导函数隐零点问题的8种解决策略教师版

隐零点问题的8种解决策略
我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”（即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达），基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上参变分离，技巧上反客为主 一、直接观察
如果导函数存在零点，但令导函数为零后，出现超越方程，直接求解比较困难，此时可先用特殊值试探出方程的一个根，再通过二次求导研究其单调性，并证明其是唯一的。

一般的，当导数式含有x ln 时，可试根1，e 或e
1等，当导数式含有x
e 时可试根0或1 例1.（2013北京卷）求证：
1ln -≤x x
x
证法1：令x
x x x g ln 1)(--=，则2
2'ln 1)(x x x x g +-=，令x x x h ln 1)(2
+-=， 则01
2)('
>+
=x
x x h ，所以)(x h 在),0(+∞单调递增，又0)1(=h ，故当10<<x 时，0)(<x h 0)('<⇒x g ，)(x g 递减，当1>x 时，0)(>x h 0)('>⇒x g ，)(x g 递增，
所以0)1()(=≥g x g ，即1ln 0ln 1-≤⇒≥-
-x x
x
x x x 证法2：（对数单身狗）即证x x x -≤2
ln ，令x x x x f ln )(2
--=，则
)0()1)(12(112)('>-+=-
-=x x
x x x x x f ，所以当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减 当),1(+∞∈x 时，0)('
>x f ，)(x f 递增，所以0)1()(=≥f x f ，即0ln 2
≥--x x x
所以
1ln -≤x x
x
例2.已知0ln )1(≥--a x x 恒成立，求a 的取值范围
解：由题意x x a ln )1(-≤恒成立，令x x x f ln )1()(-=，则x
x x x x f 1
ln )('
-+=
观察知0)1('
=f ，当10<<x 时，0)('
<x f ，1>x 时，0)('
>x f
所以)(x f 在)1,0(内单调减，在),1(+∞单调增，所以0)1()(min ==f x f ，0≤∴a 二、虚设零点
当导函数存在零点，但零点式子非常繁琐或无法求解时，可考虑虚设零点0x ，再对
0)(0'=x f 进行合理的变形与代换，将超越式化为普通式，从而达到化简)(0x f 的目的
例3.设函数)0()1ln(1)(>++=x x x x f ，
若1
)(+>x k
x f 在),0(+∞内恒成立，求正整数k 的最大值
解：由题意得x
x x k ]
1)1)[ln(1(+++<
在),0(+∞内恒成立
令)0(]1)1)[ln(1()(>+++=x x x x x g ，则2
')
1ln(1)(x x x x g +--=
， 令)0)(1ln(1)(>+--=x x x x h ，则01
)('
>+=x x x h ，所以)(x h 在),0(+∞上递增
又03ln 1)2(<-=h ，04ln 2)3(>-=h ，所以存在唯一的)3,2(0∈x 使得0)(0=x h ，即
)1ln(100+-=x x ，所以当),0(0x x ∈时0)(<x h 0)('<⇒x g )(x g ⇒在),0(0x 上递减，当),(0+∞∈x x 时0)(>x h 0)('
>⇒x g )(x g ⇒在)(0∞+，
x 上递增， 所以)4,3(1]
1)1)[ln(1()()(00
000min ∈+=+++=
=x x x x x g x g ，故3≤k ，k 的最大值为3
例4.已知)2ln()(+-=x e x f x
，求证：0)(>x f 恒成立 证明：21)('
+-
=x e x f x
，显然)('x f 在),2(+∞-上递增，又011)1('<-=-e f ，02
1)0('
>=f 所以存在唯一的)0,1(0-∈x 使得0)(0'
=x f ，即2
1
00
+=
x e
x )2ln(00+-=⇒x x 所以当),2(0x x -∈时0)('
<x f ，)(x f 递减，当),(0+∞∈x x 时0)('
>x f ，)(x f 递增，
所以02
)1(21
)2ln()()(0200000min 0
