北京市大兴区2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析

北京市大兴区2021届新高考数学仿真第一次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()222,0
2,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数
a 的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【详解】
解：函数()f x ，如图所示
()()()()()2
00f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦
当0a >时，()0a f x -<<，
由于关于x 的不等式()()2
0f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解 因此其整数解为3，又()3963f =-+=- ∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤ 当0a =时，()2
0f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意； 当0a <时，()0f x a <<-
当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解 当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解 综上，实数a 的最大值为8
故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
2．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//
β，则m //β或m β⊂
B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //α
C ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥
D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 【答案】D 【解析】 【分析】
根据线面平行和面面平行的性质，可判定A ；由线面平行的判定定理，可判断B ；C 中可判断α，β所成的二面角为090；D 中有可能n ⊂α，即得解. 【详解】
选项A ：若m //α，α//
β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确；
选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确； 选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确； 选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确. 故选：D 【点睛】
本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．32log 5+
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】
∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，
∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==35log 910==．
故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．
4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C ，则
双曲线的渐近线方程为（）
A ．y =
B ．y =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求
解双曲线的渐近线方程． 【详解】
双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为2
c ，
可得：
=
，可得2
b c =，b
a =C 的渐近线方程为y =．
故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 5．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．
1
4
B ．
13
C ．
532
D ．
316
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】
样本空间样本点为5232=个， 具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=， 但合并计算时会有重复，重复数量为224+=， 事件的样本点数为：444228++--=个． 故不同的样本点数为8个，81324
=. 故选：A 【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
6．若双曲线E ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、
B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）
A ．22
154x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22
163x y -=
D ．22
136
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】
由题意，直线l 的斜率为06
133
PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，
把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b
-=，可得2222222
()690b a x a x a a b -+--=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2
1222
6a x x a b
+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得2
22
66a a b
=--，解答222b a =，
又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==
所以双曲线的标准方程为22
136
x y -=.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）
A ．
1
2
B ．
14
C
D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用直线()3y k x =+与圆2
2
1x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得
所求事件的概率. 【详解】
由于直线()3y k x =+与圆2
2
1x y +=
1<
，解得44k -<<.
因此，所求概率为
2424
P =
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题. 8．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；④tan 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为22
T π
π=
= ； 函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期为22T ππ== ；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
9．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）
A ．36
B ．45
C ．36-
D ．45-
【答案】A 【解析】 【分析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；
68i =≤成立，执行第六次循环，()6
2151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()7
2211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
10．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．23【答案】A 【解析】 【分析】
由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2
CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：
CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
1
||||cos1202442
CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-．
∴244162416CD =++-⨯=，
||4CD ∴=，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -
【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得,13i
23i
z =+,求解即可. 【详解】
因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 39
32i 23i (23i)(23i)49
z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题. 12．若函数f(x)＝13
x 3＋x 2－2
3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是
A ．[－5，0)
B ．(－5，0)
C ．[－3，0)
D ．(－3，0)
【答案】C 【解析】 【分析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】
由题意，f′(x)＝x 2＋2x ＝x(x ＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令
13x 3＋x 2－23＝－2
3
，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，30
50
a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[－3，0)，
故选C. 【点睛】
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线22
219x y b
-=的左、右焦点分别为12F F P ，，为双曲线上任一点，且12PF PF ⋅的最小值为
7-，则该双曲线的离心率是__________.
【答案】43
【解析】 【分析】
根据双曲线方程，设()1
,0F c -,()2,0F c 及()P m n ,，将()P m n ,代入双曲线方程并化简可得
22
291n m b ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，由题意12PF PF ⋅的最小值为7-，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得c 的
值，进而求得离心率即可. 【详解】 设点()1
0F c -，
,()()20,0F c c >，，()P m n ,， 则22219m n b
-=，即22
291n m b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
∵()1PF c m
n =---，，()2PF c m n =--，， 2
2
2
2
2
2122
91n PF PF m c n n c b
⎛⎫⋅=-+=++- ⎪⎝⎭
22229199n c c b ⎛
⎫=++-≥- ⎪⎝⎭
，
当0n =时，等号成立， ∴297c -=-， ∴4c =， ∴43
c e a =
=. 故答案为：43
. 【点睛】
本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.
