浅谈数形结合思想的培养

浅谈数形结合思想的培养
内容摘要:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。

本文阐述数学中的很多概
念都有一定的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学概念的几何意义;函
数图象则是数的直观形象的反映,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图
象，结合实际图象记性质、用性质的好习惯; 数形要结合，关键在于能根据函数式(或方程)
画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。

借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和
解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养。

在数学教学中真正实现素质教
育。

关键词: 几何意义 数形结合 概念 基本图象 应用 代数 三角
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。

数和形是数学中最基本的两大概
念，是整个数学发展进程中的两大支柱。

数和形在客观世界中又是不可分割地联系在一起的。

著名数学家华罗庚先生说得好：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，华老亲切而风趣地告
诫我们不要“得意忘形”。

大脑的思维的逻辑性,来源于逻辑的客观性。

数形结合的思想方法是客观现实和数学本
身所决定的,大量的几何问题的解决,离不开代数方法,而代数、三角学科中的很多数量关系也
是可以利用图形去解决的,数与形所包含内容是十分丰富的。

数学教学要提高学生分析分析
问题和解决问题的能力，就要重视数形结合思想的培养，要有意识地对学生进行数形结合的
训练。

而我在多年的数学教学中对数形结合思想教学做了一些尝试，将此体会介绍如下。

一. 从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学
数学中的很多概念都有一定的几何意义,要培养学生数形结合的思想,就要善于挖掘数学
概念的几何意义。

刚进入初中的学生在学习绝对值的概念时,教材对绝对值的几何意义作了
如下描述:“一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离”。

如果教师此时能
有意识地重视讲清:“x 在数轴上表示数x 所对应的点到原点的距离,而x a -表示数x 与a
对应的两点间距离”。

那么对于绝对值不等式：1346x <+≤，便可以用图解如下：
Q 不等式1346x <+≤与不等式14233
x <+≤为同解不等式， ∴43x +的几何意义便知式子14233x <+≤中的x 在数轴上对应的点到点43
-的距离应大于
1而不大于2。

(如图中画有阴影线的部分)
3- -3 -2 3- 3- -1 0 3 1 图⑴
通过认真讲述数学概念的几何意义,沟通数与形的本质联系,不仅可以深化对数学概念
的理解,而且还为提高学生解决问题的能力开辟了新途径。

所以从低年级起就要重视数学概
念的几何意义的教学，知难而进，培养兴趣，持之以恒，将会有极大的收益。

二. 重视数学的的基本图象在代数、三角上的应用
如果说坐标系是数与形结合的纽带，那么我认为函数图象则是数的直观形象的反映。

在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象，结合实际图象记性质、用性质
的好习惯。

初中三年级的时候，学生学习了一元二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和
性质，到了中专一年级上学期，在讲授不等式()200ax bx c ++><或的解法时，便可以集
“求根公式法”、“图象法”之长而引出较为简单直观的“数形结合法”解一元二次不等式。

下面举例应用
例1．
x ≥
分析：令1y = ，2y x = 12,y y 为两个不同的函数
画出函数12,y y 的图象 1y 的曲线是以(-2,0)为圆心,以3为半径的上半圆,
2y 的曲线是Ⅰ,Ⅲ两个象限角的平分线.
当12y y =时,22
x -== 则由图观察12y y ≥可知其解集为5x x ⎧⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭
例2.方程sin lg x x =的实数根的个数是 ( ).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 大于3
分析: 如图在同一直
角坐标系内分别画出函数1sin y x = 和2lg y x =的图象,
由于2lg lg101y x ===,
那么2lg y x =中的3x π≈. 显然知两个
函数曲线相交有三个交点. 故选(C) 例3.在(0, 2π)内,使sin cos x x >成立的x 取值
x
x
范围是 ( ).
5.,,424A ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭U .,4B ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.,44C ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 53.,,442D ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 分析:画出单位圆,观察图象知
利用正弦函数线与余弦函
数线比较大小找出正确的选项. o 即选C
54π 例4.圆()2211x y -+=的圆心到直线3
y x = 的距离是 ( )
1.2A 2B C. 1 D. 分析:建立直角坐标系, 画出圆和直线, y =
利用圆的半径和直线的斜率及利用平
面几何中的直角勾股弦定理, 使这个问题很容易得出正确的选项 即选择(A) 例5.设函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数,()()2f x f x +=-,
当01x ≤≤时, ()f x x = .则()7.5f = ( )
A. 0.5
B. -0.5
C. 1.5
D. -1.5
分析: ()()2f x f x +=-Q
()()121f x f x ∴-+=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
即()()11f x f x +=-
故1x =是曲线()y f x =的对称轴方程
图⑹
又()f x Q 的图象关于原点对称，
由此可知曲线()y f x =的图象如上图所示
易知：取()7.50.5f =- 选(B)
通过上述五个例子,明显体会得出,解题的篇幅少,解题的效率极高。

在数学中，据统计数
学教学的习题教学约占总教学时数的70%，因此习题教学的成败在很大程度上决定了数学
教学效果的高低，教学怎样体现出智能、情趣是很关键。

爱因斯坦说“兴趣是最好的老师”。

为什么学生学数学没兴趣，这个问题受诸多因素的影响。

我认为，由于数学知识越学越多，
若没良好的学习方法，学得时候是囫囵吞枣，前一个知识还没弄懂、消化，后一个知识又开
始学了,久而久之, 周而复始，不懂的知识越积越多,学生显然感到越学越差,越学越没劲，就
会丧失学习数学的信念，这样兴趣从何而来？更多的学生是不会总结积累数学的思想、方法，学了后面忘了前面，学到最后，脑子里是一盆浆糊，一团乱麻。

