高考理科数学二轮复习课时作业1-6-2

课时追踪训练
1．若曲线 ax2＋ by2＝1 为焦点在 x 轴上的椭圆，则实数a， b 知足 ()
A ． a2＞ b2 B.1
＜
1 a b
C． 0＜ a＜ b D． 0＜ b＜ a
22
x 轴上，所以1
＞
1
＞ 0，所以 0＜ a＜ b.
分析：由 ax2＋ by2＝1，得x
＋
y
＝ 1，因为焦点在
11 a b
a b
答案： C
2．(2014 年新课标卷Ⅰ )已知抛物线C： y2＝ 8x 的焦点为 F ，准线为 l， P 是 l 上一点， Q
是直线 PF 与 C 的一个交点．若→→
FP＝ 4FQ ，则 |QF |＝()
75 A. 2 B.2 C． 3D． 2
分析：过点 Q 作 QQ′⊥ l 交 l 于点
→→
Q′， (图略 )因为 FP＝ 4FQ ，所以 |PQ|∶ |PF|＝ 3∶ 4，又
焦点 F 到准线 l 的距离为4，所以 |QF|＝ |QQ ′|＝3.应选 C.
答案： C
2
2y
3．(2014 年洛阳模拟 ) 已知 F 1， F2是双曲线x －＝1的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线订交，此中一个交点为P，则 |PF2|＝ ()
A ． 6B． 4
C． 2D． 1
分析：由题意令 |PF 2|－ |PF 1|＝ 2a，由双曲线方程能够求出|PF 1|＝ 4， a＝ 1，所以 |PF 2|＝ 4＋2＝ 6.
答案： A
x2y2
4．(2014 年全国纲领卷 )已知椭圆 C：2＋2＝ 1(a＞ b＞0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率
a b
为
3
，过 F2的直线 l 交 C 于 A、 B 两点．若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ()
3
A.
x2y2x22
＋＝ 1 B. ＋ y＝ 1
323
22
D.
x2
＋
y2
x＋y＝ 1＝ 1
C.128124
分析：由椭圆的性质知 |AF1|＋ |AF 2|＝ 2a，|BF 1|＋ |BF2|＝ 2a，∴△ AF 1B 的周长＝ |AF1 |＋ |AF 2|
22
＋ |BF 1|＋ |BF 2|＝ 4 3，∴ a＝ 3.又 e＝
3
，∴ c＝ 1.∴ b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为
x
＋
y
＝ 1，332
应选 A.
答案： A
2 2
1
5．(2014 年沈阳模拟 )已知双曲线
y
x
2
t 2－
3 ＝ 1(t ＞ 0)的一个焦点与抛物线 y ＝
x 的焦点重合，
8
则此双曲线的离心率为
(
)
A ． 2 B. 3 C ． 3
D ． 4
分析： 依题意，抛物线
1 2
2
＝ 8y 的焦点坐标是 (0,2)，因本题中的双曲线的离心率
y ＝ x
即 x
8
2＝ 2 ＝ 2，选 A.
e ＝ t
22－3
答案： A
x 2 y 2
x 2 y 2
＝ 1 的两个极点，且焦距是
6．已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的极点恰巧是椭圆 9 ＋ 5 6 3，则此双曲线的渐近线方程是
(
)
1
B ． y ＝ ± 2
x
A ． y ＝ ± x
2
2
C ． y ＝ ± 2x
D ． y ＝ ±2x
分析： 由题意知双曲线中， a ＝ 3， c ＝ 3 3，所以 b ＝ 3 2，所以双曲线的渐近线方程为y
b ＝ ±
a x ＝± 2x.
答案： C
2
2
7．(2014 年重庆高考 )设 F 1， F 2 分别为双曲线
x
2－ y
2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的左、右焦点，双曲
a
b
线上存在一点
P 使得 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 3b ，|PF 1| |PF · 2|＝ 9
ab ，则该双曲线的离心率为
(
)
4
4
5
A. 3
B.3
9
C.4
D ． 3
分析：由双曲线的定义得 ||PF 1|－ |PF 2||＝ 2a ，又 |PF 1 |＋|PF 2|＝ 3b ，所以 (|PF 1|＋ |PF 2|)2
－ (|PF 1|
2
2
2
2
2
2 2
＝9ab ，即
－ |PF 2|) ＝ 9b － 4a ，即 4|PF 1| ·|PF 2|＝ 9b － 4a ，又 4|PF 1 | |PF · 2|＝ 9ab ，所以 9b － 4a b 2 9b 3b 3b b 4 b 1
9 a － a － 4＝ 0，则 a ＋ 1 a － 4 ＝ 0，解得 a ＝
3 a ＝－
3舍去 ，则双曲线的离心率 e ＝
1＋ b 2 ＝ 5
.