14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有010
1101
2n
n
a n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】
【分析】
利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果。

【详解】
由01
1101
011(2)102121
2n n n n n n
a a a S n n S n
n S -=-=++=---，令1n =，
得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

【点睛】
本题主要考查行列式定义的应用。

15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()
()f x g x x
=
的最小值为m ，则2m a +=________.
【答案】0 【解析】 【分析】
求出(),(1),(1)f x f f ''，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出a 的值，求()g x '，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解. 【详解】
()1ln f x x '=+，(1)1f '=，(1)2f a =-，
切线1l 的方程：21y a x +=-，
又1l 过原点，所以21a =-，()ln 1f x x x =+，
1
()ln g x x x =+
，22111()x g x x x x
-'=-=. 当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>. 故函数()
()f x g x x
=的最小值(1)1g =，所以1,20m m a =+=. 故答案为:0. 【点睛】
本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..
16．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2
112n
n n n
a a a a ++=-，11a =，则7S =________.
【答案】127 【解析】
【分析】
已知条件化简可化为22112n n n n a a a a ++-=,等式两边同时除以2n a ，则有2
1120n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，通过求解方程可解得12n n
a a +=,即证得数列{}n a 为等比数列,根据已知即可解得所求. 【详解】 由22221111112220n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++⎛⎫=⇒-=⇒--= ⎪-⎝⎭. 1111712120222112712n
n n n n n n n n n n a a a a S S a a a -+++⎛⎫⎛⎫-⇒+-=⇒=⇒=⇒==-⇒= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
. 故答案为:127.
【点睛】
本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数(
)()
21cos f x x x =. （Ⅰ）若α
是第二象限角，且sin 3
α=
，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域. 【答案】
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】 （1）由α为第二象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α及tan α的值，再代入()f x 中即可得到结果.
（2）函数()f x 解析式利用二倍角和辅助角公式将()f x 化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域.
【详解】
解：（1）因为α
是第二象限角，且sin 3α=
，
所以cos α==
所以sin tan cos ααα
==
所以()(2
1f α⎛== ⎝⎭.
（2）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧
⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且.
化简，得()()
21cos f x x x ==
21cos x ⎛=+ ⎝
2cos cos x x x =
1cos 222x x +=+ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， 因为x ∈R ，且2x k ππ≠+
，k Z ∈， 所以72266x k π
ππ+≠+
， 所以1sin 216x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
. 所以函数()f x 的值域为13,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦. （注：或许有人会认为“因为2x k ππ≠+
，所以()0f x ≠”，其实不然，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.） 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
18．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =.
（1）若6m =AP 与平面11BDD B 所成角； （2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的实数m ，都有1D Q AP ⊥，并证明你的结论.
【答案】（1）
3
π；（2）存在， Q 为线段11A C 中点 【解析】
【分析】
解法一：（1）作出平面APC 与平面11BDD B 的交线OM ，可证AO ⊥平面11BDD B ，计算OM ，AO ，得出tan AMO ∠，从而得出AMO ∠的大小；（2）证明11B D ⊥平面11ACC A ，故而可得当Q 为线段11A C 的中点时1D Q AP ⊥.
解法二，以D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 建立空间直角坐标系：（1）由sin cos 2AP AC AP AC
πθθ⋅⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⋅，利用空间向量的数量积可求线面角；（2）设11A C 上存在一定点Q ，设此点的横坐标为x ，可得(),1,2Q x x -，由向量垂直，数量积等于零即可求解.
