=+-=x x x A ， {
}
0)5()1(22
2=-+++=a x a x x B （1） 若{}2=B A I ， 求实数a 的值； 若A B A =Y ， 求实数a 的取值范围 [新题导练]
7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ， {}
4),(=-=y x y x N ， 那么集合N M I 为（ ）A.1,3-==y x ；B.)1,3(-；C.{}1,3-；D.{})1,3(-
8．集合{|10}A x ax =-=,{}
2|320B x x x =-+=,且A B B =U ,求实数a 的值.
备选例题1：已知{}
1+==x y y M ， {}
1),(2
2
=+=y x y x N ， 则N M I 中的元素个数
是（ ）
A. 0；
B. 1；
C.2；
D.无穷多个
★抢分频道
基础巩固训练：
1． 设全集{}{}
R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图
中阴影部分表示的集合为 ( )
A ．{}
0x x >；B ．{}30x x -<<；C ．{}31x x -<<-；D ．{
1x x <- 3. 集合{1,0,1}-的所有非空子集个数为
4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A 中的代表元素设为x ， 集合B 中的代表元素设为y ， 若B x ∈∃且A y ∈∀， 则A 与B 的关系是
[解析]A B ⊆ 或A B ⋂≠∅；由子集和交集的定义即可得到结论
5．(2008年天津)设集合{}
{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-=Y ,8|,32|， 则a 的取值范围是（ ）
A ．13-<<-a ；
B ．13-≤≤-a
C ．3-≤a 或1-≥a ；
D ．3-<a 或1->a
[解析]A ；{}{}
5132|>-<=>-=x x x x x S 或， {}8|+<<=a x a x T ， R T S =Y 所以⎩⎨
⎧>+-<5
81
a a ， 从而得13-<<-a
综合提高训练：
6．{}01<<-=m m P ,{
}
恒成立对于任意实数x mx mx R m Q 0442
<-+∈= 则下列关系中立的是( )
A ．P Q ;
B ．Q P ;
C ．Q P =;
D ．φ=Q P I
[解析]A ；当0≠m 时， 有⎩
⎨⎧<-⨯⨯-=∆<0)4(4)4(0
2
m m m ， 即 {}01<<-∈=m R m Q ；当0=m 时， 0442<-+mx mx 也恒成立， 故 {}01≤<-∈=m R m Q ， 所以P Q
7.设)(12)(N n n n f ∈+=， {
}5,4,3,2,1=P ， {}7,6,5,4,3=Q ， 记 {}P n f N n P ∈∈=)(ˆ， {}
Q n f N n Q ∈∈=*)(ˆ， 则)ˆˆ()ˆˆ(P C Q Q C P N N I Y I ＝( )
A. {}3,0;
B.{
}2,1; C. {}5,4,3; D. {}7,6,2,1 [解析] A ；依题意得{}2,1,0ˆ=P ， {}3,2,1ˆ=Q ， 所以{
}0)ˆˆ(=Q C P N I ， {
}3)ˆˆ(=P C Q N I ， 故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合， 定义
{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且， 已知A=2{|2}x y x x =-， B={|2,0}x y y x =>，
则A ×B 等于（ ）
A ．[)0,+∞；
B ．[][)0,12,+∞U ；
C ．[)[)0,12,+∞U ；
D ．[]0,1(2,)+∞U
[解析]D ；22002x x x -≥⇒≤≤， ∴A=[0， 2]， 021x x >⇒>， ∴B=（1， ＋∞），
∴A ∪B=[0, ＋∞）， A ∩B=（1， 2]， 则A ×B ＝[]0,1(2,)+∞U
第2讲 函数与映射的概念
★知识梳理
1．函数的概念 (1)函数的定义：
设B A 、是两个非空的数集， 如果按照某种对应法则f ， 对于集合A 中的每一个数x ，
在集合B 中都有唯一确定的数和它对应， 那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数， 通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域
在函数A x x f y ∈=),(中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合{}
A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念
设B A 、是两个集合， 如果按照某种对应法则f ， 对于集合A 中的任意元素， 在集合
B 中都有唯一确定的元素与之对应， 那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射， 通常记为B A f →:
★重、难点突破
重点：掌握映射的概念、函数的概念， 会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域， 如果没有弄清所给函数之间的关系， 求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，， 求)2(+=x f y 的定义域
[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，， 所以b x a ≤≤， 从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a
[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，， 所以在函数)2(+=x f y 中， b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ， 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围
问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，， 求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，， 所以得到b x a ≤+≤2， 从而
22-≤≤-b x a ， 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a
[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，， 则b x a ≤≤， 从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围
即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同
2． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 如求函数
4cos 2sin 2+--=x x y ， 可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 如函数
)32(log 22
1++-=x x y 就是利用函数u y 2
1log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数2
21
22
+-+=
x x x y 的值域 由2
2122+-+=x x x y 得012)1(22
=-++-y x y yx ， 若0=y ， 则得21-=x ， 所以0
=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ， 则由0)12(4)]1(2[2
≥--+-=∆y y y 得
021332133≠+≤≤-y y 且， 故所求值域是]2
13
3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数1
cos 3
cos 2+-=x x y 的值域， 因为
1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ， 而]2,0(1cos ∈+x ， 所以]2
5
,(1cos 5--∞∈+-x ， 故
]2
1
,(--∞∈y
（5）利用基本不等式求值域：如求函数4
32+=x x
y 的值域
当0=x 时， 0=y ；当0≠x 时， x
x y 43+
=
， 若0>x ， 则44
24=⋅≥+
x
x x x 若0<x ， 则4)4()(2)4(4=-⋅-≤-+--=+
x x x x x x ， 从而得所求值域是]4
3
,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(222
4
-∈+-=x x x y 的值域
因)14(2282
3
-=-=x x x x y ， 故函数])2,1[(222
4
-∈+-=x x x y 在)2
1
,1(--上递减、
在)0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增， 从而可得所求值域为]30,8
15
[
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出， 则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。

