2018版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题试题理北师大版

高考专题突破三高考中的数列问题试题理北师大版
□考点自测快速解答自查自纠
1. （2016 •广州模拟）数列｛刘是公差不为0的等差数列，且a i, a3, a?为等比数列｛b n｝中连续的三项，则数列｛b n｝的公比为（）
A. 2
B. 4
1
C. 2 D
2
答案C
解析设数列｛sh｝的公差为d（d^0），由a2= a i a7,得（a i+ 2d）2= a i（a i+ 6d），解得a i= 2d,
a3 a i + 2d 2a i
故数列｛b n｝的公比q=亍=—= ~=2.
2. 已知等差数列｛a n｝的前n项和为S, S5= 5, S5= i5,则数列（-丄的前I00项和为（）
iS n S n + I |
100 99
A ----- B
101 101
99 101
C ----- D
100 100
答案A
解析设等差数列｛a n｝的首项为a i,公差为d.
a5= 5, S = 15,
[a i + 4d= 5,
5a i+ 2^~ d= 15,
a i = 1,
d= 1,
二a n= a i + ( n—1) d= n.
1 1 1 1 a n a n+1= n n+ = n n+ 1’
二数列a士的前i00项和为押—1+ 2—3
100
101.
3. 等比数列｛a n｝的前n项和为S，已知S,2S,3S3成等差数列，则等比数列｛a n｝的公比为
1
答案3
解析 设等比数列｛a n ｝的公比为q (q z 0), 由 4圧=S+ 3S B ,
得 4( a + a i q ) = a i + 3(a i + ag + a i q 2), 2
1
即 3q — q = 0,又 q z 0,「. q = 3.
4. (2015 •课标全国n )设 S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且 a i =— 1 , a n +1 = SS +1,贝V S =
答案 $+ 1 —
S n 由题意，得 S= a i =— 1，又由 a n +1 = SS +1,得 S I +1 — S= SS+1,因为 0,所以―
—
S I S+ i
2 1
当 n 》2 时，S n -1 = -a-1— 3, 2 2
两式相减，得 a n = -a n — -a n — 1,
3 3
• • a n = — 2a n —1 , 又 a i = — 1, •••｛a n ｝是以一1为首项，以一2为公比的等比数列,
n — 1
• a n = —
( — 2),
—k — 1
I 3
3 ,
解析
=—1,故数列£是以S =— 1为首项，一i 为公差的等差数列，所以
S i
1 s n =-1
—(n — 1) =— n ,所以
S n =— 1
n
5.已知数列｛a n ｝的前 n 项和为S,对任意n € N+都有S=|an —g,若1<S<9 ( k € N+)，贝U k
的值为
答案 4
1 3,
解析由题意，S n = ^a n —-
S k =
由 1<S <9, 得 4<( — 2) k
<28,
又 k € N+ ,
• k = 4.
题型分类深度剖析
题型一 等差数列、等比数列的综合问题
例1 (2016 •四川)已知数列｛a n ｝的首项为1, S 为数列｛a n ｝的前n 项和，S+1= qS + 1,其中 q >0, n € N +.
(1) 若a 2, a 3, a 2 + a 3成等差数列，求数列｛a n ｝的通项公式；
2
⑵ 设双曲线X 2 — = 1的离心率为e n ,且e 2= 2,求e 2 + e 2+…+ e ：
解 (1)由已知，S n +1= qSi + 1，得 S n + 2= qS +1 + 1,两式相减得 a n +2= qa n +1, n 》1.
又由S= qS + 1得a 2= qa 1,故a n +1= qan 对所有n 》l 都成立.所以，数列｛ a n ｝是首项为1，公 比为q 的等比数列.
从而 ◎= q n — 1.由a 2, a 3, a 2 + &成等差数列，可得 所以 a= 2n — 1 (n € N +).
⑵由(1)可知，a n = q n — 1,
2
所以双曲线X 2—笃=1的离心率
a n
e n = 1 + a n =・〔；：1 + q- “ 1 .
由 e 2=叮1 + q = 2,解得 q = ,3, 所以 e ?+ £+•••+ e n
=(1 +1) + (1 + q 2) +…+ [1 + q 2(n —1)]
2
2(n — 1),
=n + [1 + q +…+ q ]
2n .
q — 1 =n + -2
~
q — 1
思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)
分析已知条件和求解目标，
为
最终解决问题设置中间问题，
通项需要先求出首项和公差 (公比)等，确定解题的顺序.
