2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数x
x y 2
+
=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是 ◆答案：1- ★解析：设0002(,),p x x x +
则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即00
22.y x x x =-++
由00000
011(,).22y x
A x x y x x x x x
=⎧⎪
⇒++⎨=-++⎪⎩
又002(0,),B x x +
所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故00
1
() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-
2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则B
A
tan tan 的取值为
◆答案：4
★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅
-⋅=,即2223
5
a b c -=， 故2222
222
222222
28tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc
+-⋅+-=====+-+-⋅
2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+
★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤
则M =
=
所以 1.M ≤=≤
当且仅当1
,0,1,2
y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =
2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42
=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的
两个动点，且满足3
π
=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则
|
||
|AB MN 的最大值 为 ◆答案：1
★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2
AF BF
MN +=
在AFB ∆中,由余弦定理得2
2
2
2cos
3
AB AF BF AF BF π
=+-⋅
2
()3AF BF AF BF =+-⋅2
2()3(
)2AF BF AF BF +≥+-2
2().2
AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MN
AB
的最大值为1.
2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为0
45，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为
◆答案：4
★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为 正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知
,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的
侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠= ,从而1
2
PH MH AH ==
,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥
所以2
,AP PH QH =⋅即2
1
.2
AH AH QH =
⋅所以24.QH AH MH ==, 故tan 4QH
QMH MH
∠==
2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2
)(x x f =.若对任意的
]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是
◆答案：).+∞
★解析：由题设知22(0)
()(0)
x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于
()).f x a f +≥
因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥
即1).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,
1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是
).+∞
2012A 7、满足3
1
sin 41<<n π的所有正整数n 的和为 ◆答案：33
★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,
)6
x π
∈时,
3
sin ,x x x π<<由此得
131sin
,sin ,1313412124ππ
πππ<
<>⨯=131sin ,sin .10103993
ππ
πππ<<>⨯=
所以11sin
sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11
sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.
2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

设第1周使用A 密码，那么第7周也使用A 密码的
概率为 ◆答案：
243
61
★解析：用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -. 于是,有11(1),3k k P P k N *+=
-∈,即1111()434k k P P +-=--，由1
1P =知，14k P ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是首项为34，公比为1
3-的等比数列。

所以1131()443k k P --
=-，即1311()434k k P -=-+，故761
243
P =
二、解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2012A 9、（本题满分16分） 已知函数2
1
32cos 21sin )(+-+-
=a a x x a x f ，0,≠∈a R a . ⑴若对任意R x ∈,都有0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ⑵若2≥a ，且存在R x ∈,使得0)(≤x f ，求实数a 的取值范围；
★解析：⑴令x t sin =，则11≤≤-t ，函数)(x f 即为a
a at t t g 3
)(2
-
++=，由0)(≤x f 即0)(≤t g 对任意11≤≤-t 恒成立，即⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤-+=≤-=-0
3
21)1(031)1(a a g a g ，解得10≤<a ， 故所求实数a 的取值范围为(]1,0
⑵因为2≥a ，所以)(t g 的对称轴12-≤-=a
x ，有)(t g 在[]1,1-上递增， 所以)(t g 的最小值为a g 31)1(-=-，即)(x f 的最小值为a 31-，由03
1≤-a
，解得30≤<a ，
又2≥a ，故所求实数a 的取值范围为(]3,2
2012A 10、（本题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有
3
3231221)(n n a a a a a a +++=+++
⑴当3=n 时，求所有满足条件的三项组成的数列321,,a a a ；
⑵是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20122013-=a ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由。

