中考数学考点总动员系列 专题20 图形的变换-人教版初中九年级全册数学试题

考点二十：图形的变换
聚焦考点☆温习理解
一、平移
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2、性质
（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

二、轴对称
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

三、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

四、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）
名师点睛☆典例分类
考点典例一、轴对称变换（含折叠）问题
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）
A．6 B．12 C．25 D．45
【答案】D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
【举一反三】
1.（某某某某，第20题）（3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=46，则FD的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．23
【答案】B．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
2.（2015内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为．
6
【解析】
试题分析：∵分别以AE ，BE 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处，∴DE =EF ，CE =EF ，AF =AD =2，BF =CB =3，∴DC =2EF ，AB =5，作AH ⊥BC 于H ，∵AD ∥BC ，∠B =90°，∴四边形ADCH 为矩形，∴AH =DC =2EF ，HB =BC ﹣CH =BC ﹣AD =1，在Rt △ABH 中，AH =
22AB BH -=26，∴EF =6．故答
案为：6．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
考点典例二、点的对称
【例2】已知点()()A m 2,3,B 4,n 5+-+ 关于y 轴对称，则m n +=．
【答案】0.
【解析】∵点()()A m 2,3,B 4,n 5+-+ 关于y 轴对称，
∴()m 24m 2m n 0n 23n 5
⎧+=--=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=-=+⎪⎩⎩. 考点：1.关于y 轴对称的点的坐标特征；2.二元一次方程组的应用；3.求代数式的值.
【点睛】关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数.
【举一反三】
1.（2015眉山）点P （3，2）关于y 轴的对称点的坐标是_________．
【答案】（﹣3，2）．
考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
2.（2015凉山州）在平面直角坐标系中，点P （﹣3，2）关于直线y x =对称点的坐标是（ ）
A ．（﹣3，﹣2）
B ．（3，2）
C ．（2，﹣3）
D ．（3，﹣2）
【答案】C ．
【解析】
试题分析：点P 关于直线y x =对称点为点Q ，作AP ∥x 轴交y x =于A ，
∵y x =是第一、三象限的角平分线，∴点A 的坐标为（2，2），∵AP=AQ ，∴点Q 的坐标为（2，﹣3） 故选C ．
考点：坐标与图形变化-对称．
考点典例三、平移
【例3】如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）
(A)16cm (B)18cm (C)20cm (D)22cm
【答案】C ．
【点睛】根据平移的基本性质，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；即可求出答案.
【举一反三】
1.（2015.某某某某，第9题,3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC 先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△111A B C ，那么点A 的对应点1A 的坐标为（ ）
A ． （4，3）
B ． （2，4）
C ． （3，1）
D ． （2，5）
【答案】D 考点：坐标与图形变化-平移． 2.（2015·某某某某）在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点的坐标为（ ）
A.（1，2）
B.（3，0）
C.（3，4）
D.(5，2)
【答案】D
【解析】
试题分析：根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变，
故选D.
考点：坐标的平移.
考点典例四、旋转变换（含中心对称）问题
【例4】如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=3，∠B=60°，则CD的长为（）
A．0.4 B． C．2 D．1
【答案】D．
考点：1.旋转的性质；2.含30度直角三角形的性质；3. 等边三角形的判定和性质．
【点睛】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算．
【举一反三】
1. (2015.某某市，第11题，3分)中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于
∠ABC ，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA ′E ′，连接DA ′.若∠ADC =60°，∠ADA ′=50°，则∠DA ′E ′的大小为
( )
（A ）130° （B ）150° （C ）160° （D ）170°
E'A'
E
B D C
A
【答案】C.
【解析】 试题分析：根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠ABC=60°,在Rt △ABE 中，可求得∠EAB=30°；由旋转的性质可得∠EAB=∠BA ′E ′=30°；在四边形AEA ′D 中，根据四边形的内角和为360°可求得∠DA ′B=130°，所以∠DA ′E ′=∠DA ′B+∠BA ′E ′=130°+30°=160°，故答案选C.
考点：平行四边形的性质；旋转的性质；据四边形的内角和为360°.
2.（2015.某某某某第6题，3分）如图，在△ABC 中，∠CAB =65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（ ）
A ．35° B．40° C．50° D ．65°
【答案】C ．
【解析】
试题分析：∵CC ′∥AB ，∴∠ACC ′=∠CAB =65°，∵△ABC 绕点A 旋转得到△AB ′C ′，∴AC =AC ′，∴∠CAC ′=180°﹣2∠ACC ′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC ′=∠BAB ′=50°．故选C ．
考点：旋转的性质．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (某某日照，第1题，3分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：解：根据轴对称图形的概念可知：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．考点：轴对称图形．
2.（2015甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故B正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故D错误．
故选B．
考点：中心对称图形．
3. (2015·某某某某）如图，在Rt∆ABC中，∠BAC＝90，将∆ABC绕点A顺时针旋转90后得到∆A B C''（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接C C'。

