新教材高考数学一轮复习第八章8-6双曲线课件新人教A版

2
=λ(λ≠0).

2
(5)若双曲线 2
1
则 2
1
−
2
=1(其中

+
1
=1.
2
2
−
( √ )
2
2
=1(a>0,b>0)与 2
2
−
2
=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,
2
( √ )
2
2.“m>0”是“方程

2
−
=1
+2
表示双曲线”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C: 2
−
2
=1(a>0,b>0)过点(√2, √3),且实轴的两个端点与虚轴
2
的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线 C 的标准方程为(
A.
2
1
2
2
-y =1
2

C.x2- 3 =1
2
B.
9
D.
2
2
3
−
2
=1
3
−
2
3
2
=1
)
3.已知双曲线
2
C: 2
−
2
=1(a>0,b>0)过点(√2, √3),且实轴的两个端点与虚轴
故双曲线 C 的标准方程为
2

x2- =1.
3
2
3
- =
2 2

= √3,
时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
常用结论
4.双曲线中点弦的斜率公式
设点
x2
M(x0,y0)为双曲线 2
a
−
y2
=1(a>0,b>0)的弦
b2
AB(不平行 y 轴)的中点,则
b2
b2x0
kAB·kOM= a 2 ,即 kAB=a 2 y .
0
5.双曲线的焦半径公式
x2
双曲线a 2

y=± x


e= ,e∈(1,+∞)

y=± x
渐近线
性
质 离心率
a,b,c 的关系
实虚轴
y≤-a 或 y≥a,x∈R
,对称中心: 原点
c2= a2+b2
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= 2a ;
线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= 2b ;
a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长
|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线
22
的弦),其长为 ;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲
2
的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线 C 的标准方程为(
A.
2
1
2
2
-y =1
2

C.x2- 3 =1
2
B.
9
D.
2
2
3
−
2
=1
3
−
2
3
2
=1
)
答案 C
解析 由双曲线
2
C: 2
−
2
=1(a>0,b>0)过点(√2, √3),且实轴的两个端点与虚
2
轴的一个端点组成一个等边三角形,可得
线.( × )
2
(2)双曲线 2
−
2
2
=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 2
2
2

− 2 =0,即
±

=0.

( √ )
(3)关于
2
x,y 的方程
−
2
=1(mn>0)表示焦点在

x 轴上的双曲线.
( × )
2
(4)与双曲线
2

−
mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为

3.双曲线的性质
标准方程
图
形
x2
a2
−
y2
=1(a>0,b>0)
b2
y2
a2
−
x2
=1(a>0,b>0)
b2
标准方程
x2
a2
−
y2
=1(a>0,b>0)
2
b
y2
a2
−
x2
=1(a>0,b>0)
2
b
范围
x≥a 或 x≤-a,y∈R
对称性
对称轴: 坐标轴
顶点
A1 (-a,0) ,A2 (a,0)
A1 (0,-a) ,A2 (0,a)
2022
第八章
8.6 双曲线
内
容
索
引
01
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
必备知识 预案自诊
【知识梳理】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的
距离的差的绝对值
等于非零常数(小于
|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点
,两焦
点间的距离叫做 双曲线的焦距
.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
<
(1)若a
c,则点M的轨迹是双曲线;
(2)若a
=
c,则点M的轨迹是两条射线;
(3)若a
<
c,则点M不存在.
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为
2
2
2
− 2 =1(a>0,b>0);

(2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为
2
2
2
− 2 =1要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析
2
由“方程
−
2
=1
+2
又“m>0”是“m>0 或
表示双曲线”得 m(m+2)>0,即 m>0 或 m<-2,
2
m<-2”的充分不必要条件,故“m>0”是“方程
表示双曲线”的充分不必要条件.故选 A.
−
2
=1
+2
3.已知双曲线
2
−
y2
=1(a>0,b>0)的焦点为
b2
F1(-c,0),F2(c,0),当点 M(x0,y0)在双曲线右
支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点 M(x0,y0)在双曲线左支上
时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
常用结论
6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则
常用结论
x2
1.过双曲线 2
a
y2
− 2 =1(a>0,b>0)上一点
b
x2
2.双曲线a 2
y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
b2
−
x0x
M(x0,y0)的切线方程为 2
a
y0y
− 2 =1.
b
F1,F2,点 P(x0,y0)为双曲线
上任意一点,且不与点 F1,F2 共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为
AB(不平行 y 轴)的中点,则
b2
b2x0
kAB·kOM= a 2 ,即 kAB=a 2 y .
0
5.双曲线的焦半径公式
x2
双曲线a 2
−
y2
=1(a>0,b>0)的焦点为
b2
F1(-c,0),F2(c,0),当点 M(x0,y0)在双曲线右
支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点 M(x0,y0)在双曲线左支上
b2
θ

2
x2
3.若点 P(x0,y0)在双曲线a 2
x0x
程为 2
a
−
y0y
b2
=
x 20
a2
−
y 20
.
2
b
.
y2
− b 2 =1(a>0,b>0)内,则被点 P 所平分的中点弦的方
常用结论
4.双曲线中点弦的斜率公式
设点
x2
M(x0,y0)为双曲线 2
a
−
y2
=1(a>0,b>0)的弦
b2