>++=++=+-==x x x x x e x f x f x ，所以0)(>x f 恒成立
例5.（2015年全国卷）设x a e x f x
ln )(2-=，求证：当0>a 时a
a a x f 2
ln
2)(+≥ 证明：x
a e x f x
-
=2'2)(，当0>a 时，显然)('
x f 在),0(+∞上递增， 又012)(2'
>-=a
e
a f ，+→0x 时-∞→)('x f ，所以)('x f 存在唯一零点0x ，即
0002ln 2
ln )2ln(220x a x a x x a e x -==⇒=
所以当00x x <<时，0)('
<x f ，)(x f 递减，当0x x >时，0)('
>x f ，)(x f 递增，
所以)22(ln 2ln )()(00020min 0
x a a x a x a e
x f x f x --=
-==a
a a a a ax x a 2ln 22ln 2200+≥++= 例6.（2018广州一测）设1ln )(++=x ax x f ，若对任意的0>x ，x
xe x f 2)(≤恒成立，求a 的范围
解：对任意的0>x ，x
xe x f 2)(≤恒成立x
x e a x
1
ln 2+-
≤⇔在),0(+∞上恒成立 令x
x e x g x
1ln )(2+-=，则222'
ln 2)(x x e x x g x +=，
令x e
x x h x
ln 2)(22+=，则01
)(4)(22'>+
+=x
e x x x h x ⇒)(x h 在),0(+∞上递增 又082ln 16)41(<-=
e h ，02)1(2>=e h ，所以)(x h 存在唯一零点)1,4
1
(0∈x ，
所以当00x x <<时0)(0)('
<⇒<x g x h ，当0x x >时0)(0)('
>⇒>x g x h ，
所以)(x g 在),0(0x 递减，在)(0∞+，
x 递增，0
020min 1
ln )()(0
x x e x g x g x +-
==∴ 由00002
202200ln )2ln()ln ln(22ln 0ln 2)(00
x x x x x x e x e
x x h x x ---=⇒-
=⇒=+= )ln ()ln ln(2)2ln(0000x x x x -+-=+⇒，设x x x F +=ln )(，则)ln ()2(00x F x F -=，
又易知)(x F 在),0(+∞上递增，0
2
002001
2ln ln 20
x x x e
x x x =-
=⇒-=∴ 21
ln )()(0
020min 0=+-
==∴x x e x g x g x ，所以2≤a 例7.（2017年全国2卷）已知函数x x x x x f ln )(2
--=，且0)(≥x f ，求证：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且202
2)(--<<x f e
证明：x x x f ln 22)('
--=，设x x x h ln 22)(--=，则由2
1012)('
>⇒>-
=x x x h )(x h ∴在]21,0(上单调递减， ),2
1
[+∞上单调递增，
又0)1(,012ln )21(=<-=h h ，
+→0x 时+∞→)(x h ，)(x h ∴在)2
1
,0(上存在唯一零点0x 即0000ln 220ln 22x x x x =-⇒=--，当),0(0x x ∈时0)(>x h 0)('
>⇒x f ，当
)1,(0x x ∈时0)(<x h 0)('<⇒x f ，当),1(+∞∈x 时0)(>x h 0)('>⇒x f ，
所以)(x f 为],0(0x 上递增，]1,[0x 上递减，),1[+∞递增，
所以)(x f 极大值为)1()22(ln )(000002
0000200x x x x x x x x x x x f -=---=--=，
而)1,0(0∈x ，220002)2
1()(-=-+<∴x x x f ，
又10-≠e x 且)1,0(1
∈-e ，210)()(--=>∴e e f x f 综上202
2)(--<<x f e
例8.设2)(--=x e x f x
，若0>x 时，01)()('
>++-x x f k x ，求整数k 的最大值 解：（分离参数）1)('
-=x
e x
f ，01)1)((1)()('
>++--=++-x e k x x x f k x x