⑵ 注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，
如果等比数列的公比不能确定， 是
否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这 些细节对解题的影响也是巨大的.
r
3
2a 3= a 2+ a 2+ a 3, 所以 a 3= 2比，故 q = 2.
例如求和需要先求出通项、 求
则要看其
n项和为S( n€ N+)，且S + 跟踪训釦已知首项为2的等比数列｛a n｝不是递减数列，其前
a3, S5+ a5, S4+ a4成等差数列.
(1)求数列｛a n ｝的通项公式;
(2) 设 T n = S — S ；(n € N+ )，求数列｛T n ｝的最大项的值与最小项的值. 解⑴设等比数列｛a n ｝的公比为q, 因为S+ a 3，S+ a 5，S + a 4成等差数列,
所以 S+ a 5— S — a 3 = S + a 4 — S — a 5，即 4a 5= a 3, 于是q 2=-
a 3
3
1
又｛a n ｝不是递减数列且 a i = 2,所以q =—
，- 1
[1 +歹，n 为奇数，
| 1 —7， n 为偶数.
当n 为奇数时，S 随n 的增大而减小,
所以 1<S < S = 3，
当n 为偶数时，S 随n 的增大而增大， 3 所以 4= SW s<1，
1 1 3 4
7
故 0>s -
刖 s-◎=4- 3 =—厉
7 1 5
综上，对于n € N+，总有—不w S — .
12 Sb 5
5 7
所以数列｛T n ｝的最大项的值为&最小项的值为一 石.
题型二数列的通项与求和 例2 已知数列｛a n ｝的前n 项和为 $，在数列｛b n ｝中，b 1= a 1， b n = a n — a n -1(n 》2)，且a n + S =n .
(1)设C n = a n — 1，求证:｛ C n ｝是等比数列;
⑵求数列｛b n ｝的通项公式.
(1)证明 T a n + S n = n ，①
故等比数列｛a n ｝的通项公式为
a n = 3 X —
=(—1)
n — 1
n ・
(2)由(1),
1 1 故 o<s — S w S —S 3
2 2—
3 5 6. 得
a n + 1 + S n + 1 = n +1.② ②一①，得 a n + 1— a n + a n +1 = 1 ,
•・2
a n +1 = a n + 1,…2( a n +1 一 1) = a n 一 1, a n + 1 一 1 1
—=；,•••{ an — 1}是等比数列. a n 一 1 2
T 首项 C 1 = a 1 一 1,又 a 1+ a 1= 1.
1 1 1
•- a 1=乞二 C 1= —乞公比 q = 2 又 C n = a n 一 1 ,
•••｛6｝是以一2为首项，2为公比的等比数列•
(2) 解由(1)可知
• •当 n 》2 时，b n = a n 一 a n —1 =-(扩-口 -(2)"-1】 1 1 1 n - 1 n
n
=(2)-(2)=(2「
1
又b 1 = a 1 = ，代入上式也符合, 1 n
•- b n =(2). 思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列,
题信息.
(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，
常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.
能咗订谊' 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,且a 1= a n +1 =罟詁
a n
(1) 证明：数列｛^｝是等比数列；
(2) 求数列｛a n ｝的通项公式与前 n 项和S. (1)证明
1 n +1
-a1 = 2， an +1 = 2n an ，
当n C N+时,需0. 又 1=2, n +1：
n =
1(n c N
+)
为常数,
…a n
=6+ 1 = 1 -(扩
此时要从证的结论出发，这是很重要的解
1
C n = (
一 2) 少，
On 1 1
•••*是以$为首项，2为公比的等比数列•
a 1 i
⑵ 解 由｛-｝是以；为首项，；为公比的等比数列,
2 2
n + 1
（1）求数列｛a n ｝的通项公式;
⑵ 记b n = “J a n a n +1，求数列｛ b n ｝的前n 项和T n .
解 (1)f '(x ) = 2ax + b,由题意知 b = 2n ,
2
16n a — 4nb = 0,
a =
2,
则 f (x ) = *X 3
+ 2nx , n € N+.