★热点考点题型探析
考点一：判断两函数是否为同一个函数
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）2)(x x f =， 33)(x x g =；
（2）x
x x f =
)(， ⎩⎨
⎧<-≥=;
01
,01)(x x x g
（3）1212)(++=n n x x f ， 1
212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；
（4）x
x f =)(1+x ， x x x g +=
2)(；
（5）12)(2
--=x x x f ， 12)(2
--=t t t g
[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数， 就要考查函数的三要素。

[解析] （1）由于x x x f ==
2)(， x x x g ==33)(， 故它们的值域及对应法则都不相
同， 所以它们不是同一函数.
（2）由于函数x
x x f =
)(的定义域为),0()0,(+∞-∞Y ， 而⎩⎨
⎧<-≥=;
01
,01
)(x x x g 的定
义域为R ， 所以它们不是同一函数.
（3）由于当n ∈N *时， 2n ±1为奇数， ∴x x x f n n ==++1212)(， x x x g n n ==--1
212)()(，
它们的定义域、值域及对应法则都相同， 所以它们是同一函数.
（4）由于函数x
x f =
)(1+x 的定义域为{}
0≥x x ， 而x x x g +=
2)(的定义域为
{}10-≤≥x x x 或， 它们的定义域不同， 所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同， 所以它们是同一函数.
[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的， 所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致， 即称这两个函数为同一函数。

第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。

原因是对函数的概念理解不透， 在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下， 自变量变换字母对于函数本身并无影响， 比如1)(2
+=x x f ，
1)(2+=t t f ， 1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数.
[新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数x y =相同的是( )
A .y = (x )2
; B. y =
y =2x
; D. y =
x
x 2
[解析] B ；因为y =
t =， 所以应选择B
2．(09年重庆南开中学)与函数)
12lg(1
.0-=x y 的图象相同的函数是 （ ）
A.)21(12>
-=x x y ；B.121-=x y ；C.)21(121>-=x x y ； D.|1
21
|-=x y
[解析] C ；根据对数恒等式得1
2110
1.01
21
lg
)
12lg(-=
==--x y x x ， 且函数)
12lg(1.0-=x y 的定义域为),2
1(+∞， 故应选择C 考点二：求函数的定义域、值域
题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数=
)(x f )4323ln(1
22+--++-x x x x x
的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞Y ;B.)1,0()0,4(Y -；C. ]1,0()0,4[,Y -;D. )1,0()0,4[,Y - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。