等价于
1111)1(-++=-++-<x x x e x x e x e x k 对0>x 恒成立
令)0(1
1)(>-++=x e x x x g x ，则2
'
)1()2()(---=x x x e x e e x g ， 令)0(2)(>--=x x e x h x ，则01)('>-=x
e x h ，所以)(x h 在),0(+∞上递增， 又03)1(<-=e h ，04)2(2
>-=e h ，所以)(x h 存在唯一零点)2,1(0∈x ，则200
+=x e
x
当),0(0x x ∈时0)(<x h 0)('
<⇒x g ，当),(0+∞∈x x 时0)(>x h 0)('
>⇒x g ，
)(x g ∴在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增
所以)3,2(11
1
)()(0000min 0
∈+=-++
==x e x x x g x g x ， 又min )(x g k <，所以整数k 的最大值为2 三、分类讨论
例9.设2
1)(ax x e x f x
---=，若当0>x 时0)(≥x f ，求a 的取值范围
解：（分类讨论）ax e x f x
21)('
--=， 令)0(21)(>--=x ax e x g x
，则a e x g x
2)('
-=因为1≥x
e （1）当12≤a 即2
1
≤
a 时，0)('>x g 恒成立，)(x g ∴在),0(+∞上递增，0)0()(=>∴g x g ，即0)('
>x f ，)(x f ∴在),0(+∞上递增，0)0()(=>∴f x f 成立
（2）当12>a 即2
1>
a 时，由a x x g 2ln 00)('
<<⇒<，)(x g ∴在]2ln ,0(a 递减，),2[ln +∞a 递增所以当)2ln ,0(a x ∈时，0)0()(=≤g x g ，即0)('
≤x f )(x f ⇒]2ln ,0(a 在递减，
0)0()(=<∴f x f 与题意不符
综合（1）（2）知a 的取值范围为2
1≤
a 解法2：（切线放缩）先证明1+≥x e x ，当且仅当0=x 时等号成立，事实上，设
1)(--=x e x g x ，则1)('-=x e x g ，令0)('>x g ，解得0>x ，令0)('<x g ，解得0<x ，所
以)(x g 在]0,(-∞递减，),0[+∞上递增，所以0)0()(=≥g x g ，即1+≥x e x ，当且仅当0=x 时等号成立
x a ax x ax e x f x )21(221)('-=-≥--=
①当021≥-a 即2
1
≤a 时，0)('≥x f 对),0(+∞∈x 恒成立，所以)(x f 在),0(+∞上递增，所以0)0()(=>f x f 成立，符合题意
②当021<-a 即2
1
>
a 时，由当0≠x 时，1+>x e x 得)0(1≠-≥-x x e x ，从而x
x x x
x
x
e
a e e e
a e ax e x f )2)(1()1(2121)('
--=---<--=- 所以当)2ln ,0(a x ∈时，0)('<x f ，)(x f 递减，此时0)0()(=<f x f ，不合题意
综上可知实数a 的取值范围为2
1≤a 例10.（2012 山东卷）已知x
e
x x x x x f )ln 1)(1()(--+=，求证：2
1)(-+<e x f 证明：易知当1≥x ，则2
10)(-+<≤e x f
所以当10<<x 时，0ln 1>--x x x ，
由1+>x e x
11
0<+<⇒x
e x ，
x x x x f ln 1)(--<∴ 令)10(ln 1)(<<--=x x x x x g ，则由2
'00ln 2)(-<<⇒>--=e
x x x g
)(x g ∴在],0(2-e 单调递增，在),[2+∞-e 单调递减，所以221)()(--+=≤e e g x g
从而2
1)(-+<e x f 综上知21)(-+<e x f
例11.（2013广东卷）设2
)1()(kx e x x f x --=，当]1,2
1(∈k 时，求)(x f 在],0[k 上最大值 解：由0)2()('
>-=k e x x f x
k x 2ln >⇒，考虑k 2ln 是否属于区间],0[k 令k
k k g -=2ln )(，则
01)('≤-=
k k k g ，)(k g ∴在]1,2
1
