三角函数 同角三角函数的基本关系式 教案

三角函数·同角三角函数的基本关系式·教案
教学目标
1．复习巩固三角函数的定义；
2．由三角函数的定义，找出同角三角函数的基本关系式（同角公式）；
3．使学生理解同角公式都是特定意义的恒等式；
4．同角公式的简单应用．
教学重点与难点
同角公式的推导．
教学过程设计
师：我们先复习一下前面学过的三角函数的定义（边讲边画出下面的图形），找一位同学用x，y，r来表示出角α的三角函数．
师：好．都答对了．在这六个式子中，有两个式子
相乘等于1的吗？
生：（齐答）有．
师：好．哪两个式子相乘等于1呢？
生：tanα·cotα=1．（老师板书此式）
师：能证明吗？
生：能．由正切、余切的定义可直接证出结果．
师：说得非常好．还有吗？
生：有．sinα·cscα=1．（老师板书此式）
生：（齐答）还有一个．
师：好．谁来说出这一个？
生：cosα·secα=1．（老师板书此式）
师：还有吗？
生：（思考后摇头）没有了．
师：好．只有三个．这三个式子，有一个共同点，即相乘都是1，两个相乘等于1的数叫做互为倒数，因此我们把这三个式子叫做有倒数关系的式子．（边说边板书）
倒数关系：tanα·cotα=1．（1）
sinα·cscα=1．（2）
cosα·secα=1．（3）
师：在初中我们学过这个式子：sin2α＋cos2α=1．用代数方法可证明如下：（可写副板书）
故原式成立．
我们看这六个定义式中，还有这样的具有平方关系的式子吗？
（生思考．）
因此sin2α+cos2α=1．观察一下这六个式子中，还有分母相同的吗？
生：（齐答）有．（部分学生说：正割、正切．）
师：对．还有吗？
生：余割、余切．
师：谁能把式子说出来吗？
生：sec2α-tan2α=1，csc2α-cot2α=1．
（师板书这两个式子．）
师：这样我们又发现了三个具有平方关系的式子．（边说边把平方关系四个字写在这三个式子前面．）
平方关系：sin2α+cos2α=1．（4）
sec2α-tan2α=1．（5）
csc2α-cot2α=1．（6）
师：初中我们见过这个式子
并且用定义给出了证明．实际还有一个式子，与它类似，那就是余切cotα，你能写出cotα与正、余弦的关系吗？
师：对．我们把这两个式子叫做具有商关系．（板书）
我们把倒数关系、平方关系与商关系这八个公式统称为同角公式．（边说边点明课题，写出四个字：同角公式）我们观察这八个式子中，角α的取值范围是不是一样呢？先看
tanα·cotα=1．（1）
要想使（1）式有意义，就应满足tanα有意义，并且cotα有意义，也
师：很好．那么对于（2）式呢？同学们思考一下，α应取哪些值呢？
生：｛α|α∈R，α≠kπ，k∈Z｝．
师：很好．其余的六个式子中，对α的取值范围，请同学们自己写出来．
师：好．下面请同学说一下最后的结果．
生：（4）式的α取值为｛α|α∈R｝．
生：（6）式的α取值为｛α|α∈R，α≠kπ，k∈Z｝．
生：（8）式的α取值为｛α|α∈R，α≠kπ，k∈Z｝．
学生一边说，老师边板书写在前面的八个式子旁边，成为如下形式：
师：要想使左、右两边相等，首先要使式子有意义才行．上面这些关系式都是恒等式，即当α取使关系式的两边都有意义的任意值时，关系式两边的值都相等．以后所说的恒等式都是指这个意义下的恒等式．下面看书P141
第一自然段．（看完书后，给出一些时间记忆公式．）
师：这些公式怎么应用呢？下面看几个例题．（边说边板书）
值．
生：（齐答）（2）、（4）、（7）、（8）．
师：应用其中的哪个公式可得另一个三角函数值呢？
生：用（2）、（4）可求另一个三角函数值，而用（7）、（8）则求不出来．