a 3
答案： B
8．已知点 M(－ 3,2)是坐标平面内必定点，若抛物线
y 2＝ 2x 的焦点为 F ，点 Q 是该抛物线
上的一动点，则 |MQ|－ |QF |的最小值是 (
)
7
A. 2
B ． 3
5
C.2
D ． 2
分析： 抛物线的准线方程为
x ＝－ 1
，由图知，当
MQ ∥ x 轴时， |MQ |－ |QF |获得最小值，
2
1
5
此时 |QM|－ |QF|＝ |2＋ 3|－ 2＋ 2 ＝ 2，选 C.
答案： C
9．过抛物线 y 2＝ 2px( p ＞0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于
B 、
C 两点， l 与抛物线的准线交
→ →
)
于点 A ，且 |AF|＝ 6， AF ＝ 2 FB ，则 |BC|＝ (
9
A. 2 B ． 6
13
C. 2
D ． 8
分析： 不如设直线
π
l 的倾斜角为 θ，此中 0＜ θ＜ ，点 B(x 1， y 1)、 C(x 2， y 2)，则点 B 在 x
2
轴的上方．过点
B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为
B 1，于是有 |BF |＝ |BB 1|＝ 3，
|AF|
＝ p
，
|AB| |BB 1|
由此得 p ＝ 2，抛物线方程是
y 2
＝ 4x ，焦点 F(1,0)， cos θ＝ p
＝ p ＝2＝ 1
， sin θ＝ 1－ cos 2
θ＝
|AF| 6 6 3 2 2
， tan θ＝ sin θ
2，直线 l ： y ＝ 2 2(x － 1)．由
y ＝ 2 2 x －
得 8(x － 1) 2 ＝ 4x ，即
3 ＝ 2
y 2＝ 4x
cos θ
2x 2
－ 5x ＋ 2＝0， x 1＋ x 2＝ 5， |BC|＝ x 1＋ x 2＋ p ＝5＋ 2＝ 9
，选 A.
2
2 2
答案： A
10． (2014 年湖北高考 )已知 F 1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，
P 是它们的一个公共点， π
(
)
且∠ F 1PF 2＝ ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
3
4 3
2 3
A. 3
B. 3
C ． 3
D ． 2
分析： 假设焦点在 x 轴上，点 P 在第一象限， F 1 ，F 2 分别为左、右焦点．设椭圆的方程
2
2 2
2
为
x
2
y
2
x 2 y 2
＝ 1(m ＞0，n ＞ 0)，它们的离心率分别为
e 1
，e ，
a ＋
b ＝ 1(a ＞b ＞ 0)，双曲线的方程为 m － n 2
π 则 |PF 1|＝a ＋ m ，|PF 2|＝ a －m ，在△ PF 1F 2 中， 4c 2＝ (a ＋ m)2＋ (a － m)2
－ 2(a ＋ m)(a － m)cos ? a 2
3
2
2 a 2 m 2 ＝ 4，则 a 2 m 2 1＋ 1 a m 2
1 ＋ 1 ＝ a m 4 3
，当且仅 ＋ 3m
＝4c ?
＋ 3
c ＋ 3 c 3 ≥ ＋
?
＋ ≤ 3
c
c c c
e 1 e 2 c c
当 a ＝ 3m 时，等号建立，应选 A.