又 f '(x ) = x + 2n , 1 1 1 1
•-—=—+ 2n,「・—一—=2n , a n +1
a n a n +1 a n
3 ..
••• S = 1 • * 1 + 2 •(》2+ 3 .()3+…+ n •(》",
1
S 1= 1 •( 2)2+ 2・(2)3+…+ (n — 1)( $ + n •(£)
n + 1
•知 2+（2）2+（1）3+…+（1） 1
—n
)
n + 1
满足
得 * 2，(广
an = n
丄=f / a n + 1
1
数列｛a.｝满足 =f '
a n + 1
1 1
2 由叠加法可得 a _—4=2+4+6+T 2(n -1) =n -n ，
4
化简可得an =打—]2（n 》2）
， 当n = 1时，a i = 4也符合,
4
a n =
2
( n € N+).
n —
(2) T b h = \：a n a n + 1 =
解 由 S 2- (n 2+ n — 3)S — 3( n 2+ n ) = 0, n € N k , 得[S —(n 2+ n )]( S + 3) = 0.
又已知数列｛a n ｝各项均为正数,
2
故 S= n + n . 当n 》2时，
2 2
a n = S n — S n —1 = n + n — (n — 1) — (n — 1) = 2n ,
当n = 1时，a 1 = 2也满足上式， .a n = 2n , n € N+.
2
2
(3) 证明 •/ k € N+, 4k + 2k — (3 k + 3k )
T n = b i + b 2+ …+ b n =a 1a 2+
a 2a 3 +
•• =2一1-3 +
3
5
=2 1-
為
4n =2n + 1.
命题点2数列与不等式的交汇
例4设各项均为正数的数列
{a n }的前 n 项和为 S,且 S 满足 S n — (n + n — 3)S — 3(n + n ) = 0,
n € N+.
(1) 求a i 的值; 求数列｛a n ｝的通项公式; 证明：对一切正整数 n ,
1 1 1 1
a 1 a 1+
a 2 a 2 +
a n
a n + 3
(1) 解 令n = 1代入得a 1= 2（负值舍去）.
=2
—2n + 1 ，
•+ 7a
n
—1 +「• +
2
=k —k = k( k —1) > 0,
2 2
•••4k + 2k>3 k + 3k,
1 1 …a k a k+ ] = 2k 2k + 1 = 4k2+ 2k3k2+ 3k _ 1 1 1
=3(k —苛).
• +-------------- a1 a1 + a2 a2+]
11111 1 1
三3(1—2+2—3+…+n—n+^)卜…+
a n a n+ ]
1 1 1
=3(1—)<3.
不等式成立.
命题点3数列应用题
例5 （2016 •长沙模拟）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初
有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投
入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元.
（1）用d表示a1, a2，并写出a n+1与&的关系式;
⑵若公司希望经过m m> 3）年使企业的剩余资金为 4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m表示）.
解（1）由题意，得
a1= 2 000(1 + 50%)—d= 3 000 —d,
3 5
a2= a1(1 + 50%) —d= ^a1—d = 4 500 —q d,
3 a n+1 = a n(1 + 50%)—
d=，a n —d.
, 口 3 3 3
⑵由(1)，得a n=尹.—1 —d= 2(?a n-2—d) —d
,3、2 3
=(2)a n—2— 3d- d
3 n—1 3 3 2 3 n —2
=(》a1 —d[1 + 2 +(2)+•••+ (?)]
整理，得
3n —1 3n — 1
a n =(2)1(3 000 — d ) — 2d [( 2)1— 1] 3 n — 1
=(2) (3 000 — 3d ) + 2d . 由题意，得a m ^ 4 000 ,
3
m — 1
即(2) (3 000 —3d ) + 2d = 4 000. m
2^^ 1
故该企业每年上缴资金 d 的值为 4— ----------- 时，经过mm > 3)年企业的剩余资金为 3 — 2
000万元.
思维升华数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 (1)数列与函数的交汇问题
① 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题；
② 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方 法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法 求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类 问题的解决. ⑵数列与不等式的交汇问题
① 函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关 于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；
② 放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③ 比较方法：作差或者作商比较. (3) 数列应用题
① 根据题意，确定数列模型； ② 准确求解模型；
③ 问题作答，不要忽视问题的实际意义.
