2024-2025学年湖北省武汉二中广雅中学九年级上学期9月月考数学试题及答案

九年级（上）数学限时作业9.15
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 将一元二次方程2
320x x −−=化成一般形式后，常数项是2−，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A 3，2−
B. 3，1
C. 3，1−
D. 3，0
2. 抛物线2y x 与2y x =−相同的性质是（ ） A. 开口向下
B. 对称轴是y 轴
C. 有最低点
D. 对称轴是x 轴
3. 用配方法解方程2410x x −+=，变形后的结果正确的是（ ） A. ()2
23x −=
B. ()2
23x −=−
C. ()2
25x −=
D. ()2
25x −=−
4. 抛物线223y x =−向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. 224y x =− B. ()2
213y x =+− C. ()2
213y x =−−
D. 222y x =−
5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 21157x x ++= B. 2157x x += C. 2(1)157x +=
D. 21(1)157x ++=
6. 知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（ ） A. 4−
B. 2−
C. 2
D. 4
7. 若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x −++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 1
4
k >−
B. 14
k ≥−
C. 1
4
k >−
且0k ≠ D. 1
4
k ≥−
且0k ≠ 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+和二次函数()2
y b x k =+的大致图象是（ ）
A. B.
.
C. D.
9. 已知抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 5个
10. 抛物线232y x x =−+与直线1y x =−交于A 、B 两点，抛物线上只有三个点到直线1y x =−的距离为m ，则m 的值是（ ）
A.
B. 1
C.
D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 抛物线()2
15y x =−−+的顶点坐标是_____． 12. 若()21m
y m x
=−+是关于x 的二次函数，则m =______．
13. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x _____．
14. 已知二次函数2y ax bx c ++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系，则代数式a b c −+的值等于_____． x … 3− 2− 1−
0 …
y … 9− 3− 1− 3− …
15. 二次函数()2
0y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =．下列结
论：①20a b +=；②93a b c +≤−；③若点()13,A y −、点22,5B y
− ，点()34,C y 在该函数图象上，则123y y y <<；④若方程(1)(3)3a x x +−=
−的两根为1x 和2x ，且12x x <，则121,3x x <−>．其中一定正确的结论有_____（填写序号）．
16. 已知抛物线2(2)53y x m x m =−++−在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，则m 的取值范围为_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 用指定方法解方程： （1）248x x −=；（配方法） （2）22310x x +−=．
（公式法） 18. 已知二次函数25y ax x c =−+的图象与x 轴交于(1,0)(4,0)A B 、． （1）求二次函数的解析式；
（2）当10y =时，求自变量x 的值．
19. 随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？ 20. 已知二次函数()()13y kx x =−−的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数．
（1）求函数解析式；
（2）若()()12,,2,P a y Q y −是抛物线上两点，且12y y >请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实数a 的取值范围是_____．
的
21. 阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程()2
00ax bx c
a ++=≠的两个实数根分别为1x 、2x ，则12
b x x a +=−，12c
x x a
=．解决下面问题：
已知关于x 的一元二次方程22444x nx n x ++=有两个不等实数根1x 、2x ， （1）求n 的取值范围；
（2）当0n ≠时，设12
22
=+m
x x ，试用含n 的代数式表示出m ； （3）在（2）的条件下，若4m =，求出n 的值．
22. 小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m ），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m ，垂直于墙的边的费用为15元/m ，设平行于墙的边长为x m ．
（1）设垂直于墙的一边长为y m ，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为2m S ，求S 与x 的函数关系式，并求出当546S =时x 的值； （3）请问菜园的最大面积能达到2600m 吗？如能，求出x 的值；如不能，说明理由．