【详解】
（1）解法一：连接AC 交BD 于O ，
设AP 与平面11BDD B 的公共点为M ，连接OM ，
则平面APC 平面11BDD B OM =，
四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，
1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
1AC BB ⊥∴，又1BB BD B ⋂=，
∴AC ⊥平面11BDD B ，
∴AMO ∠为直线AP 与平面11BDD B 所成角，
//CP 平面11BDD B ，CP ⊂平面APC ，平面APC 平面11BDD B OM =，
//M CP O ∴，又O 为AC 的中点，
1612222
OM PC AO AC ∴====， tan 3AO AMO OM ∴∠==3
AMO π∴∠=， ∴直线AP 与平面11BDD B 所成角为
3π. （2）四边形1111D C B A 正方形，
1111A C B D ∴⊥，
1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，
111AA B D ∴⊥，又1111A C AA A =,
11B D ∴⊥平面11AC CA ，又AP ⊂平面11AC CA ，
11B D AP ∴⊥，
∴当Q 为线段11A C 中点时，对于任意的实数m ，都有1D Q AP ⊥.
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()1,0,0,1,1,0,0,1,A B P m ，
()()()()110,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2C D B D ，
所以()1,1,0BD =--，()10,0,2BB =，()1,1,AP m =-，()1,1,0AC =-
又由0AC BD ⋅=，10AC BB ⋅=，则AC 为平面11BB D D 的一个法向量，
设直线AP 与平面11BDD B 所成角为θ， 则23sin cos 2222AP AC AP AC m
πθθ⋅⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭⋅⋅+， 故当63
m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角为3π. （2）若在11A C 上存在一定点Q ，设此点的横坐标为x ，
则(),1,2Q x x -，()1,1,0D Q x x =-，
依题意，对于任意的实数m 要使1D Q AP ⊥，
等价于0DQ AP DQ AP ⊥⇔⋅=，
即10x x -+-=，解得12
x =， 即当Q 为线段11A C 中点时，对于任意的实数m ，都有1D Q AP ⊥.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题. 19．已知函数()sin x f x x
=，()cos sin g x x x x =⋅-. （Ⅰ）判断函数()g x 在区间()0,3π上零点的个数，并证明；
（Ⅱ）函数()f x 在区间()0,3π上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，证明：()()120f x f x +<
【答案】（Ⅰ）函数()g x 在区间()0,3π上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，()cos sin cos sin g x x x x x x x -=-'=-，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论()
g x 在区间()0,3π的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；
（Ⅱ）求导，()2cos sin x x x f x x -'=
，由于()f x 在区间()0,3π上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，求出()()12121212
sin sin cos cos x x f x f x x x x x +=+=+，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出()()120f x f x +<.
【详解】
解：（Ⅰ）()cos sin g x x x x =⋅-，
()cos sin cos sin g x x x x x x x '∴=--=-，
当()0,x π∈时，sin 0x >，()0g x '∴<，
()g x ∴在区间()0,π上单调递减，()()00g x g <=，
()g x ∴在区间()0,π上无零点；
当(),2x ∈ππ时，sin 0x <，()0g x '∴>
()g x ∴在区间(),2ππ上单调递增，()0g ππ=-<，()220g ππ=>
()g x ∴在区间(),2ππ上唯一零点；
当()2,3x ππ∈时，sin 0x >，()0g x '∴<，
()g x ∴在区间()2,3ππ上单调递减，()220g ππ=>，()330g ππ=-<；
()g x ∴在区间()2,3ππ上唯一零点；
综上可知，函数()g x 在区间()0,3π上有两个零点.