答案： A
11．(2014 年唐山模拟 )C 是以原点 O 为中心， 焦点在 y 轴上的等轴双曲线在第一象限的部
分，曲线 C 在点 P 处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于
A ，
B 两点，则 ( )
1
A ． |OP|＝ 2|AB|
B ． |OP|＝ |AB|
1
C.2|AB|＜ |OP|＜ |AB|
1
D ． |OP|＜ 2|AB|
y ＝ kx ＋ m
分析：设过点 P 的切线为 y ＝ kx ＋ m ，由
2
2
2 ，消去 y 得： (kx ＋ m)2
－ x 2＝a 2
，即 (k 2
y － x ＝ a
－ 1)x 2＋ 2kmx ＋ m 2 － a 2＝ 0，∵直线与曲线相切，故
＝ 0，由求根公式可知
x ＝
km ，∴
P 2 1－k
P
km 2 ， m
2 .∵
y ＝kx ＋ m y ＝x ，
1－k
1－ k
m ， m
y ＝ kx ＋ m
∴可取 B 1－ k
1－ k ，∵ y ＝－ x
，
∴可取 A
－ m
m
，∴ x P ＝
x A ＋ x B ，y P ＝ y A ＋ y B
，∴ P 为 AB 的中点，∠ AOB ＝ 90°，∴
，
k ＋1 2 2
k ＋ 1
1
|OP|＝ 2|AB|.
答案： A
x y
2
2
12．已知直线 a ＋b ＝ 1(a ，b 是非零常数 )与圆 x ＋ y ＝ 100 有公共点， 且公共点的横坐标和
纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )
A ．52 条
B ．60 条
C ．66 条
D ．78 条
分析：因为知足 x 2＋ y 2＝ 100 的整数点 (x ，y)有 12 个，它们分别为 ( ±10,0)，( ±6，±8) ，( ±8，
x ＋ y
＝ 1 与圆的交点一定经过这些点，但
a ，
b 为非零常数，故在以这
±6)， (0， ±10)，故直线 a b
些点为公共点的直线中有这样几类：一类公共点为
2 个点，去除垂直坐标轴和经过原点的直
线，共有 C 2 － 10－4＝ 52 条；一类为公共点为
1 个点 (即圆的切线 )，相同去除垂直坐标轴的
12
直线，共有 8 条．综上，所求的直线共有60 条，应选 B.
答案： B
13．已知点 F(1,0)是抛物线 C： y2＝ 2px(p＞ 0)的焦点，则 p＝________.
分析：由题意可得p
＝1，解得 p＝ 2. 2
答案： 2
14． (2014 年南京模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，若中心在座标原点的双曲线的一条准
线方程为 x＝1
，且它的一个极点与抛物线y2＝－ 4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为2
________．
分析：抛物线 y2＝－ 4x的焦点为 (－ 1,0)，所以双曲线的一个极点为(－ 1,0)，即 a＝ 1，又
因为双曲线的一条准线方程为x＝1
，所以
a2
＝
1
，故 c＝ 2，b＝ 3，则该双曲线的渐近线方程2c2
为 y＝± 3x.
答案： y＝± 3x
22
x2y22＋ y2＝ a2的两条切线，记切点分别15．过双曲线a－b＝ 1(a＞ 0，b＞0)的左焦点 F 作圆 x
为 A， B，双曲线的左极点为C，若∠ ACB＝ 120°，则双曲线的离心率e＝________.
分析：如下图，依据题意以及双曲线的几何性质，|FO |＝ c， |OA|＝ |OC|＝ a，而∠ ACB ＝120°，∴∠ AOC＝ 60°，又 FA 是圆 O 的切线，故 OA⊥FA，在 Rt△FAO 中，简单获得 |OF |
＝2a，∴ e＝c
＝ 2. a
答案： 2
16．设 e1， e2分别是拥有公共焦点F1， F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个
公共点， O 是 F 1F 2的中点，且知足 |PO|＝ |OF2|，则e1e2＝ ________.
e12＋ e22
分析：由 |PO |＝ |OF 2|＝ |OF1|可知，△PF1F2为直角三角形，所以|PF 1|2＋ |PF2|2＝ 4c2.又
|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a椭PF1|＋|PF222
，即＝ 4a椭
，
||PF1|－ |PF 2||＝ 2a
双PF1|－|PF2
22＝ 4a双
22
①
4c ＋ 2|PF 1| |PF·2|＝4a椭
，22
②
4c － 2|PF1 | |PF·2|＝4a双
222①＋②得a椭＋ a双＝ 2c .
又 e1＝c
，e2＝
c
，所以a椭a双
答案：
2
2
2
e1e2
c
c c2
a ·a
22
＝椭双
2
＝
22
＝
2
＝
.
c22 e1＋ e2＋c a椭＋ a双2c
22
a椭a双。