" 设等差数列｛a n ｝的公差为d ,点(a n , b n )在函数f (x ) = 2x 的图像上(n €N +).
(1)若a 1= — 2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列｛a ｝的前n 项和$；
解得d =
3 m
— 2] X 1 000
2
⑵若a1= 1，函数f(x)的图像在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2 —，求数列卡
11
12 的前n 项和T n .
解 (1)由已知，得 b 7= 2a 7 , b 8= 2a 8 = 4b z ,
有2a 8 = 4x 2a 7 = 2a 7 + 2.
解得 d = a 8 — a 7= 2.
1 1 1 n
因此 2T n — T n = 1 + 2 + +…+ j n —1 —尹
1 n
=2 — j — 1 — ' n
2 2
2n +1— n — 2 =2
』+1 所以T =
课时作业
1. （2016 •北京）已知｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是等比数列，且 b 2= 3, b 3 = 9, a 1= （1）求｛a n ｝的通项公式；
⑵ 设C n = a n + b n ,求数列｛ C n ｝的前n 项和.
解（1）设数列｛a n ｝的公差为d , ｛b ｝的公比为q ,
所以 S n = na + n n —1 2
d = — 2n + n ( n — 1) = n — 3n .
⑵ f '(x ) = 2x ln 2 , f ' (a 2a = In 2
,
故函数f (x ) = 2x 在(a 2, a
b 2)处的切线方程为 y_2 2 =2% In 2( x — a ?), 它在x 轴上的截距为》“ 2
1 1 由题意，得a2—应=2—疋，解得
a 2= 2.
所以 d = a 2 — a i = 1.
从而 n , b n = 2.
所以
1 2 3 n — 1 n
T =尹尹尹…+歹可+尹 2 — n —
2
n
b 1,
a 14=
b 4.
I b2 = bq= 3, f b1 = 1,
由 2 得
I b3 = bi q = 9 |q= 3.
13
5 5
14
「•｛b n ｝的通项公式b n = b i q = 3 , ., 4- 1 又 a i = b i = 1, a i4= b 4= 3 = 27, ••• 1+ (14 - 1)d = 27,解得 d = 2. •••｛a n ｝的通项公式 a n = a 1+ ( n - 1)d = 1 + (n -1) x 2= 2n -1(n = 1,2,3，…). ⑵ 设数列｛c n ｝的前n 项和为 ・ n — 1 ■/ C n = a n + b n = 2门一 1+ 3 , --S= C 1 + C 2+ C 3+ …+ C n 0 1 2 n - 1 =2x 1- 1 + 3 + 2x 2- 1 + 3 + 2x 3- 1 + 3 +•••+ 2n — 1 + 3 = 2(1 + 2 + …+ n ) - n + ⑵由(1)知，b n = |年3 n = 1,2,3 时，1< <2，b = 1； 5 n = 4,5 时，2< 卑日<3, b n = 2; 5 n = 6,7,8 时，3< b = 3； 当 n = 9,10 时，4W <5, b n = 4. 所以数列｛b n ｝的前10项和为 1 X 3+ 2X 2+ 3X 3 + 4X 2= 24. 3. 已知数列｛a n ｝的前n 项和$满足S = 2勿+ ( — 1)n (n € N+). (1)求数列｛a n ｝的前三项a i , a 2, a s ； ⑵ 求证：数列｛a n + 2( — 1)n ｝为等比数列，并求出｛a n ｝的通项公式. (1)解 在 S= 2a n + ( — 1)n (n € N +)中分别令 n = 1,2,3 , "a i = 2a — 1, 得 a 1 + a 2 = 2a 2 + 1, j a 1 + a 2 + a 3 = 2a 3 - 1, 由题意有 2a + 5d = 4, a 1 + 5d = 3, a1= 1， 解得 2 d = 5. 所以｛a ｝的通项公式为 a n = 2n + 3 5
力4=1，解得
a2= 0,
a3= 2.
⑵证明由S = 2a n+ ( —1)n(n€ N+)，得
n __ 1 ]]
S n-1 = 2a n_ 1 + ( —1) (n》2)，两式相减，得
a n= 2a n—1—2( —1)n( n>2),
4 n 2 n
an=2an-1—3( —1)—3( —1)
4 n—1 2 n
=2a n—1 + 3 —1) —3( —1) ( n>2),
2 n 2 n—1
二a n+ 3 —1) = 2[a n—1 + 3(—1) ]( n>2).