23. 如图，ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=°，
D 是BC 的中点，
E 点在线段BD 上运动，作等边DE
F ．
（1）如图1，DEF 在BC 的上方，且F 点恰好落在线段AB 上，求
BF
AF
的值； （2）如图2，DEF 在BC 的下方，H 在CB 延长线上，CE EH =，连接AF FH 、，求证：
AF FH ⊥；
（3）如图3，将DEF 绕D 点旋转，连接AF BE 、
，已知2AB DE =，直接写出AF BE +的最小值为_____．
24. 如图1，抛物线2
1
62
y x mx m =−++与x 轴交于A 、B 两点（A B 左边），与y 轴正半轴交于C
点，
在
2
3
OA OC =．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，N 点在抛物线上，2ACN BAC ∠=∠，求N 点横坐标；
（3）如图3，P 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于F 点，过点1
22Q
，
的直线l 分别交抛物线于D 、E 两点，直线PD 、PE 分别交x 轴于G 、H 两点，求证：FG FH ⋅为定值，并求该定值．
的的
九年级（上）数学限时作业9.15
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 将一元二次方程2
320x x −−=化成一般形式后，常数项是2−，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 3，2−
B. 3，1
C. 3，1−
D. 3，0
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程2320x x −−=就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵2320x x −−=是一般形式，常数项是2−， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和1−， 故选：C ．
2. 抛物线2y x =与2y x =−相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴
C. 有最低点
D. 对称轴是x 轴
【答案】B 【解析】
【分析】根据二次函数2(0)y ax a ≠的性质分析即可．
【详解】解：∵10>，
∴抛物线2y x =开口向上，对称轴为y 轴，有最低点； ∵10−<，
∴抛物线2y x =−的开口向下，对称轴为y 轴，有最高点． 故选B ．
【点睛】本题考查了二次函数2(0)y
ax a ≠的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线2(0)
y ax a ≠是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y 轴，0a >时，开口向上；0a <时，开口向下． 3. 用配方法解方程2410x x −+=，变形后的结果正确的是（ ） A. ()2
23x −= B. ()2
23x −=−
C. ()2
25x −=
D. ()2
25x −=−
【答案】A 【解析】
的
【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解： 2410x x −+=，
∴241x x −=−，
配方得24414x x −+=−+，即()2
23x −=， 只有选项A 符合题意； 故选：A ．
4. 抛物线223y x =−向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. 224y x =− B. ()2
213y x =+− C. ()2
213y x =−− D. 222y x =−
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象平移．根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线223y x =−向左平移1个单位长度， 所得新抛物线的函数解析式为()2
213y x =+−， 故选：B ．
5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. 21157x x ++= B. 2157x x += C. 2(1)157x += D. 21(1)157x ++=
【答案】A 【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x 个小分支，根据题意得：
21157x x ++=，
故选：A ．
6. 知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（ ）
的
A. 4−
B. 2−
C. 2
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于x 的一元二次方程
()200ax bx c a ++=≠的根与系数关系：12b x x a +=−，12c
x x a ⋅=是解题的关键．根据一元二次方程根与
系数的关系得到123x x +=
−，121x x ⋅=，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： 一元二次方程2310x x ++=的两根为1x ，2x ，
∴123x x +=−，121x x ⋅=，
1212132x x x x ∴++=−=−，
故选：B ．
7. 若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x −++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 1
4
k >−
B. 14
k ≥−
C. 1
4
k >−
且0k ≠ D. 1
4
k ≥−
