人教版九年级数学下册作业课件 第二十七章 相 似 专题课堂(五) “射影定理图”

(2)由(1)知 PD 是⊙O 的切线，直线 PA 与⊙O 相切，∴PO 垂直平分 AB，∴∠AMP ＝∠AMO＝90°，∴∠APM＋∠PAM＝90°，∵∠OAP＝90°，∴∠PAM＋∠OAM＝90°， ∴∠APM＝∠OAM，∴△OAM∽△APM，∴APMM ＝OAMM ，∴AM2＝OM·PM
2．如图，在矩形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，AE⊥BD 于点 F，连接 CF. (1)求证：AB＝CF； (2)若 AB＝4 2 ，求 DF 的长．
解：(1)∵AM 是⊙O 的切线，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD， ∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB
(2)连接 AD，∵AB 是直径，∴∠CDB＋∠ADC＝90°，∵∠CAB＋∠C＝90°， ∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，∵∠BAD ＋∠DAP＝90°，∠DAP＋∠APD＝90°，∴∠APB＝∠BAD，∵∠BDA＝∠BAP， ∴△ADB∽△PAB，∴APBB ＝BADB ，∴PB＝ABBD2 ＝530 ，∴DP＝530 －6＝332
[对应训练] 1．(2022·滨州)如图，已知 AC 为⊙O 的直径，直线 PA 与⊙O 相切于点 A，直线 PD 经过⊙O 上的点 B 且∠CBD＝∠CAB，连接 OP 交 AB 于点 M.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)AMOC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CBA ＝ 90°， ∴∠CAB ＋ ∠OCB ＝ 90°， ∵∠CBD ＝ ∠CAB ， ∴∠CBD ＋ ∠OBC ＝ 90°， ∴∠OBD＝90°，∴PD 是⊙O 的切线
解：(1)延长 AE，DC 相交于点 H，∵E 为 BC 的中点，∴BE＝CE，∵四边形 ABCD 是 矩 形 ， ∴AB∥CD ， AB ＝ CD ， ∴∠ABE ＝ ∠HCE ， ∠BAE ＝ ∠H ， ∴△ABE≌△HCE(AAS)，∴AB＝CH，∴CD＝CH，∵BD⊥AE，∴∠DFH＝90°，∴CF ＝12 DH＝CD＝AB
数学 九年级下册 人教版
第二十七章 相 似
专题课堂(五) “射影定理图”
【例】(2022·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，AM 是⊙O 的切线，AC，CD 是⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，连接 BD 并延长，交 AM 于点 P.
(1)求证：∠CAB＝∠APB； (2)若⊙O 的半径 r＝5，AC＝8，求线段 PD 的长．
(2)∵BE∥AD，BE＝12 BC＝12 AD，∴△BEF∽△DAF，∴ABDE ＝DBFF ＝12 ，设 BF＝a，则 DF＝2a，∵∠AFB＝∠BAD＝90°，∠ABF＝∠DBA，∴△BFA∽△BAD， ∴AB2＝BF·BD，∴(4 2 )2＝a×3a，解得 a＝436 (负值舍去)，∴DF＝2a＝836