[解析]欲使函数)(x f 有意义， 必须并且只需
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠>+--++-≥+--≥+-0043230
430232
2
2
2x x x x x x x x x )1,0()0,4[Y -∈⇒x ， 故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域， 则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围， 实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中， 底数不等于0；⑤负分数指数幂中， 底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成， 则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题， 还应使得实际问题有意义， 而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则， 实际问题的定义域不要漏写。

题型2：求抽象函数的定义域
[例3]（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg ， 则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4Y -；B . ()()4,11,4Y --；C . ()()2,11,2Y --；D . ()()4,22,4Y --
[解题思路]要求复合函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域， 应先求)(x f 的定义域。

[解析]由202x x +>-得， ()f x 的定义域为22x -<<， 故22,222 2.x
x
⎧
-<<⎪⎪
⎨
⎪-<
<⎪⎩
解得()()4,11,4x ∈--U 。

故⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4Y --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ， 则函数[()]f g x 的定义
域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地， 若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ， 指的是[,]x a b ∈， 要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。

题型3；求函数的值域
[例4]已知函数)(6242
R a a ax x y ∈++-=， 若0≥y 恒成立， 求32)(+-=a a a f 的值域
[解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围， 然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意， 0≥y 恒成立， 则0)62(4162
≤+-=∆a a ， 解得2
31≤≤-a ， 所以4
17
)2
3
()3(2)(2+
+-=+-=a a a a f ， 从而4)1()(max =-=f a f ， 419)23()(min
-==f a f ， 所以)(a f 的值域是]4,4
19[-
【名师指引】求函数的值域也是高考热点， 往往都要依据函数的单调性求函数的最值。

[新题导练]
3.（2008
安徽文、理）函数2()f x =
的定义域为 ．
[解析] [3,)+∞；由⎩⎨⎧≠->-≥--1
1,010
12x x x 解得3≥x
4．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ， 则函数(1)y f x =-的值域为( )
A ．[1,1]a b --；
B ．[,]a b ；
C ．[1,1]a b ++；
D ．无法确定
[解析] B ；函数(1)y f x =-的图象可以视为函数()y f x =的图象向右平移一个单位而得到， 所以， 它们的值域是一样的
5．(2008江西改) 若函数()y f x =的定义域是]3,1[， 则函数(2)
()1
f x
g x x =-的定义域是
[解析] ]2
3,1()1,21[Y ；因为()f x 的定义域为]3,1[， 所以对()g x ， 321≤≤x 但1x ≠故
]2
3,1()1,21[Y ∈x
6．(2008江西理改)若函数()y f x =的值域是]3,32
[， 则函数()()1
()
F x f x f x =+的值域 是 [解析] ]310,
2[；)(x F 可以视为以)(x f 为变量的函数，
令)(x f t =， 则)33
2
(1≤≤+=t t t F 2
222)1)(1(111t
t t t t t F -+=-=-='， 所以， t t F 1+=在]1,32
[上是减函数， 在]3,1[上是增函数， 故)(x F 的最大值是
3
10
， 最小值是2
考点三：映射的概念
[例5] （06陕西）为确保信息安全， 信息需加密传输， 发送方由明文→密文（加密）， 接收方由密文→明文（解密）， 已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文
2,2,23,4.a b b c c d d +++例如， 明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时， 则解密得到的明文为（ ）
A ．7,6,1,4；
B ．6,4,1,7；
C ．4,6,1,7；
D ．1,6,4,7
[解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的， 只要按照对应规则进行对应即可。