且0k ≠ 【答案】D 【解析】
【分析】根据一元二次方程中二次项系数不为零及根的判别式建立不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得：()2
22
02140k k k ≠
−+−≥ ， 解得：1
4
k ≥−且0k ≠． 故选：D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键，注意不要忽略“一元二次方程二次项系数不为零”这一隐含条件．
8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+和二次函数()2
y b x k =+的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数k 和b 进行分类讨论．分当0k >，
0b >时，当0k >，0b <时，当0k <，0b >时，当0k <，0b <时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数y kx b =+和二次函数()2
y b x k =+的图象，
①当0k >，0b >时，一次函数y kx b =+的图象过第一、二、三象限，二次函数()2
y b x k =+的图象开
口向上，对称轴在y 轴左侧，没有选项符合；
②当0k >，0b <时，一次函数y kx b =+的图象过第一、三、四象限，二次函数()2
y b x k =+的图象开
口向下，对称轴在y 轴左侧，没有选项符合；
③当0k <，0b >时，一次函数y kx b =+的图象过第一、二、四象限，二次函数()2
y b x k =+的图象
开口向上，对称轴在y 轴右侧，选项B 符合；
④当0k <，0b <时，一次函数y kx b =+的图象过第二、三、四象限，二次函数()2
y b x k =+的图象
开口向下，对称轴在y 轴右侧，没有选项符合； 故选：B ．
9. 已知抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 5个
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与x 轴及常函数(0)y p p =<直线的交点横坐标与一元二次方程
根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数2(0)ax bx c
p p ++=<，通过抛物线
2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)−．可以画出大致图象判断出直
线()40y p a y =−≤<，观察图象当40a y −≤<时，抛物线始终与x 轴相交于()1,0−与()3,0．故自变量
x 的取值范围为13x −<<．所以x 可以取得整数0，1，2共3个．由于2x =与0x =关于对称轴直线1
x =对称，所以2x =与0x =对应一条平行于x 轴的直线，，1x =时对应一条平行于x 轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y p =时，p 的值应有2个．
【详解】解： 抛物线2(0)y ax bx c a ++>的对称轴为直线1x =，
12b
a
∴−
=，解得2b a =−． 又 抛物线2(0)y ax bx c a ++>与x 轴的一个交点为(1,0)−， 把(1,0)−代入2y ax bx c ++得，02a a c =++， 解得：3c a =−．
223(0)y ax ax a a ∴=−−>．
对称轴1h =，最大值4k a =−． 如图所示，
顶点坐标()1,4a −， 令2230ax ax a −−=， 即2230x x −−=， 解得1x =−或3x =．
∴当0a >时，抛物线始终与x 轴交于()1,0−与()3,0，
为
2ax bx c p ∴++=．
即常函数直线y p =，由0p <，
40a y ∴−≤<，
由图象得当40a y −≤<时，13x −<<，其中x 为整数时，0x =，1，2．
∴一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=>的整数解有3个．
又0x = 与2x =关于直线1x =轴对称，
当1x =时，直线y p =恰好过抛物线顶点，
所以p 值可以有2个．
故选：B ．
10. 抛物线232y x x =−+与直线1y x =−交于A 、B 两点，抛物线上只有三个点到直线1y x =−的距离为m ，则m 的值是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用，二元二次方程组，二元一次方程的根的判别式等知识．如图当直线l 与l ′和直线AB l 与抛物线只有一个交点，且直线l 与直线l ′和直线AB 的距离相等，此时，直线l 与直线l ′和抛物线的交点满足条件．求出点E 的坐标，证明AHE 是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图当直线l 与l ′和直线AB 平行，直线l 与抛物线只有一个交点，且直线l 与直线l ′和直线AB 的距离相等，此时，直线l 与直线l ′和抛物线的交点满足条件．
设直线l 与抛物线的交点为E ，作EH AB ⊥于H ．
由2321
y x x y x =−+ =− 解得10x y = = 或32x y = = ，
∴ 1,0A ，()3,2B
， ∴2tan 132
BAE ∠==−， 45BAE ∴∠=°，
设直线l 的解析式为y x b =+，
由232y x b y x x =+ =−+
，消去y 得到2420x x b −+−=， 由题意0∆=，164(2)0b −−=
， 解得2b =−．
方程组的解为20x y = =
， (2,0)E ∴，
∵45HAE ∠=°，且1AE =，
m HE ∴==． 故选：A ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 抛物线()2
15y x =−−+的顶点坐标是_____．
【答案】()1,5
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线2()y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k 求解即可．