2 n 2 1
故数列｛a n+ 3(—1) ｝是以a1 —3=3为首项，2为公比的等比数列.
2 n 1 n —1
•-a n+ 3(—1) = 3 X2 1,
4 n—1 2 n 2 2 n
15
16
h
d
两式相减，得b n + 1 — b n + 1+ bn ,即罟=2， 由 S = 2 — b i ,即卩 bi = 2— b i ，得 b i = 1.
1
•••数列｛ b n ｝是首项为1，公比为2的等比数列,
1 n -
1 二 bn =纭) 1 n ⑵log 2b n +1 = log 2( ) =— n ,
1 11 11 1 1 1 n
2)+(2—3)+(3—4)+…+(n —荷 1 =1 —而=荷. 5.在等比数列｛a n ｝中，a n >0(n € N+)，公比 q € (0,1)，且 a 1a s + 2a s a 5 + a 2a $= 25，又 a s 与 a s 的等比中项为2.
(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；
(2) 设b n = log 2a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S;
S1 $ s
⑶ 是否存在k € N+,使得1 + — +…+ n <k 对任意n € N+恒成立，若存在，求出 k 的最小值，
若不存在，请说明理由.
解 (1) T a 1a s + 2a s a s + a 2a 8= 25,
2 2 2 --a s + 2a 3a 5 + a 5 = 25 ,• •( a
3 + a 5) = 25,
又 a n >0,「. a s + a 5 = 5,
又a s 与&的等比中项为2,
• a s a 5= 4, 而 q € (0,1),
1
n —1 5— n
•- a n = 16x( ^) = 2 . (2) T b = log 2a n = 5 — n ,「. b n +1 — b n =— 1,
4
b 1 = log 281 = log 216= log 22 = 4, •••｛b n ｝是以b 1 = 4为首项，一1为公差的等差数列,
S n = , _ n (3)由(2)知 S n=-
cn = n
n +
= n — n + 1， •- T n = C 1 + C 2+ …+ C n = (1 • a 3>a 5,「. a s = 4, 1
a 5= 1 ,• q = 2 , a 1 = 16,
r 「Sr r S
当n W8 时，一>0;当n= 9 时，一=0;
n n
. ,S n
当n>9 时，一<0.
n
S i S2 S3 S
•••当n= 8或n= 9时，〒+〒+ +… —=18最大.
12 3 n
Si $ s
故存在k€ N+,使得1 + 2 +…+ -<k对任意n€ N+恒成立，k的最小值为19.
-n •(》
1 n—1 1
• $= 2—(2)—n ・(2)
1 n
=2 —(n + 2) •( 2).
，宀' 1 n 1 n
综上，a n= n •( 0 , S= 2 —( n+ 2) •( R .
题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇
例3 已知二次函数f（x）= ax + bx的图像过点（一4n,0），且f' （0）= 2n, n€ N+,
数列｛a n｝
n+1 n 3n-1
=2x —n + —2-
n
2 3 —1
=n + 2 .
即数列｛C n｝的前n项和为n2+
2. (2016 •全国甲卷)等差数列｛a n｝中，a s+ a4=4, a5+ a? = 6.
(1)求｛a n｝的通项公式；
⑵设b n= [ a n]，求数列｛b n｝的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]
= 0, [2.6] = 2.
解(1)设数列｛a n｝的首项为a1，公差为d,
a n=_x2 ——X( —1) = —-( —1).
3 3 '丿3 3'丿
4. 已知正项数列｛a n｝中，a= 1,点(_a n, a n+1)( n€ N+)在函数y = x2 3+ 1的图像上，
数列｛b n｝
的前n项和S n= 2 —b n.
(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；
1
⑵设6= ，求｛C n｝的前n项和T n.
a n+ 1log 2
b n+ 1
17
解(1) T点(.a n, a n+1)( n€ N+)在函数y = x2+1的图像上,
••• a n+1= a n+ 1 ,•••数列｛a.｝是公差为1的等差数列.
■/ a1= 1, • a n= 1 + (n —1) X 1 = n,
•' S n= 2 —b n , • S+ 1 = 2 —b n + 1 ,
18。