[解析] 当接收方收到密文14， 9， 23， 28时，
有214292323428a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩， 解得6
417
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩， 解密得到的明文为C ． 【名师指引】理解映射的概念， 应注意以下几点：
（1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的， 是一个整体系统；
（2）对应法则有“方向性”， 即强调从集合A 到集合B 的对应， 它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的；
（3）集合A 中每一个元素， 在集合B 中都有象， 并且象是唯一．．的， 这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A 中不同元素， 在集合B 中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. [新题导练]
7．集合A ={3， 4}， B ={5， 6， 7}， 那么可建立从A 到B 的映射个数是__________， 从B 到A 的映射个数是__________.
[解析] 9 , 8；从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7）， 第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理， 不同的映射种数N 1＝3×3＝9.反之从B 到A ， 道理相同， 有N 2＝2×2×2＝8种不同映射.
8．若f :y =3x +1是从集合A ={1， 2， 3， k }到集合B ={4， 7， a 4， a 2+3a }的一个映射， 求自然数a 、k 的值及集合A 、B.
[解析] a =2， k =5， A ={1， 2， 3， 5}， B ={4， 7， 10， 16}； ∵f （1）=3×1+1=4， f （2）=3×2+1=7， f （3）=3×3+1=10， f （k ）=3k +1， 由映射的定义知
（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,133,1024k a a a 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+.
13,10342
k a a a
∵a ∈N ， ∴方程组（1）无解. 解方程组（2）， 得a =2或a =－5（舍）， 3k +1=16， 3k =15， k =5. ∴A ={1， 2， 3， 5}， B ={4， 7， 10， 16}.
备选例题：（03年上海）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：存在非零常数T ，
对任意R x ∈， 有)()(x Tf T x f =+成立。

（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由；
（2）设函数)1,0()(≠>=a a a x f x
的图象与x y =的图象有公共点， 证明：
M a x f x ∈=)(
[解析]（1）对于非零常数T ， f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ， x +T= T x 不能恒成立， 所以f (x )=.M x ∉
（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，
所以方程组：⎩⎨⎧==x
y a y x
有解， 消去y 得a x =x ,
显然x =0不是方程a x =x 的解， 所以存在非零常数T ， 使a T =T. 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a
T x f x x T T
x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.
★抢分频道
基础巩固训练：
1．(2007·广东改编) 已知函数x
x f -=
11)(的定义域为N ， )1ln()(x x g +=的定义域为
M ， 则=N M Y
[解析] ),(+∞∞；因为(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故R N M =Y 2．函数)23(log 3
1-=
x y 的定义域是
[解析] 23(,1]；由1230≤-<x 得到
13
2
≤<x 3．函数1
21
2+-=x x y 的值域是
[解析])1,1(-；由1
212+-=x x y 知1≠y ， 从而得y y x
-+=112， 而02>x ， 所以011>-+y y ， 即
11<<-y
4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( ) A ．B 中某一元素b 的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素a 的象可能不只一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同； D ．B 中两个不同元素的原象可能相同 [解析]A ；根据映射的定义知可排除B 、C 、D
5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f 中， 构成从集合A 到集合B 的映射是（ ）
A ．2
||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>=
B ．2
:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21:},0|{,x
y x f y y B R A =→>==
D ．2
:},1,0{},2,0{x y x f B A =
→== [解析]D ；根据映射的定义知， 构成从集合A 到集合B 的映射是D 6．（09年执信中学）若函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4
--，， 则m 的取值范围是（ ）
A ．(]4,0；
B ．3
[3]2，； C ．3[]2，4；D ．3[2
+∞，） [解析]B ；因为函数2
34y x x =--即为4
25)23(2--=x y ， 其图象的对称轴为直线23=x ，
其最小值为4
25
-
， 并且当0=x 及3=x 时， 4-=y ， 若定义域为[0,]m ， 值域为25[4]4--，， 则32
3≤≤m
综合提高训练：
8．（05天津改）设函数x x x f -+=22ln
)(， 则函数)1
()2()(x
f x f x
g +=的定义域是 [解析] )4,21()21,4(Y --；由022>-+x x 得， ()f x 的定义域为22<<-x 。

故⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
<<
-<<-212222x
x
解得214-
<<-x 或42
1
<<x 。