因此作为老师就要教他们梳
理所学数学的知识和数学的思想、方法。

特别要将教材中隐藏的思想方法挖掘出来，并且要
把分析问题和解决问题的方式、方法教给学生，同时要让他们得到一定的训练，达到久久难
以忘怀的程度，从而使学生感受到其中的乐趣。

那么我现在所探讨的数形结合的思想方法就
是教材中隐藏的数学的思想方法之一，它的特点：是直观形象、简捷明快、不易错。

它也是
高考重点考核的思想方法之一。

很多数学问题用此方法来解，可以达到化难为易、化险为夷
的目的。

同时，也是实实在在对学生进行素质教育的一种方式。

三．要善于挖掘代数式的几何意义
数形要结合，关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何
意义。

数学上的有很多公式、定理都具有一定的几何意义,教学中引导学生深刻分析这些公
式、定理与几何图形的内在的本质地联系，从而寻求解决问题的有效方法。

比如代数式12
y x ++，如果不引导学生去与直线的斜率公式2121y y k x x -=-相联系进行比较,那么就很少有学生会将代数式
12
y x ++看成是点(),x y 与点(-2,-1)连线的斜率,也就挖掘不出代数式12y x ++的几何意义。

当学生对代数式12y x ++的几何意义有了理解,那么下面的问题也就不难找到解的方法了。

例6.已知22
14y x +=, 求代数式12y x ++的最大值和最小值。

分析:由已知得2
2
14y x +=的曲线是椭圆,将代数式变形为()()12y x ----,
便可将其看成两点(,x y )与(-2,-1)的连线斜率,
不仿设斜率k =12
y x ++ ∴过点(-2,-1)斜率为k 的直线方程为
()12y k x +=+.
由右图形看出:
只有直线()12y k x +=+与 椭圆2
2
14y x +=相切时, k 值才会达到最大或最小.
要使直线与椭圆相切,只须方程组
()2
21214
y k x y x +=+⎧⎪⎨+=⎪⎩有唯一组解. 利用根的判别式不难求解为23
k ±=. 即代数式12y x ++的最大值为23+, 最小值为2例7. 如果实数,,,a b c d 满足2222244444a b a b c d c d ⎧++-+=⎨+-++=⎩求.()()22a c b d ω=-+-的最大值或最小值. 分析: 本题用代数方程解将十分困难,联系右图来解, 则是柳暗花明又一村。

由条件变为：()()()()22
22121224
a b c d ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩， 因此，(,a b )可视为圆()()22121x y +++=上的动点;
(,c d )可视为圆()()22224x y -++=上动点.
而()()22a c b d ω=-+-是(,a b ),(,c d )两点间距离的平方. 如图过两圆的圆心g,G 作直线交两圆分别为p,P,q,Q.
[]()642152122
max =++=++=gG ϖ 图⑺
x
[]4)215(2222min =--=--=gG ϖ 例8.已知:1a b +=
求证: ()()229112
a b +++≥ 证明: 由1a b +=
挖掘出(),M a b 是直线1x y +=上的任意点的几何意义.
因此,构造出上图,点()1,1p --到点 M 的距离不小于它到l 的距离. 由两点间的距离公式及点到直的
距离公式得
≥ 故 ()()229112
a b +++≥成立. 例9.已知:正数,,x y z 满足2222221
34x y xy y z yz z x zx ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩
求: x y z ++的值
分析: 由已知条件,观察、发现22
a b ab k ++=的形式与余弦定理2222cos a b ab C c +-= 有近似之处，
于是构造出下方程组
()()()2222222222cos120112cos12022cos12023x y xy y z yz z x zx ⎧+-=⎪⎪+-=⎨⎪+-=⎪⎩
o o o L L L L L L
其方程组的几何意义凸现出来，
把代数问题转化成几何问题来求解。

由此可作出以1，2为边长的
直角三角形ABC ，在Rt ABC ∆
内取一点O 。

设.,,OA z OC y OB x ===
120AOC AOB BOC ∠=∠=∠=o
B
图⑽
图⑼
由AOB
BOC COA ABC S S S S ∆∆∆∆++=
()11sin120122xy yz zx ⇒
++=⨯⨯o ()24xy yz zx ⇒++=L L
将⑴+⑵+⑶+⑷得
()()22228
x y z xy yz zx +++++=2223x y z ⇒++=
那么()()2
2222x y z x y z xz xy zy ++=+++++ =3+2+2 =7
故 x y z ++=
可见,挖掘代数式的几何意义,数形结合起到了鬼斧神工的妙用。

总之，数学中的很多概念、法则、公式、定理都与一定的空间形式密切联系，曲线与方程、
区域与不等式、函数与图象、三角函数与单位圆中的三角函数线，复数与向量都有内在的联
系，而数形结合则是具体与抽象、感知与思维的结合，是发展形象思维与抽象思维一并使之
相互转化的有力“杠杆”。

教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助
数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数
学素养，在数学教学中真正实现素质教育。

参考资料
1. 罗增儒.中学数学思想方法的教学.中学数学教学参考2000(6)
2. 惠州人.形与数关系的应用. 中学生数学报,1999(10)
3. 周春红.全国成人高考丛书数学文科.函数,三角两章.北京邮电大学出版社,2002。