【详解】解：抛物线()215y x =−−+的顶点坐标是()1,5， 故答案为：()1,5．
12. 若()21m y m x
=−+是关于x 的二次函数，则m =______．
【答案】2−
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的定义，形如()20y a x bx c a ++≠的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键．
【详解】解：∵函数()21m y m x
=−+是二次函数，
∴202m m −≠ =
， 解得：2m =−，
故答案为：2−．
13. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x 名学生，则列出方程化为一般式为_____．
【答案】21320x x −−=
【解析】
分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有x 人．根据互赠卡片一张，则x 人共赠卡片()1x x −张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
()1132x x −=，即21320x x −−=，
故答案为：21320x x −−=．
14. 已知二次函数2y ax bx c ++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系，则代数式a b c −+的值等于_____．
【答案】1−
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．由表格可得1x =−时1y =−，据此求解即可．
【详解】解：∵1x =−时1y =−，
∴1a b c −+=−．
故答案为：1−．
15. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =．下列结论：①20a b +=；②93a b c +≤−；③若点()13,A y −、点22,5B y −
，点()34,C y 在该函数图象上，则123y y y <<；④若方程(1)(3)3a x x +−=
−的两根为1x 和2x ，且12x x <，则121,3x x <−>．其中一定正的【
确的结论有_____（填写序号）．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得图象也过点(3,0)，据此可判断②错误；先求得()34,y 关于直线1x =的对称点为()32,y −，1x <时，y 随
着x 的增大而增大，据此可判断③错误；方程(1)(3)3a x x +−=
−有两根，可看作直线=3y −与抛物线(1)(3)y a x x =+−有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由题意可知：对称轴1x =， ∴12b a
−=， 20a b ∴+=，故①正确；
②图象过点(1,0)−，对称轴为直线1x =，
∴图象也过点(3,0)，即当3x =时，0y =，
930y a b c ∴++，即93a b c +=−，故②错误；
③()34,y 关于直线1x =的对称点为()32,y −，
由图可知：1x <时，y 随着x 的增大而增大， 由于2325
−<−<−， 132y y y ∴<<，故③错误；
④设(1)(3)y a x x =+−，=3y −，
由于图象可知：直线=3y −与抛物线(1)(3)y a x x =+−有两个交点，
∴方程(1)(3)3a x x +−=
−的两根为1x 和2x ，
1213x x ∴<−<<，故④正确；
综上，正确的只有①④，
故答案为：①④．
16. 已知抛物线2(2)53y x m x m =−++−在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，则m 的取值范围为_____． 【答案】54m ≥
【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．分三种情况：当212m +≥时，当212m +≤−时，当2112
m +−≤≤时，讨论即可． 【详解】解：2(2)53y x m x m =−++−的对称轴为直线22m x +=
，开口向上， ①当212
m +≥时，即0m ≥时， 要使在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，
只需1x =时的函数值大于等于1，即21(2)531m m −++−≥， 解得：54
m ≥， 结合0m ≥，得：54m ≥
； ②当212
m +≤−时，即4m ≤−时， 要使在11x −≤≤的范围内能使1y ≥恒成立，
只需1x =−时的函数值大于等于1，即()21(2)531m m −+++−≥， 解得：16
m ≥ 结合4m ≤−，得无解； ③当2112
m +−≤≤时，即40m −≤≤时， 要使在11x −<<的范围内能使1y ≥恒成立， 只需22m x +=时的函数值大于等于1，即222(2)53122
m m m m ++ −+⋅+−≥ ， 化简得：216200m m −+≤，
解得：88m −≤≤+，
结合11x −<<，得无解； 综上，得54
m ≥， 故答案为：54
m ≥． 三、解答题（共8题，共72分）
17. 用指定方法解方程：
（1）248x x −=；
（配方法） （2）22310x x +−=．
（公式法）
【答案】（1）12x =+22x =−
（2）1x =，2x =． 【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键．
（1）运用配方法即可解答．
（2）运用一元二次方程求根公式解答即可．
【小问1详解】
解：248x x −=，
配方得24484x x −+=+，即()2212x −=，
开方得2x −=±，
解得2x =±，
即12x =+22x =−
【小问2详解】
解：22310x x +−=， 231a b c ===−，，，
∴()22
Δ43421170b ac =−=−××−=>，