9．设函数2
1
)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n (n 是正整数)， 那么)(x f 的值域中共有
个整数
[解析]22+n ；因为4
1
)21(21)(22++=++=x x x x f ， 可见， )(x f 在]1,[+n n (n 是正整数)上是增函数， 又22)2
1
(]21)1()1[()()1(22+=++-++++=-+n n n n n n f n f
所以， 在)(x f 的值域中共有22+n 个整数
第3讲 函数的表示方法
★知识梳理
一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
3．解析法：就是把两个变量的函数关系， 用等式来表示。

二、分段函数
在自变量的不同变化范围中， 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破
重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法， 分段函数的概念 难点：分段函数的概念， 求函数的解析式
重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）， 则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式， 则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2
+-=+x x x f ， 求)(x f 方法一：换元法
令)(12R t t x ∈=+， 则21-=
t x ， 从而)(9552
1
6)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2
R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法
因为9)12(5)12(410)12(564)12(2
2
2
++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2
R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法
因为)(x f 是二次函数， 故可设c bx ax x f ++=2
)(， 从而由564)12(2
+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、， 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=
（3）若已知抽象函数的表达式， 则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x x
f x f 3)1
(2)(=+， 求)(x f 因为ΛΛx x
f x f 3)1(2)(=+①
以
x 1代x 得ΛΛx
x f x f 1
3)(2)1(⋅=+② 由①②联立消去)1(x f 得)0(2
)(≠-=x x x
x f
★热点考点题型探析
考点1：用图像法表示函数
[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：
进水量 出水量 蓄水量
甲 乙 丙
（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水． 则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象， 对三个论断进行确认即可。

[解析]由图甲知， 每个进水口进水速度为每小时1个单位， 两个进水口1个小时共进水2个单位， 3个小时共进水6个单位， 由图丙知①正确；而由图丙知， 3点到4点应该是有一个进水口进水， 出水口出水， 故②错误；由图丙知， 4点到6点可能是不进水不出水， 也可能是两个进水口都进水， 同时出水口也出水， 故③不一定正确。

从而一定不正确．．．的论断是（2）
【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点， 它要求考生熟悉基本的函数图象特征， 善于从图象中发现其性质。

高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。

[新题导练]
1．(05辽宁改)一给定函数)(x f y =的图象在下列图中， 并且对任意)1,0(1∈a ， 由关系式
0)(1=-+n n a f a 得到的数列}{n a 满足)(0*1N n a a n n ∈>-+， 则该函数的图象是（ ）
A
B C D [解
析] A.；令1n n a x
a y
+=⎧⎨
=⎩， 则()y f x =等价于)(1n n a f a =+， ()y f x =是由点1(,)n n a a +组
成， 而又知道1n n a a +<， 所以每各点都在y=x 的上方。

2．(2005·湖北)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( )
时间01
1时间
02
1时间
034665
[解析] D ；当1≥x 时， 1)1(=--=x x y ， 可以排除A 和C ；又当21=x 时， 2
3
=y ， 可以排除B
考点2：用列表法表示函数
[例2] （07年北京）已知函数()f x ， ()g x 分别由下表给出
则[(1)]f g 的值为
；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是
[解题思路]这是用列表的方法给出函数， 就依照表中的对应关系解决问题。

[解析]由表中对应值知[(1)]f g =(3)1f =
；
当1=x 时， [(1)]1,[(1)](1)3f g g f g ===， 不满足条件
当2=x 时， [(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ====， 满足条件， 当3=
x 时， [(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====， 不满足条件， ∴满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是2=x
【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系， 解决问题的关键是从表格发现对应关系， 用好对应关系即可。

[新题导练] 3．（09年山东梁山）设f 、g 都是由A 到A 的映射， 其对应法则如下表（从上到下）： 映射f 的对应法则是表1
映射g 的对应法则是表2
则与)]1([g f 相同的是（ ）
A ．)]1([f g ；
B ．)]2([f g ；
C ．)]3([f g ；
D ．)]4([f g
[解析] A ；根据表中的对应关系得， 1)4()]1([==f g f ， 1)3()]1([==g f g 4．（04年江苏改编）二次函数c bx ax y ++=2
（x ∈R ）的部分对应值如下表：
则不等式02<++c bx ax 的解集是
[解析] )3,2(-；由表中的二次函数对应值可得， 二次方程02=++c bx ax 的两根为－2和3， 又根据)2()0(-<f f 且)3()0(f f <可知0>a ， 所以不等式
02<++c bx ax 的解集是)3,2(-
考点3：用解析法表示函数
题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
[例3] （04湖北改编）已知)11(x x f -+=
2
211x x +-， 则)(x f 的解析式可取为 [解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式， 应该首选换元法 [解析] 令t x x =-+11， 则11+-=
t t x ， ∴ 12)(2+=t t t f .∴1
2)(2+=x x
x f . 故应填
2
12x x + 【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构
造方程组（如自变量互为倒数、已知)(x f 为奇函数且)(x g 为偶函数等）。

