重庆市、成都、安徽、浙江丽水2023年中考几何压轴题解析(思维导图解题课件)

关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）

【拓展运用】(3)如图3，连接，
设的中点为N．若 = 2 2，
求点E从点A运动到点C的过程中，
ˊ ⊥∥⊙
△≌∽△
∠= ∠ °
± ×÷
点N运动的路径长（用含n的代数式表示）．
≠≤≥＜＞ →· α β γ
┓┏┗ ┛
098
中考真题压轴题：经典模型打前站,划归巧作辅助线,类比推理树标杆, 瓜豆原理巧求解
．若 = 4，直接写
出 + 的最小值．







∠= ∠ °
ˊ
⊥∥⊙



如图1
△≌∽△







如图2
± ×÷
≠≤≥＜＞ →· α β γ




如图3
┓┏┗ ┛
097
中考真题压轴题：旋转全等是主线,构造平四是关键,等腰又见一二零,点线最值定乾坤
如图，在等边△ 中， ⊥ 于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，
GF ∥DQ；GF =DE=DQ
= =


1
= 2②
2
∠AGD=120 °

3


∠PGQ=360 ° -240 °=120 °
= 3 = 3 等腰模型 ③

Q点在DR与AC的交点处，GQ最小=1 →PQ= 3

△≌∽△
证明：□DQFG①

∠= ∠ °
ˊ
ˊ

① + ②：60° − ∠ = 60° − ∠


③∠ = ∠

如图1
①+②+③：△ ≌△ SAS ；EB=EC
发散思维：FA=FC
△≌∽△
∠= ∠ °
垂直平分
ˊ
⊥∥⊙
发散思维：BA=BC
± ×÷
等角套，套等角
顺藤摸瓜找全等
≠≤≥＜＞ →· α β γ
(2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证： = ；
(3)如图3，连接交于点，连接，，将△ 沿所在直线翻折至△ 所在平面
内，得到△ ，将△ 沿所在直线翻折至△ 所在平面内，得到△ ，连接，
△DGM∽△DBF →
△≌∽△
∠= ∠ °


=


ˊ

重要发现：

1

1


⊥∥⊙
± ×÷
= → =
=
H


=




=

G
M
1

≠≤≥＜＞ →· α β γ
┓┏┗ ┛


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中考真题压轴题：经典模型打前站,划归巧作辅助线,类比推理树标杆, 瓜豆原理巧求解
如图在Rt △ 中，∠ = 90°, = ，D是边上一点，且


= =
1
= 2
2
= 3 = 3
⊥DR，= 3 = 3最小



= 4
= =
= 1/2
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中考真题压轴题：旋转全等是主线,构造平四是关键,等腰又见一二零,点线最值定乾坤
120等腰三角形
底是腰的 3倍
1
120 °
1

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中考真题压轴题：旋转全等是主线,构造平四是关键,等腰又见一二零,点线最值定乾坤
如图，在等边△ 中， ⊥ 于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，
2023年重庆中考数学26题
，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．
(1)如图1，求证：∠ = ∠；
3
AG = ( + )
2
× �� = +
2
3
1
= +
2




图2


+ =





与（1）的
划归 关系
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中考真题压轴题：经典模型打前站,划归巧作辅助线,类比推理树标杆, 瓜豆原理巧求解
如图在Rt △ 中，∠ = 90°, = ，D是边上一点，且
如图在Rt △ 中，∠ = 90°, = ，D是边上一点，且


1

= （n为正整数），E是
边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．2023年四川成都中考数学第26题
【初步感知】(1)如图1，当 = 1时，证明： + =
2
．
2
图1
如图，连接，构造等角套：∠ = ∠

cos∠E2DN2= cos∠DE2N2 =
参照前面的课程补全步骤
DN2 =
1
EF
2 2 2
△≌∽△
=
2+1
2
∠= ∠ °

1
2
⊥∥⊙

= 2 2 →E点的运行轨迹为2
± ×÷
1


2
定角∠E2DN1+DN2:DE1定比—符合瓜豆原理
2
2+1
= 2
1
ˊ
1
2+1
=
1
△ ≌△ ASA
= 2 = 2( + )
=
△≌∽△



∠= ∠ °


= 1 →AD=DB； ∠A= ∠DCE=45 °
+ =




+ =
源自一个经典模型：若再连接EF，里面还有哪些精彩的结论？
ˊ
⊥∥⊙
± ×÷


1

= （n为正整数），E是
边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．2023年四川成都中考数学第26题
【深入探究】(2) ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结
论（直接写出结论，不必证明）。
Ⅰ.F在BC上
首先确定：Ⅰ.F在BC上；Ⅱ.F在BC的延长线上。分类探究


1

= （n为正整数），E是
边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．2023年四川成都中考数学第26题
【深入探究】(2) ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结
论（直接写出结论，不必证明）。
首先确定：Ⅰ.F在BC上；Ⅱ.F在BC的延长线上。分类探究
⊥∥⊙

± ×÷
（ + ）最小 = +
≠≤≥＜＞ →· α β γ
┓┏┗ ┛
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中考真题压轴题：经典模型打前站,划归巧作辅助线,类比推理树标杆, 瓜豆原理巧求解
如图在Rt △ 中，∠ = 90°, = ，D是边上一点，且