（Ⅱ）
sin x
f x
x
，(
)
2
cos sin
x x x
f x
x
-
'
∴=，
由（Ⅰ）知()
f x在(]
0,π无极值点；
在(]
,2
ππ有极小值点，即为
1
x；在(]
2,3
ππ有极大值点，即为
2
x，
由cos sin0
n n n
x x x
-=，即tan
n n
x x
=，1
n=，2…
21
x x
>，()
21
tan tan
x xπ
∴>+，
()0
gπ<，
3
10
2
g
π
⎛⎫
=-<
⎪
⎝⎭
，()
20
gπ>，
5
2
g
π
⎛⎫
<
⎪
⎝⎭
，以及tan
y x
=的单调性，1
3
,
2
x
π
π⎛⎫
∴∈ ⎪
⎝⎭
，2
5
2,
2
x
π
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，
2
x，
1
5
2,
2
x
π
ππ
⎛⎫
+∈ ⎪
⎝⎭
，由函数tan
y x
=在
5
2,
2
π
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递增，
得21
x xπ
>+，
()()12
1212
12
sin sin
cos cos
x x
f x f x x x
x x
∴+=+=+，
由cos
y x
=在5
2,
2
π
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递减，得()
211
cos cos cos
x x x
π
<+=-，
即21
cos cos0
x x
+<，故()()
12
f x f x
+<.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.
20．如图，三棱柱111
ABC A B C
-中，侧面
11
BB C C是菱形，其对角线的交点为O，且
11
6,
AB AC AB BC
==⊥．
（1）求证：AO⊥平面11
BB C C；
（2）设160
B BC
∠=︒，若直线
11
A B与平面
11
BB C C所成的角为45︒，求二面角
111
A B C B
--的正弦值．【答案】（1）见解析；（2
25
.
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的特征和题中条件得到1B C ⊥平面1ABC ，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明； (2)建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，
11B C BC ⊥∴，
11,,AB B C AB BC B ⊥⋂=
1B C ∴⊥平面1ABC
AO ⊂平面1ABC ，
1B C AO ∴⊥
又1,AB AC O =是1BC 的中点，
1AO BC ∴⊥，
又11B C BC O =
AO ∴⊥平面11BB C C
（2）11//AB A B
∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角． AO ⊥平面11BB C C ，
∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠，即45ABO ∠=︒．
因为1AB AC ==1ABC 中1BC =，
所以1
tan301BO CO BO BO ==⋅︒=．
在Rt ABO 中，由45ABO ∠=︒得AO BO == 以O 为原点，分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．
则11(0,0,3),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)A B B C -
所以1111(3,0,3),(3,1
,0)A B AB BC ==-=-- 设平面111A B C 的一个法向量为1(,,)n x y z =，
则111133030
n A B x z n B C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得1(1,3,1)n =-， 取平面11BB C C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，
则1212125cos ,5||||5
n n n n n n ⋅〈〉===， 所以二面角111A B C B --的正弦值的大小为
25． （注：问题（2）可以转化为求二面角1A BC B --的正弦值，求出3AO BO ==后，在Rt OBC 中，过点O 作BC 的垂线，垂足为H ，连接AH ，则AHO ∠就是所求二面角平面角的补角，先求出3OH =，再求出15AH =
，最后在Rt AOH 中求出2sin 55AHO ∠=．） 【点睛】 本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题． 21．在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .
（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ；
（2）求四棱锥11A BCC B -的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）83. 【解析】 【分析】
（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可； （2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积.
【详解】
（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点， 得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ， 因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，
又BC AB ⊥，1AB AB A =，所以BC ⊥平面11A B BA ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，
因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11
BCC B 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ，
由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO =， 由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形， 所以1111123348333
A BCC
B V OA B
C B B -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题. 22．已知函数()|1||1|f x ax x =++-.
（1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围.
【详解】
（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩
， 由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<
（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩
()f x 的最小值为1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭
，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.
当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意.
当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭
， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意；
若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
23．设a 为实数,在极坐标系中,已知圆2sin a ρθ=（0a >）与直线cos 14πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
相切,求a 的值．
【答案】2a =+【解析】
【分析】
将圆2sin a ρθ=和直线cos 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.
【详解】
解:将圆2sin a ρθ=化成普通方程为222x y ay +=,整理得()2
22x y a a +-=． 将直线cos 14πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
化成普通方程为0x y -=． 因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
a =
解得2a =．
【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.。