题型2：求二次函数的解析式
[例4] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+， 且1)0(=f 。

⑴求)(x f 的解析式；
⑵在区间]1,1[-上， )(x f y =的图象恒在m x y +=2的图象上方， 试确定实数m 的范围。

[解题思路]（1）由于已知)(x f 是二次函数， 故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形， 可得求)(2x f m x <+对于]1,1[-∈x 恒成立， 从而通过分离参数， 求函数的最值即可。

[解析]⑴设2
()(0)f x ax bx c a =++≠， 则
22(1)()[(1)(1)]()
2f x f x a x b x c ax bx c ax a b
+-=+++-++=++
与已知条件比较得：22,0a a b =⎧⎨+=⎩解之得， 1,
1a b =⎧⎨=-⎩
又(0)1f c ==，
2()1f x x x ∴=-+
⑵由题意得：212x x x m -+>+即231m x x ≤-+对[]1,1x ∈-恒成立，
易得2
min (31)1m x x <-+=-
【名师指引】如果已知函数的类型， 则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。

[新题导练]
5．（06全国卷二改编）若x x f 2cos 3)(sin -=， 则=-)]2
[sin(x f π
[解析] x 2cos 3+；=-)]2
[sin(
x f π
22(sin )3cos 23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+
所以2
()22f x x =+,因此2
2
(cos )2cos 2(2cos 1)33cos 2f x x x x =+=-+=+ 6．（09年潮州金山中学）设()y f x =是一次函数， 若()01f =且()()()1,4,13f f f 成 等比数列， 则()()()242f f f n +++=L ；
[解析])32(+n n ；设b kx x f +=)(， 由1)0(=f 得1=b ， 从而1)(+=kx x f 又由()()()1,4,13f f f 成等比数列得2
)14()113)(1(+=++k k k ， 解得2=k
所以12)(+=x x f ，
()()()242f f f n +++=L )32(]12[]142[]122[+=+⨯+++⨯++⨯n n n Λ
7．（华侨中学09届第3次月考（09年中山））设 ()11x
f x x +=-， 又记
()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2008f x = （ ）
A ．
11x x +-；B ．11x x -+；C ．x ；D ．1
x
-； [解析] C ；由已知条件得到x x
x x x
x f x f x f f x f 1111111)(1)(1)]([)(1112-=-+-
-++
=-+=
=， 111111)
(1)(1)]([)(1123+-=+-
=
-+==x x x
x x f x f x f f x f ，
x x x x x x f x f x f f x f =+--
+-+
=-+==1
1111
1)(1)(1)]([)(3334， x x x f f x f -+==11)]([)(4
5 可见， )(x f n 是以4为周期的函数， 而45022008⨯=， 所以， x x f x f ==)()(42008 8．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且其图象在y 轴上的截距为1， 在x 轴上截得的线段长为2， 求)(x f 的解析式。

[解析] 17
8
72)(2++=
x x x f ；设f (x )=ax 2+bx +c ， 由f (x )满足f (x －2)=f (－x －2)， 可得函数y=f (x )的对称轴为x=－2， 所以22b
a
-=- 由y=f (x )图象在y 轴上的截距为1， 可得(0)1f =， 即c=1 由y=f (x ) 图象在x 轴上截得的线段长为2， 可得
22121212||()4()42b c
x x x x x x a a
-=+-=--=
所以联立方程组2()4212
2b c a a c b
a ⎧--=⎪⎪⎪
=⎨⎪-⎪=-⎪⎩， 可解得27
871a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
所以f (x )=
17
8
722++x x . 考点4：分段函数
题型1：根据分段函数的图象写解析式
[例5] (07年湖北)为了预防流感， 某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。