(∈k 递减，021)21()(<-=<g k g ，故当]1,21(∈k ]1,2
1
(∈k 时，k k <<2ln 0
)(x f ∴在]2ln ,0[k 递减，在],2[ln k k 递增，下面比较)0(f 与)(k f 的大小
令)12
1
(
1)1()0()()(3
≤<+--=-=k k e k f k f k h k
，则)3()('k e k k h k -= 设)121(3)(≤<-=k k e k m k
，则03)('<-=k e k m )(k m ⇒在]1,2
1(∈k 递减
又049)21(>-=e m ，03)1(<-=e m ，所以)(k m 存在唯一零点)1,2
1(0∈k
所以当),2
1
(0k k ∈时0)(>k m 0)(>⇒k h ，当]1,(0k k ∈时0)(<k m 0)(<⇒k h ，
所以)(k h 在),21(0k 递增，在]1,(0k 上递减，又08
49)21(>-=
e
h ，0)1(=h ， 0)(≥∴k h ，即)0()(f k f ≥，所以)(x f 在],0[k 上最大值为3)1()(k e k k f k --=
例12.设2)(--=x e x f x
，若0>x 时，01)()('
>++-x x f k x ，求整数k 的最大值 解：（分类讨论）1)('
-=x
e x
f ，设)0(1)1)((1)()()('
>++--=++-=x x e k x x x f k x x g x
则x e k x x g )1()('
+-=
（1）当01≤-k 即1≤k 时，0)('
>x g 恒成立)(x g ⇒在),0(+∞递增，0)0()(=>g x g 符合题意
（2）当01>-k 即1>k 时，由0)('>x g 1->⇒k x ，所以)(x g 在]1,0(-k 上递减，
),1[+∞-k 上递增，1min 1)1()(--+=-=k e k k g x g
令)1(1)(1
>-+=-k e
k k h k ，则01)(1'<-=-k e k h 恒成立)(k h ⇒在),1(+∞上递减
又03)2(>-=e h ，04)3(2
<-=e h ，故整数k 的最大值为2
四、拆分函数
当原函数比较复杂时，可适当将函数拆分成几个简单函数，便于处理
例13.（2014 全国卷）求证：12ln )(1
>+=-x
e x e x
f x x
证明：e
xe x x e ex x ex x e x f x x x
2ln 2ln 1)2(ln 1)(->⇔>+⇔>+
⇔>-- 设x x x g ln )(=则由e x x x g 101ln )('
>⇒>+=，)(x g 在]1,0(e 上递减，),1[+∞e
上递增
e e g x g 1
)1()(min -==⇒
设e xe x h x
2)(-=-，则由10)1()('<⇒>-=-x x e x h x ，)(x h 在]1,0(上递增，),1[+∞递减
e
h x h 1
)1()(max -==
所以max min )()(x h x g ≥，又)(x g 和)(x h 不能同时取得最值，所以1)()()(>⇒>x f x h x g 例14.（2016山东卷）设212)ln ()(x x x x a x f -+-=，求证：当1=a 时2
3)()('
+>x f x f 对任意的]2,1[∈x 恒成立
证明：当1=a 时2
12ln )(x x x x x f -+
-=，32'
2211)(x
x x x f +--= 23)()('+>x f x f 2
5
312ln 23221122ln 23322+-->-⇔++-->-+-⇔x x x x x x x x x x x x
令])2,1[(ln )(∈-=x x x x g ，])2,1[(2
5
312)(23∈+--=x x x x x h
101
1)('>⇒>-=x x
x g ，所以)(x g 在]2,1[上递增，1)1()(min ==g x g
由06
23)(4
2'
>-+=x x x x h 3119->⇒x ，所以)
(x h 在]3119,1[-上递减，]2,3119[-上递增，又2
1
)1(=
h ，1)2(=h ，1)2()(max ==∴h x h 故max min )()(x h x g ≥，又 )(x g 和)(x h 不能同时取得最值，故)()(x h x g >成立 所以2
3
)()('
+>x f x f 对任意的]2,1[∈x 恒成立 五、等价转化