★解析：(1)当1n =时, 2311a a =,由10a ≠得11a =.当2n =时,23
22(1)1a a +=+, 由20a ≠得22a =或21a =-，当3n =时,233
2323(1)1.a a a a ++=++
若22a =得33a =或32a =-;若21a =-得31a =; 综上,满足条件的三项数列有三个:3,2,1或2,2,1-或1,1,1- (2)令12,n n S a a a =++
+则2333
12()n
n S a a a n N *=+++∈，从而
233
331121().n n n n S a a a a a +++=++++两式相减,结合10n a +≠得2
112n n n S a a ++=-
当1n =时,由(1)知11a =;
当2n ≥时,22
11122()()(),n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---即11()(1)0,n n n n a a a a +++--=
所以1n n a a +=-或11n n a a +=+ 又120131,2012,a a ==-
所以(12012)
2012(1)(2013)
n n
n n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩
2012A 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的边长为4，且
6||||==OD OB .
⑴求证：||||OC OA ⋅为定值；
⑵当点A 在半圆4)2(2
2
=+-y x （42≤≤x ）上运动时，求
点C 的轨迹。

★解析：因为,,OB OD AB AD BC CD ====所以
,,O A C 山的共线。

如图,连结BD ,则BD 垂直平分线段AC ,设垂足为K ,于是有
()()OA OC OK AK OK AK ⋅=-+
2
2
OK AK =-2
2
2
2
()()OB BK AB BK =---2
2
226420OB AB =-=-=(定值) (2)设
(,),(22cos ,2sin ),C x y A αα+其中(),2
2
XMA π
π
αα=∠-
≤≤
则2
XOC α
∠=
.
因为2
2
2
2
(22cos )(2sin )8(1cos )16cos ,2
OA α
ααα=++=+=所以4cos
2
OA α
=由(1)的结论
得cos
5,2
OC α
=所以cos
5.2
x OC α
==从而sin
5tan
[5,5].2
2
y OC α
α
==∈-
故点C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)A B -
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）二试
2012A 一、（本题满分40分）如图所示，在锐角ABC ∆中，AC AB >，N M ,是BC 边上不同的两点，使得CAN BAM ∠=∠，设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为21,O O ,求证：A O O ,,21三点共线。

★证明：如图.连接12,AO AO ,过A 点作1AO 的垂线AP 交BC 的延长线于点P ,则AP 是ABC ∆的外接圆1O 的切线.因此B PAC ∠=∠‥‥‥10分 因为,BAM CAN ∠=∠
所以AMP B BAM PAC CAN PAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠‥‥‥‥20分
因而AP 是AMN ∆的外接圆2O 的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分
故2.AP AO ⊥
所以12,,O O A 三点共线。

‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
2012A 二、（本题满分40分）试证明：集合{
}22,2,
,2,
n A =满足
（1）对每个a A ∈，及b N *
∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不是2a 的倍数；
（2）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ 中的补集），且1a ≠，必存在b N *
∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．
★证明：对任意的a A ∈,设2,,k
a k N *
=∈则1
22,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则
121b a +≤-‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
由于b 与1b +中,一个为奇数,它不含素因子2,另一个是偶数,它含素因子2的幂的次数最多为k ,因
此(1)b b +一定不是2a 的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分
若a A ∈,且1,a ≠设2,k
a m =⋅其中k 为非负整数,m 为大于1的奇数,
则1
22
k a m +=⋅‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令1
,12
,k b mx b y +=+=消去b 得12 1.k y mx +-=
由于1
(2,)1,k m +=这方程必有整数解;1
002k x x t
y y mt
+⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y ∈为方程的特解.
把最小的正整数解记为(,),x y *
*
则1
2k x *+<,故21,b mx a *
=<-使(1)b b +是2a 的倍数．‥‥‥40
分
证法二:由于1
(2
,)1,k m +=由中国剩余定理知,同余方程组
10(mod 2)1(mod )
k x x m m +⎧=⎨
=-⎩在区间1
(0,2)k m +上有解,x b =即存在21,b a <-使(1)b b +是2a 的倍数．‥‥‥‥40分
证法三:由于(2,)1,m =总存在(,1),r r N r m *
∈≤-使21(mod )r
m =取,t N *
∈使1,tr k >+则
21(mod )tr m =
存在1
(21)(2)0,,tr
k b q m q N +=--⋅>∈使021,b a <<-
此时1,2
1,k m b m ++因而(1)b b +是2a 的倍数．‥‥‥‥‥40分
2012A 三、（本题满分50分）设012,,,
,n P P P P 是平面上1n +个点，它们两两间的距离的最小值为
(0)d d >，求证：01020()3
n d
P P P P P P ⋅⋅
>
★证明：证法一:不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤先证明:对任意正整数k ,都有0k P
P >
显然, 0k P P d ≥≥
1,2,,8k =均成立,只有8k =时右边取等号……10分
所以,只要证明当9k ≥时,有0k
P P >. 以(0,1,2,,)i P i k =为圆心,2
d
为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切;以0P 圆心，02k
d P P +为半径画圆，这个圆覆盖上述1k +个圆‥‥‥‥‥‥‥20分
所以2200()(1)()1)222
k k
d d d
P P k P P ππ+>+⇒>‥‥‥‥‥‥‥30分
由9k ≥易知1
23
>40分
所以0k P P >
9k ≥时也成立.
综上,对任意正整数k 都有0k
P P >.
因而01020()3
n
d P P P P P P ⋅⋅>50分 证法二: 不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤
以(0,1,2,
,)i P i k =为圆心,
2
d
为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切; ‥‥‥10分 设Q 是是圆i P 上任意一点,由于
00000013
222
i i
i k k k d P Q P P PQ P P P P P P P P ≤+=+≤+=‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分 因而,以0P 为圆心,
03
2
k P P 为半径的圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
故2
2003()(1)()1,2,,)22k k d P P k P P k n ππ>+⇒>=‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
所以01020()3
n
d P P P P P P ⋅⋅>50分 2012A 四、（本题满分50分）设11
12n S n
=+++，ｎ是正整数．证明：对满足01a b ≤<≤的任
意实数,a b ，数列{[]}n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ．这里，[]x 表示不超过实数ｘ的最大整数． ★证明：证法一:(1)对任意n N *
∈,有
21111232n n S =++++12111111
1()()2212212n n -=++++++++
22111111()()22222n n >+++++++1111
12222
n =++++>‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
令001
[
]1,[]1,n N m S b a =+=+-则000
11,,n N b a S m m n b a N <<-<≤+-‥‥‥‥‥‥‥20分 又令(1)
12t m N +=,则(1)121,t m N S S m m b +=>+≥+
因此存在01,,n N N n N *
∈<<使得,n m a S m b +<<+所以[](,)n n S S a b -∈‥‥‥‥‥‥‥30分
不然一定存在0,N k <使得1,,k k S m a S m b -≤+≥+因此1,k k S S b a --≥- 这与10
11k k S S b a k N --=
<<-矛盾.所以一定存在,n N *∈使得[](,)n n S S a b -∈‥‥‥‥‥40分 (2)假设只有有限个正整数12,,
,,k n n n 使得[](,),(1j j n n S S a b j k -∈≤≤令
{}
1[],min j j n n j k
c S S ≤≤=-则,a c b <<则不存在,n N *∈,n N *∈使得[](,),n n S S a c -∈这与（1）的
结论矛盾.
所以数列{}[]n n S S -中有无穷多项属于(,)a b .终上所述原命题成立‥‥‥‥‥‥‥‥50分 证法二:(1) 211
1123
2n n
S =+
+++
121111111()()2212212n n -=++++++++22111111()()22222n n >+++++++
1111
12222
n =++++>‥‥‥‥‥‥‥10分
因此,当n 充分大时,n S 可以大于如何一个正数,令01[]1,N b a =+-则01,N b a >-当0k N >时, 10
11
k k S S b a k N --=
<<-‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分 因此,对于如何大于0N S 的正整数,m 总存在0,n N >使(,),n S m a b -∈
即,n m a S m b +<<+否则,一定存在0,k N >使1,k S m a -≤+且,k S m b ≥+ 这样就有1,k k S S b a --≥- 而10
11,k k S S b a k N --=
<<-矛盾.故一定存在0,n N >使得,n m a S m b +<<+‥‥‥‥30分 令0[](1,2,3,
),i N m S i i =+=则0,i N m S >故一定存在10,n N >
使i i n i m a S m b +<<+,因此[]i i i n i n n a S m S S b <-=-<‥‥‥‥‥40分
这样的i 有无穷多个,所以数列{}[]n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ‥‥‥‥‥‥50分。