已知药物释放过程中， 室内每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；
药物释放完毕后， y 与t 的函数关系式为a
y -⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1161（a 为常数）， 如图所示， 根据图中提供的信息， 回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开妈， 每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；
（Ⅱ）据测定， 当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时， 学生方可进教室， 那
么从药物释放开始， 至少需要经过 小时后， 学生才能回到教室。

[思路点拨]根据题意， 药物释放过程的含药量y （毫克）与时间t 是一次函数， 药物释放完毕后， y 与t 的函数关系是已知的， 由特殊点的坐标确定其中的参数， 然后再由所得的表达式解决（Ⅱ）
[解析] （Ⅰ）观察图象， 当1.00≤≤t 时是直线， 故t y 10=；当1.0≥t 时， 图象过)1,1.0(
所以a
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1.01611， 即1.0=a ， 所以⎪⎩⎪
⎨⎧>≤≤=-1.0,)16
1(1.00,101.0t t t y t
（Ⅰ）6.016116125.01615
.01.01.0≥⇔⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤⎪
⎭⎫
⎝⎛⇔≤⎪
⎭
⎫
⎝⎛--t a
a
， 所以至少需要经过6.0小时
【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的， 解决办法是分段处理。

题型2：由分段函数的解析式画出它的图象
例6] (2006·上海)设函数54)(2--=x x x f ， 在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像。

[思路点拨]需将来绝对
值符号打开， 即先解0542≥--x x ， 然后依分界点将函数分段表示， 再画出图象。

[解析] 22
2
45
2156()45(45)
15
x x x x f x x x x x x ⎧---≤≤-≤≤⎪=--=⎨----≤≤⎪⎩或,如右上图.
【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理， 要注意分段函数的表示方法， 它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来， 同时附上自变量的各取值范围。

[新题导练]
9．（09年潮州金山中学）已知函数2
23(0)
() 1 (0)
x x f x x x -≥⎧=⎨
+<⎩， 则()1f f =⎡⎤⎣⎦
[解析] 2；由已知得到21)1()1()312()]1([2
=+-=-=-⨯=f f f f
10．（06山东改编）设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-,2),1(log .
2,2)(2
21
x x x x f x π则不等式02)(>-x f 的解集为 [解析] ),5()2,1(+∞Y ；当2<x 时， 由02)(>-x f 得221
>-x π
， 得21<<x
当2≥x 时， 由02)(>-x f 得2)1(log 2
2>-x ， 得5>
x
备选例题1： (2005·江西)已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ， b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两
个实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f (x )的解析式；（2）设k>1， 解关于x 的不等式；x
k
x k x f --+<
2)1()(
[解析]（1）将0124,32
21=+-+==x b
ax x x x 分别代入方程
得 29
913,()(2).16228
4a x a b
f x x b x a b
⎧=-⎪=-⎧⎪+=≠⎨
⎨=-⎩⎪=-⎪+⎩解得所以 （2）不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x
①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为
②当);,2()2,1(0)1()2(,22
+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.
备选例题2：（06重庆）已知定义域为R 的函数()f x 满足
()22()().f f x x x f x x x -+=-+
（I ）若(2)3f =， 求(1)f ;又若(0)f a =， 求()f a ;
（II ）设有且仅有一个实数0x ， 使得00()f x x =， 求函数()f x 的解析表达式
222
22)() 2)(2)22
2322,(1)1 f(0)=a,f(00)00,()x f x x x
f f a a f a a
∈+=-++=-++=-+=-+=-+=222
解：(I)因为对任意x R,有f(f(x)-x 所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得f(3-2）即若则即
2200020
2
00000
2000000220(II)(())(). () ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x ∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1
若=0，则，即202202 0
()1,() 1. () 1 ()
x
x x x x x f x x x f x x x f x x x x R --=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。

