必修二数学优秀课后练习及答案详解 第四章4.3课后

(见学生用书第121页)
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x O y平面的对称点的坐标是()
A．(－2，1，－4)B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1，4) D．(2，1，－4)
【解析】过点P向x O y平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于x O y平面的对称点P′连线的中点，又N(－2，1，0)，所以对称点为P′(－2，1，－4)，故选A.
【答案】 A
2．点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则A点的坐标是() A．(0，0，－1) B．(0，1，1)
C．(0，0，1) D．(0，0，13)
【解析】设A(0，0，C)，则（22）2＋（5）2＋（1－c）2＝13，解得C＝1.所以点A的坐标为(0，0，1)．
【答案】 C
3．已知三点A(－1，0，1)，B(2，4，3)，C(5，8，5)，则()
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点不能构成三角形
【解析】利用空间中距离公式可得
|AB|＝32＋42＋22＝29；
|BC|＝32＋42＋22＝29；
|AC|＝62＋82＋42＝229.
∵|AB|＋|BC|＝|AC|，
∴A，B，C三点不能构成三角形，故选D.
【答案】 D
4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为()
A．19 B．－8 7
C.8
7 D.
19
14
【解析】|AB|＝（x－1）2＋（3－2x）2＋（3x－3）2＝14x2－32x＋19.
∴当x＝8
7时，|AB|取得最小值．
【答案】 C
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0，0，0)、A(4，0，0)、B(4，2，0)、A1(4，0，3)，则对角线AC1的长为()
A．9 B.29
C．5 D．2 6
【解析】画出长方体的图形，可以求出C1(0，2，3)，
∴|AC1|＝29，故选B.
【答案】 B
6．在空间直角坐标系中，定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()
A.
6
2 B. 3
C.
3
2 D.
6
3
【解析】设P(x，y，z)，由题意可知
⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1
y 2
＋z 2
＝1，∴x 2
＋y 2
＋z 2
＝32，x 2
＋z 2
＝1
【答案】 A 二、填空题
7．点P(－3，2，1)关于Q(1，2，－3)的对称点M 的坐标是________． 【解析】 设M 坐标为(x ，y ，z)，则有1＝x －32，2＝2＋y 2，－3＝1＋z 2，解得x ＝5，y ＝2，z ＝－7，∴M(5，2，－7)．
【答案】 (5，2，－
7)
图4－3－5
8．如图4－3－5，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为______．
【解析】 建立空间直角坐标系，因为AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD 且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 的中点，
则A(0，0，1)，C(1，0，0)，D(1，2，0)，E(1，1，0)，所以|AE|＝ 3. 【答案】 3
三、解答题
图4－3－6
9．如图4－3－6，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，|PA|＝|AC|＝12|AB|＝4，N 为AB 上一点，|AN|＝1
4|AB|，M 、S 分别为PB 、BC 的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M 、N 、S 的坐标．
【解】 由线面垂直的性质可知AB 、AC 、AP 三条线段两两垂直，如图，分别以AB 、AC 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B(8，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，因为M 、S 分别为PB 、BC 的中点，由中点坐标公式可得，M(4，0，2)，S(4，2，0)．因为N 在x 轴上，|AN|＝1
4|AB|，所以|AN|＝2，所以N(2，0，0)．
图4－3－7
10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝|BC|＝2，|D 1D|＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图4－3－7所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D ，N ，M 的坐标；
(2)求线段MD ，MN 的长度．
【解】 (1)因为D 是原点，则D(0，0，0)． 由|AB|＝|BC|＝2，|D 1D|＝3，
得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B 1(2，2，3)，C 1(0，2，3)． 又N 是AB 的中点，故N(2，1，0)． 同理可得M(1，2，3)． (2)由两点间距离公式，得 |MD|＝（1－0）2＋（2－0）2＋（3－0）2＝14， |MN|＝
（1－2）2＋（2－1）2＋（3－0）2＝11.
11．(探究创新)如图4－3－8所示，建立空间直角坐标系D xy z ，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．
图4－3－8
(1)当2|C 1Q|＝|QC|时，求|PQ|；
(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，求|PQ|的最小值．
【解】 (1)由题意知点C 1(0，1，1)，点D 1(0，0，1)，点C(0，1，0)，点B(1，1，0)，点P 是体对角线D 1B 的中点，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，12.因为点Q 在棱CC 1
上，且2|C 1Q|＝|QC|，所以点Q 为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，1，23.由空间两点的距离公式，得|PQ|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－232
＝1936＝19
6.
(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，则点Q(0，1，A)，A ∈[0，1]．由空间两点的
距离公式有|PQ|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－a 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12.故当A ＝12时，|PQ|取得最小值22，此时点Q ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，1，12.。