若∠C C'B'＝32，则∠B的大小是（）(A) 32°(B) 64° (C) 77°(D) 87°
【答案】C
考点：旋转图形的性质、三角形内角和定理.
4.(2015·某某襄阳,12题)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝25 D．AF＝EF
【答案】D．
由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）．
5.(2015·某某某某）在平面直角坐标系中，把点)3 5(，-P 向右平移8个单位得到点1P ，再将点1P 绕原点旋
转 ︒90得到点2P ，则点2P 的坐标是 ( )
A.)33(-，B ．)3 3(，-C ．)33()3 3(--，或，D ．)33(-，或)3 3(，
- 【答案】D.
【解析】
试题分析：)3 5(，-P 向右平移8个得1P （3，3）
，再旋转90°，分顺时针和逆时针两种，顺时针旋转得时候得到答案为)33(-，，逆时针旋转的时候答案为)3 3(，
-. 故选：D.
考点：坐标系.
6.（2015.某某某某，第20题）（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若AB =6，BC =46，则FD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C 6．23【答案】B ．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．
7.（某某某某第8题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 逆时针旋转60°得到△CBD ．若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为（ ）
A ．（﹣13
B ．（﹣23
C ．（3，1）
D ．（3-，2）
【答案】A ．
考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．一次函数图象上点的坐标特征．
8.（2015·某某某某，8题，3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF = （ ）
A ．43
B ．34
C ．53
D ．5
4
【答案】D.
【解析】
试题分析：由翻折易知BE=EF,因为点E 是BC 的中点，故BE=EC=6，所以FE=EC=6，∠EFC=∠ECF,再由四边形内角和可求出∠EFC+∠ECF=∠BEF ，从而可得∠ECF=∠BEA ，进而求得答案.
试题解析：根据题意得：BE=EF=6，∠B=∠AFE, ∠BEA=∠FEA
∵E 是BC 的中点
∴BE=EC=6
∴FE=EC=6
∴∠EFC=∠ECF
又∵∠BAF+∠B+∠BEF+∠AFE=360° ∴∠BAF+∠BEF=180°
又∵∠FEC+∠BEF=180°
∠FEC+∠FCE+∠EFC=180°
∴∠ECF=∠BEA
在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE=
2210AB BE += sin ∠BEA=8415
0AB AE == ∴sin ∠ECF=
45 故选D.
考点：翻折问题.
二、填空题
9.(2015.某某市，第18题，4分)已知在ABC ∆中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________．
【答案】434-
【解析】
试题分析：如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过C 作CF AE ⊥交AE 于F ，而142
CF AC ==，43AF =，故843DF =-.在ABC ∆中，易求得75B ∠=，故45E ∠=，CEF ∆为等腰直角三角形，4EF CF ==，所以4(843)434DE EF DF =-=--=-.
？30°30°88
8F
E A
B C D
30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.
10.(2015.某某，第13题，3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,4），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O 'A 'B '，点A 的对应点A '是直线45
y x =上一点，则点B 与其对应点B '间的距离为．
【答案】5.
考点：平移的性质；正比例函数图象上点的特征.
11.（2015.某某莱芜第16题）在平面直角坐标系中，以点)3,4(A 、)0,0(B 、)0,8(C 为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△111C B A （点111C B A 、、分别为点C B A 、、的对应点），然后以点1C 为中心将△111C B A 顺时针旋转 90，得到△122C B A （点22B A 、分别是点11B A 、的对应点），则点2A 的坐标是.
【答案】（11,7）
考点：平移与旋转变换
12. （2014·某某）如图，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC 于点D ，若∠A′DC=90°，则∠A=°.
【答案】55.
【解析】
试题分析：∵把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，∴∠ACA′=35°，∠A =∠A′，. ∵∠A′DC=90°，∴∠A′ =55°. ∴∠A=55°.
考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.
13.(2015·某某某某，16题，3分)在矩形ABCD 中，AB =5，AD =12，将矩形ABCD 沿直线l 向右翻滚两次至如图所示位置，则点B 所经过的路线长是（结果不取近似值）．
【答案】12.5π．
【解析】试题分析：连接BD ．在直角△ABD 中，BD =22512+=13，则顶点B 所经过的路线长：90139012180180
ππ⨯⨯+=12.5π．故答案为：12.5π．
考点：1．轨迹；2．弧长的计算；3．旋转的性质．
14.（2015某某）如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD =5，BD =6，CD =4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，则∠CDE 的正切值为．
【答案】37．
【解析】