故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。

综上，所求函数为
★抢分频道
基础巩固训练：
1．（09年广州高三年级第一学期中段考）函数()x f y =的图象如图2所示.观察图象可知 函数()x f y =的定义域、值域分别是（ ） A.[][)6,20,5⋃-,[]5,0；B.[)[)+∞-,0,6,5 C.[][)6,20,5⋃-,[)+∞,0；D.[)[]5,2,,5+∞-
[解析] C ；由图象可以看出， 应选择C 2．（09年惠州第一次调研考）某工厂从2000
前四年年产量的增长速度越来越慢， 后四年年产量的增长速度保持不变， 则该厂这种产品
的
产量y 与时间t 的函数图像可能是（ ）
[解析]
B ；前四年年产量的增长速度越来越慢， 知图象的斜率随x 的变大而变小， 后四年年产量的增长速度保持不变， 知图象的斜率不变， ∴选B ．
3．（2004·湖南改编）设函数
{
2,0,()2,0.
x bx c x f x x ++≤=
>若
)0()3(f f =-,2)1(-=-f ,
则关于
x 的方程x x f =)(的解的个数为
[解析] 3；由)0()3(f f =-,2)1(-=-f 可得0,3==c b ， 从而方程x x f =)(等价于
⎩⎨
⎧==>2)(0
x f x x 或⎩⎨⎧=+≤x x x x 302， 解⎩⎨⎧=+≤x x x x 302得到0=x 或2-=x ， 从而得方程x x f =)(的解的个数为3
图2
4．（05江苏）已知b a ,为常数， 若34)(2
++=x x x f ，
2410)(2++=+x x b ax f ， 则b a -5=
[解析] 2；因为34)(2
++=x x x f ， 所以
)34()42(3)(4)()(2222+++++=++++=+b b x a ab x a b ax b ax b ax f
又2410)(2
++=+x x b ax f ， 所以， ⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+=243410421
22b b a ab a
解得⎩⎨⎧==31b a 或⎩
⎨⎧-=-=71b a ， 所以25=-b a
5．对，、R b a ∈记{}⎩⎨⎧<≥=b
a b b
a a
b a x m ，，，a ， 函数{})(cos ,sin a )(R x x x x m x f ∈=
的最小值是（ ） A.1-；B.
2
2
；C.22-；D.1
[解析] C ；作出x x f sin )(=和x x g cos )(=的图象即可得到函数
{})(cos ,sin a )(R x x x x m x f ∈=的最小值是2
2
-
6．（中山市09届高三统测）已知函数⎩⎨⎧=)()()(21x f x f x f
]
1,2
1[)21,0[∈∈x x 其中 1)2
1
(2)(21+--=x x f ， 22)(2+-=x x f 。

作出函数)(x f 的图象；
[解析] 函数)(x f 图象如下：
说明：图象过⎪⎭⎫ ⎝
⎛21,
0、⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21、()0,1点；在区间⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡21,0
上的图象为上凸的曲线段；在区间
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,21上的图象为直线段 综合提高训练：
7．（09年惠州第二次调研考）如图， 动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线， 与正方体表面相交于M N ，．设BP x =， MN y =， 则函数()y f x =的图象大致是（ ）
[解析] B ；过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线， 当点P 运动时， 线与正方体表面相交于
M N ，两点形成的轨迹为平行四边形， 可以看出x 与y 的变化趋势是
先递增再递减， 并且在x 的中点值时y 取最大
8．（06重庆）如图所示， 单位圆中B A )
的长为x ， ()f x 表示弧B A )
与弦AB 所围成的弓形面积的2倍， 则函数
()y f x =的图像是（ ）
[解析] D ；如图所示， 单
位圆中»
AB 的长为x ， ()f x 表示弧»AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍， 当»AB 的长小于半圆时， 函数()y f x =的值增加的越来越快， 当»
AB 的长大于半圆时， 函数()y f x =的值增加的越来越慢， 所以函数()y f x =的图像是D.
9．（06福建）已知()f x 是二次函数， 不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；
（II ）是否存在实数,m 使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在， 求出m 的取值范围；若不存在， 说明理由。

A
B
C
D M
N P A 1
B 1
C 1
D 1 y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O。