1

= （n为正整数），E是
Ⅰ.F在BC延长线上，上取一点使 = ，过作 GH∥ 交于，交于，连接
类比①得 − =
2
2

=
2

+1
2
2
1
×(
) = − = −
2
+1



−
1

= ， =


=


+

△DHE≌△DGM
，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．
(1)如图1，求证：∠ = ∠；
△ 为等边三角形
①∠ = 60°， =
将绕点顺时针旋转60°得到线段
2023年重庆中考数学26题
找一找其中的等腰
等边及全等三角形



② = ，∠ = 60°
，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．
(3)如图3，连接交于点，连接，，将△ 沿所在直线翻折至△ 所在平面
内，得到△ ，将△ 沿所在直线翻折至△ 所在平面内， 如图3



得到△ ，连接，．若 = 4，直接写出 + 的最小值．
≠≤≥＜＞ →· α β γ

倍
长
中
线
和
平
行
线
夹
中
点
模
型
构
造
平
行
四
边
形
FK=FG
┓┏┗ ┛
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中考真题压轴题：旋转全等是主线,构造平四是关键,等腰又见一二零,点线最值定乾坤
如图，在等边△ 中， ⊥ 于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，
2023年重庆中考数学26题
过点作 ∥ ，交点的延长线于点，连、：设想构造平行四边形
易证：垂直平分 →EB=EC
等腰等边全等直角三角形
等边△DCG
垂直平分
等角套，套等角顺藤摸瓜找全等
∠CDG= ∠CGD=60 °
∠= ∠ °
△ ≌△

=
=

=
≠≤≥＜＞ →· α β γ
┓┏┗ ┛
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中考真题压轴题：经典模型打前站,划归巧作辅助线,类比推理树标杆, 瓜豆原理巧求解
如图在Rt △ 中，∠ = 90°, = ，D是边上一点，且


1

= （n为正整数），E是
边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．【深入探究】(2)①如图2，当 = 2，且点F
⊥∥⊙
± ×÷

△CDE≌△CGF
=
四边形是平行四边形
ˊ




∠ = ∠ = 30°
△≌∽△
=

=
≠≤≥＜＞ →· α β γ


中点是条件：倍长
中点是结论：平行
┓┏┗ ┛
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中考真题压轴题：旋转全等是主线,构造平四是关键,等腰又见一二零,点线最值定乾坤
如图，在等边△ 中， ⊥ AF=BE=EC=FC
于点，为线段上一动点
（不与，重合），连接，
，将绕点顺时针旋转
BA=BC

中点是条件：倍长
中点是结论：平行
垂直平分
ED=GF=FK（倒角见下）

60°得到线段，连接．
(2)如图2，连接交于

△DGM∽△DBF →

1

= ， =

+

M



=


+
≠≤≥＜＞ →· α β γ
G
┓┏┗ ┛

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中考真题压轴题：经典模型打前站,划归巧作辅助线,类比推理树标杆, 瓜豆原理巧求解
如图在Rt △ 中，∠ = 90°, = ，D是边上一点，且
四边形是平行四边形

点，连接，，
=
与所在直线交于点，



求证： = ；
过点作 ∥ ，交点的延长线于点，连、

��
倒角：∠FGK= ∠BGD=30 °； ∠FKG= ∠ADG=30 °
△≌∽△
∠= ∠ °
ˊ
⊥∥⊙
± ×÷
∠FGK= ∠FKG
在上取一点使得 = ，过作的平行线，交于点，交于点
同①得 + =
2
2

=
2

+1


△≌∽△
∠= ∠ °


ˊ
=


1

1

= → =
⊥∥⊙
± ×÷
H

2
2
1
×(
) = + = +
2
+1
在线段上时，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；

过的中点作的平行线，交于点，交于点H
= 2 → = =GB

2
=
3

△ 是等腰直角三角形，AD=DG
易证△DMG∽△DFB

2
1
=
2
由（1）可知：
2
=
┓┏┗ ┛
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中考真题压轴题：旋转全等是主线,构造平四是关键,等腰又见一二零,点线最值定乾坤
如图，在等边△ 中， ⊥ 于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，
2023年重庆中考数学26题
，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．
(2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证： = ；


1

= （n为正整数），E是边
上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点
为N．若 = 2 2，求点E从点A运动到点C的过程中，点N运动的路径长（含n的代数式表示）.
1
模型的威力，模型的魅力：发现并应用瓜豆原理@
注意：
2
由前面的证、推理可知：对于任意的点E，比如E2
边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．2023年四川成都中考数学第26题
【初步感知】(1)如图1，当 = 1时，经探究得出结论：�� + =
2
，请写出证明过
2
程．
【深入探究】(2)①如图2，当 = 2，且点F在线段上时，试探究线段，，之间的数
量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量


等边△CDG，依题意，∠DAP= ∠ADQ=60 ° →延长, 交于点
△ 是等边三角形
= =
FG⊥AC；DQ ⊥AC →GF ∥DQ
易得∠AGD=120 °
+ = +
Rt △ ≌ Rt △
四边形是平行四边形
∠ = 360° − 2∠ = 120°