试题分析：∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵△ABD 绕A 点逆时针旋转得△ACE ，∴AD =AE =5，∠DAE =∠BNAC =60°，CE =BD =6，∴△ADE 为等边三角形，∴DE =AD =5，过E 点作EH ⊥CD 于H ，如图，设DH =x ，
则CH =4﹣x ，在Rt △DHE 中，2225EH x =-，在Rt △DHE 中，2226(4)EH x =--，∴2222
56(4)x x -=--，解得x =85，∴EH =2255()8
-=8715，在Rt △EDH 中，tan ∠HDE =EH DH =157
858
=37，即∠CDE 的正切值为37．故答案为：37．
考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．解直角三角形；4．综合题．
15.（2015·某某某某）如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AK =．
【答案】33．
【解析】
考点：旋转的性质．
16.（2015·某某某某）已知A 点的坐标为（－1,3），将A 点绕坐标原点顺时针90°，则点A 的对应点的坐标为
【答案】（3,1）
【解析】
试题分析：根据题意可知此题是旋转变换题，可根据题意作出草图如下： y
x
B
O D
C E
由图可知△BCO ≌△EDO ，故可知BC ＝OE ，OC ＝DE
答案为：（3,1）
考点：坐标点的变换规律
三、解答题
17.(2015·某某某某，23题，分)（本小题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
【答案】
（1）△AB C关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角为90°；
②点B2的坐标为（6，2）．
【解析】
试题分析：
（1）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；
（2）①AC2 与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.
试题解析：
（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角∠CAC2 =90°，即旋转了90°；
②∵A（3，2）、B（3，5）∴AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2，
∴B 2的坐标为（6，2）．
考点： 点的坐标；图形的变换—旋转；作图—图形变化类
18..(2015.某某省，第17题，8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC (顶点是网格线的交点)．
(1)请画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；
(2)将线段AC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A 2C 2，并以它为一边作一个格点△A 2B 2C 2，使A 2B 2＝C 3B 2．
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据轴对称作图作出即可；（2）根据平移的性质作出A 2C 2,在作出△A 2B 2C 2,使A 2C 2=C 2B 2 (答案不唯一).
试题解析：(1)△A 1B 1C 1如图所示；（2）线段A 2C 2和△A 2B 2C 2如图所示（符合条件的△A 2B 2C 2不唯一）．
考点：轴对称作图；平移的性质.
19.（8分）（2015•聊城，第19题）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是（﹣3，﹣1）．
A
B
C l 第17题图
（1）将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1坐标；
（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．
【答案】（1）点1B 坐标为：（﹣2，﹣1）；（2）点2C 的坐标为：（1，1）
【解析】
试题分析：（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
试题解析：解：（1）如图所示：△111A B C ，即为所求；点1B 坐标为：（﹣2，﹣1）；
（2）如图所示：△222A B C ，即为所求，点2C 的坐标为：（1，1）．
考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换
20.（2015某某）（10分）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A 、B 和D 的距离分别为1，22，10，△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连结PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q ．
（1）求证：△APP ′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ 的大小；
（3）求CQ 的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）45°；（3）133
． 试题解析：（1）∵△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，∴根据旋转的性质可知，△APD ≌△AP ′B ，∴AP =AP ′，∠PAD =∠P ′AB ，∵∠PAD +∠PAB =90°，∴∠P ′AB +∠PAB =90°，即∠PAP ′=90°，∴△APP ′是等腰直角三角形； （2）由（1）知∠PAP ′=90°，AP =AP ′=1，∴PP 2∵P ′B =PD 10，PB =22，∴222``PP BP BP ，
∴∠P ′PB =90°，∵△APP ′是等腰直角三角形，∴∠APP ′=45°，∴∠BPQ =180°﹣90°﹣45°=45°；
（3）作BE ⊥AQ ，垂足为E ，∵∠BPQ =45°，P ′B =22，∴PE =BE =2，∴AE =2+1=3，∴AB 22AE BE +13BE =139-=2，∵∠EBQ =∠EAB ，cos ∠EAB =13AE AB =，∴cos ∠EBQ =13BE BQ =，∴213BQ =，∴BQ =133，∴CQ 13213313．
考点：1．几何变换综合题；2．四边形综合题；3．压轴题．。