例15.（2013四川高考）设a x e x f x -+=)(，若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使得
00))((y y f f =，求a 的取值范围
解：]1,1[sin 00-∈=x y ，且0)(≥x f ，00))((y y f f =，所以]1,0[0∈y ，又)(x f 递增，若00)(y y f >，则000)())((y y f y f f >>与00))((y y f f =矛盾 若00)(y y f <，则000)())((y y f y f f <<与00))((y y f f =矛盾
所以00)(y y f =，即x x f =)(在]1,0[上有解，即2x x e a x a x e x x -+=⇔=-+ 令])1,0[()(2
∈-+=x x x e x g x
，则021)('
≥-+=x e x g x
恒成立，)(x g 在]1,0[上递增 又1)0(=g ，e g =)1(，即)(x g 的值域为],1[e ，],1[e a ∈∴
例16.已知函数x x x x f 11ln )(++=
，求证：当1>x 时，1
ln )(->
x x
x f 证明：1ln )(->x x x f 即1ln 11ln ->
++x x x x x x x x x x x x ln )1(1ln )1(2+>-+-⇔01
ln 2<+-⇔x
x x 令)1(1ln 2)(>+-=x x
x x x g ，则0)1()(2
2'
<--=x x x g 恒成立)(x g ⇒在),1(+∞上递减 0)1()(=<⇒g x g ，即1
ln )(->
x x
x f 六、降次代换
例17.已知函数27
1
)(2
3
+
++=ax x x x f 有3个零点，求实数a 的取值范围 解：a x x x f ++=23)(2'，则3
10)31(4<⇒>-=∆a a ，设)('
x f 的两个零点分别为
)(,2121x x x x <，则3,322121a x x x x =-=+，3
2023121121a
x x a x x +-=⇒=++
)(x f ∴在],(1x -∞上递增，],[21x x 上递减，),[2+∞x 上递增
273192627132)32(271)(11111121311a
x a ax a x a x x ax x x x f -+
-=+++-+-=+
++= 所以)2731926)(2731926()()(2121a
x a a x a x f x f -+--+-=
2
212212)
27
31()(243)31(2)926(a x x a x x a -++-+-=12
50)512(27)31()2731(3243)31(2)32()926(2
222-<⇒<+-=-+⋅-+--==a a a a a a a
七、巧妙放缩 利用常见的不等式1ln 11-≤≤-
x x x ，1+≥x e x ，ex e x ≥，ex
x 1
ln -≥进行放缩 例18.（2018广州一测）设1ln )(++=x ax x f ，若对任意的0>x ，x
xe x f 2)(≤恒成立，求a 的范围
解：（放缩法）由1+≥t e t
得
2)
1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 222=+-++≥+-=+-=+-+x
x x x x x e x x xe x x e x x x x
所以2)1
ln (min 2=+-
≤x
x e
a x
例19.求证：3
2ln 2))(1(<
+---x x e x x
证明：由1ln -≤x x 及x
e x ≤+1得
)
2)(1()1()1(2))(1(ln 2))(1(----=-+--≤+-----x x e x x x e x x x e x x x x 3
2
4141)23(222<+<+--⋅<---e x e e x x
例20.求证：12ln 1
>+-x
e x e x x
证明：由ex
x 1ln -≥及1+≥x e x
得12)1(2ln 11>=+-≥+--x e x e ex e x e x e x x x x x 例21.求证：)22(ln 22
+-≥-x x e x e xe x
证明：原不等式2
12
1
)
1(2ln 21)1(2ln 2x
x x x e x x x xe
x x --≥-⇔--≥-⇔-- 由1ln -≤x x 得x e
x ≥-1