师：好．这是因为（6）式或（7）式中各自仍有两个量是不知道的．那么我们用公式（2）或公式（4）来求．下面请同学说一下你打算怎样做．
α=1，可求出cosα的两个值，又已知α是第二象限的角，因此可以定
求出tanα和cotα，最后把正、余弦代入（2）、（3）式，又可分别求出cscα和secα．
师：好．下面自己把过程写出，与书上第141页的例1对照一下结果是否正确，错误的改正过来．
师：有同学用公式（2）做的吗？有．不多．有的同学对正割、余割的用法还不太熟练，下面同学用公式（2）再做一遍．找一个同学说一下思路．
生：由公式（2）可求出cscα，再由公式（6）
csc2α-cot2α=1，
求出cotα的两个值，由已知α是第二象限的角可定出cotα取负值，把cotα代入公式（8），可求出cosα，进而tanα，cscα，secα都可求出．
师：通过做此题我们感到，利用平方关系的式子得出的三角函数值通常会有两个，要依据题目中的条件判断取舍．本题是给出了“α是第二象限的角”的条件，可以取舍，假若没有这个条件，我们又该怎样做呢？好，请看例2．（板书）
师：此题你打算怎么做呢？
师：sinα值的符号怎样确定呢？
生：两个值都有可能取到．
师：什么时候取正，什么时候取负，你能确定吗？
生：能．
师：你说说看．
师：刚才这位同学已经给我们解释了为什么sinα的两个值都要取，而且要分不同的情况分别说明各取什么值．那么，α的其它三角函数值能求了吗？
生：能求．（板书）
（找一位同学到黑板来做，其他同学在笔记本上做．）
当α是第二象限角时，
当α是第三象限角时，
师：（巡视指导后）前面板书的同学已经做完了，看做得对不对？
生：（齐答）对．
师：大家看我这样写行吗？（下面板书）
由sin2α＋cos2α=1，得
（部分生：可以．）（部分生：不可以．）
师：下面请认为可以这样写的同学说一说理由．
因此这样写没有错．
师：其他同学的意见呢？
生：α角能确定出所在的象限，就可以把值确定出来，可是这样写不明确．
师：这位同学解释是对的，既然可以判断出α角所在的象限，那么就应该把具体某一象限的某一函数值说明确．像刚才我写得那样，当α是第二象限角时，还是不能明确sinα的值到底取哪一个，因此，我们以后再做此类题，能确定α所在的象限时，一定要分开求解，这样的题，一般有两组解．例2与例1相比，例1是已知一个三角函数值，并且给出α角所在象限，求其余的三角函数值，这样的题一般只有一组解．而像例2，已给一个三角函数值，未给出α角所在的象限，求其余的三角函数值，一般是先确定α角可能所在的象限，分情况来求．一般此类题有二组解．例1与例2的共同点是所给的三角函数值是具体的，如果所给的三角函数值是用字母形式给出的，我们又将如何求解呢？（板书）
例3 已知：cotα=m（m≠0），求α的其他三角函数值．
师：这道题仍是已知α角的一个三角函数值，但是这个值是用字母m给出的，只给出了m≠0，但m是正数，还是负数并没给出，因此正、负数都可取得．而α角在第几象限呢？m为正数时，α角在第一或第三象限；m 为负值时，α角在第二或第四象限，因此说α角可以是第一、第二、第三或第四象限的角．而α角的终边会不会在两个坐标轴上呢？
生：（齐答）不会．
生：为什么？
生：（齐答）因为给了m≠0．
师：很好．这个条件如果没有怎么办？
生：（齐答）那就需要考虑α角的终边落在坐标轴上的情况．
师：题目给出m≠0，实际上是把问题简化了，还是复杂了？
生：（齐答）简化了．
师：我们搞清了α角所在的象限，那么怎么求呢？
生：（齐答）分四种情况去写．
师：自己写在笔记本上．（板书解题过程）
解因为cotα=m（m≠0），所以α角的终边不在两个坐标轴上．
（1）角α是第一或第二象限的角时，
csc2α=cot2α+1=m2+1，
（2）角α是第三或第四象限的角时，
csc2α=cot2α+1=m2+1，
师：（写完板书后巡视）写完四种情况的同学看能不能把四种情况合写成两种呢？
（生思考）
师：黑板上我给合写出了两种情况，本质上与你们写的四种情况是一样的，只是形式上简单了一些．
师：这三道例题我们回顾一下，它们的共同点与不同点，你能用自己的语言把它们概括一下吗？
生：这三个题由易到难．例1是给一个三角函数值，并给出了角α所在的象限，利用同角公式便可求出其他三角函数值，这样的题目一般只有一组解．例2是给出一个角的具体三角函数值，但未给出角所在的象限，那就要先确定角α所在的象限，然后分情况来求其他的三角函数值，这样的题目一般有两组解．例3是给出了一个角的三角函数值，但是用字母给出的，这时还要考虑字母是否为零，确定角α所在的位置分别来求．若字母m ≠0，一般有四种情况，而结果形式可以写成两种．
师：这位同学总结得非常好．这三道例题是我们对于同角公式的一个应用．下面看一看这节课我们研究了什么规律？
生：（齐答）同角公式．
师：同角公式中，注意研究是同一个角α的不同三角函数之间的关系，从形式上看，八个公式中有六个与“1”有关，可以看出“1”在三角函数这部分知识中有它的特殊地位．从形式上看是八个公式，其中每一个公式还有它的变形形式，比如刚才做例3时用到的
cosα=sinα·cotα，
也要熟记，这样才能在应用时灵活准确．
同角公式的应用今天我们接触了一些，下次课我们还要讲在其他方面的应用．
今天回去的作业是看书P139～P143．
作业
课本P144练习一第1，2，3题．P148习题十二第9题（1），（2），（3）．
课堂教学设计说明
这节课是在学习了三角函数的定义后讲授的内容，是同角公式的第一节课．主要采取了这样几个层次教学：
第一层次，复习三角函数的定义，为学习同角公式打下基础．
第二层次，从角α的六个三角函数式中，让学生观察出相乘为1的具有倒数关系的三个式子；再从
这两个初中见过的式子出发，以这两个式子为突破口分别找出具有平方关系的三个式子和具有商关系的两个式子：
csc2α-cot2α=1．
数学上的任何新知识，都是与旧知识有紧密联系的，因此这样在复习旧知识的基础上又发现了新的结论，此时鼓励学生用代数方法证明自己所发现的结论，进而成为新的知识．为了完善这一新知识，使它更为严谨，启发学生要考虑到角α的取值范围，在这个特定意义上才有可能成为恒等式．
第三层次，这八个公式的特点是同一个角α不同的三角函数值之间的关系，因此要注意公式的特点．在记忆公式中，还要注意它们变形形式的应用；此外，在公式的记忆上，根据学生情况，可教给学生如下六角形来记忆．方法是：
1．倒数关系的三个公式可用过中心的三条对角线来记忆，如
sinα·cscα=1，
cosα·secα=1，
tanα·cotα=1．
2．平方关系的三个公式可用带阴影的三角形来记
忆，上边两个顶点处的三角函数值的平方和等于下面
顶点上的三角函数值的平方，如：
tan2α+1=sec2α；cot2α+1=csc2α；sin2α+cos2α=1．
3．商关系，可用正六角形任何相邻三个顶点处的三个三角函数中得到：即中间的一个是相邻两个的乘积，如sinα=cosα·tanα，
cosα=sinα·cotα，
tanα=sinα·secα
等等．而我们常用的是前两个．
第四个层次，同角公式的简单应用．
这几个例题主要是练习公式的应用，注意什么情况下是一组解，什么情况下是两组解，什么情况下是四组解（即两种形式），使学生能准确、灵活的应用公式．
教学过程中，主要是想通过教师的启发，发挥学生的主体作用，在学生已有知识的基础上，探求、发现新的知识，而不简单地把知识结果向学生灌输．从而使学生在探求新知识的过程中体会到发现的乐趣，进而培养学生的创新精神．。