，故2
1)
1(2ln 201x x x x e x --≥≥--得证 例22.求证：当1>x 吋，x x x x ln 91
)
1(92
3+>++ 证明：先把3
x 放缩下，x x x x x x x x x ln 9)1(ln 991
)
1(91)1(92
223+>+>=++>++ 例23.求证：2ln ≥-x e x
证明：由1+≥x e x 及1ln -≤x x 得2ln ≥-x e x
例24.求证：2)
1(ln 1)
1(-+<+-+x x x
e e e
x x x 证明：原不等式)1()]1(ln 1)[1(2
2-+<+-+⇔e e x x x x
对x e 放缩，由1+≥x e x
可知只需证)1()1()]1(ln 1)[1(2
2
-++<+-+e x x x x
即证0ln 2)1)(1()1(ln 12
2
2
>+++⇔++<+----e
x e x x x e x x x
故只需证0ln 22
>++-e
x x x ，令2ln 2)(-++=e x x x x f ，则3'03ln )(->⇒>+=e x x x f
)(x f ∴在],0(3-e 上递减，在),[3+∞-e 上递增，故0)()(323>-=≥---e e e f x f ，得证
例25.证明：当0>x 肘，22
>+
-x
e
x x 证明：先把2
x 放缩掉，由x x x x x x ln 10122
2
≥-≥-⇒≥+-x
e
x x e x x +>+
-⇒ln 2
令x e x x f +
=ln )(，则由e x x
e x x
f >⇒>-=01)(2'
，)(x f 在],0(e 递减，在),[+∞e 递增，所以2)()(=≥e f x f 证毕
例26.设0>>a b ，求证：b a
b a
b a <--<
ln ln
证明：由基本不等式1ln 11-≤≤-x x x 得1ln 1-<<-a
b
a b b a
b a
b a b a a a b a b b a a b a b b a b <--<⇒<--<⇒-<-<-⇒ln ln 1ln ln 1ln ln
例27.求证：当20<<x 时，6
911)1ln(+<-+++x x
x x
证明：由11)11(2111ln 211)1ln(1ln -++-+<-+++=-+++⇒-≤x x x x x x x x
)11(3-+=x ，令)3,1(1∈=+t x ，则只需证0)2()1(5
)
1(31222<--⇔+-<-t t t t t
显然成立，证毕
例28.（2004全国2）设x x x g ln )(=，b a <<0，求证：
2ln )()2(
2)()(0a b b
a g
b g a g -<+-+< 证明：b
a b
b b a a a b a b a b b a a b a g b g a g +++=++-+=+-+2ln
2ln 2ln )(ln ln )2(2)()( 由x x 11ln -≥0)21()21(2ln 2ln =+-++-≥+++⇒b
b
a b a b a a b a b b b a a a
2ln )(2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln 22a b b a b
a b a b a b b b a a b a b b b a a a b b a b a a -<+-=+++<+++⇒+<+ 例29.求证：2ln 3>-x e x
证明：由132)1(32ln 31ln +-=---≥--⇒-≤x e x e x e x x x
x
x
令23)(+-=x e x f x
，则由3ln 03)('
>⇒>-=x e x f x
，)(x f ∴在]3ln ,0(上递减，在
),3[ln +∞上递增，所以03ln 34)3(ln )(>-=≥f x f ，所以2ln 3>-x e x
11 八、反客为主
例30.（2015全国Ⅰ）设)0(ln )(2>-=a x a e
x f x ，求证：a a a x f 2ln 2)(+≥ 证明：原不等式等价于02ln 2ln 2≥---a a a x a e
x ，转换主元，视a 为主元， 令a
a a x a e a g x 2ln 2ln )(2---=，则ex a ex a a g 20)2ln(ln )('>⇒>-= )(a g ∴在]2,0(ex 上递减，在),2[+∞ex 上递增，所以02)2()(2≥-=≥ex e ex g a g x。