∴x
∴1x =，2x =． 18. 已知二次函数25y ax x c =−+的图象与x 轴交于(1,0)(4,0)A B 、．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当10y =时，求自变量x 的值．
【答案】（1）254y x x =−+；
（2）当10y =时，自变量x 的值为1−或6
【解析】
【分析】此题考查了二次函数与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）将A 与B 坐标代入二次函数解析式求出a 与c 的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）把10y =代入解析式解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：将(1,0)A ，(4,0)B 代入解析式得：
5016200a c a c −+= −+=
， 解得：1a =，4b =．
则抛物线解析式为254y x x =−+；
【小问2详解】
解：当10y =时，即25410x x −+=，
解得：11x =−，26x =，
∴当10y =时，自变量x 的值为1−或6．
19. 随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？
【答案】该小区到2012年底电动自行车将达到216辆
【解析】
【分析】设年平均增长率为x ，根据增长率相同可以得到2020年的拥有量为()1251x +辆，2021年的为()2
1251x +辆．
【详解】解：设2009年底到2011年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x ，
根据题意得()21251180x +=， 解得10.220x ==％，1 2.2x =−（不符合题意，舍去），
∴180×（1+20%）＝216（辆），
答：该小区到2012年底电动自行车将达到216辆．
【点睛】本题考查二次方程的实际应用，能够熟练通过增长率公式得到式子是解题关键．
20. 已知二次函数()()13y kx x =−−的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数．
（1）求函数解析式；
（2）若()()12,,2,P a y Q y −是抛物线上的两点，且12y y >请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实数a 的取值范围是_____．
【答案】（1）()()13y x x =
−+−； （2）24a −<<
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系．
（1）令0y =，解关于x 一元二次方程，求出二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为3和1k
，然后根据整数的整除性可确定负整数k 值；
(3)把()22,Q y −代入抛物线的解析式即可求出2y ，求得点Q 关于对称轴的对称点为()4,5−，再利用
12y y >即可求出a 的取值范围．
【小问1详解】
解：令0y =，则()()130kx x −−=
， 解得：11x k =
，23x =， 根据题意得1k
为整数，且k 为负整数， ∴整数1k =−，
∴函数解析式为()()()()1313y x x x x =−−−=−+−；
【小问2详解】
解：∵()()13y x x =
−+−， ∴对称轴为直线1312
x −+=， 把点()22,Q y −代入()()13y x x =
−+−得25y =−， 则点()2,5Q −−，
则点Q 关于对称轴的对称点为()4,5−，
由图象可知：当24a −<<时，12y y >．
故答案为：24a −<<．
21. 阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=−，12c x x a
=．解决下面问题： 已知关于x 的一元二次方程22444x nx n x ++=有两个不等实数根1x 、2x ，
（1）求n 的取值范围；
（2）当0n ≠时，设12
22=+m x x ，试用含n 的代数式表示出m ； （3）在（2）的条件下，若4m =，求出n 的值．
【答案】（1）12<
n （2）2
88n m n −+= （3
）1n −
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
（1）把方程变形成一般形式，再根据有两个不等实数根列出不等式，即可求出n 的范围；
（2）由一元二次方程写出121x x n +=−+，2
124n x x ⋅=，再代入()1212
12222x x m x x x x +=+=即可得答案； （3）列出方程，解方程并检验即可得答案．
【小问1详解】
解：将22444x nx n x ++=变形得：()22
4440x n x n +−+=， 22444x nx n x ++= 有两个不等实数根，
∴0∆>，即()2244440n n −−×>，
解得：12
<n ， n ∴的取值范围是12<
n ； 【小问2详解】
解：1x 、2x 是()22
4440x n x n +−+=的两个实数根， 121x x n ∴+=−+，2
124
n x x ⋅=， ()()1222121222122884
x x n n m n x x x x n −++−+==∴=+=；
【小问3详解】
解：由题意，得：2
884n m n −+==，
化简得：2220n n +−=，
解得1n =−或1n −，
经检验，1n
=或1n −是方程的解， 12
n < 且0n ≠，
1n ∴−．
22. 小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m ），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m ，垂直于墙的边的费用为15元/m ，设平行于墙的边长为x m ．
（1）设垂直于墙的一边长为y m ，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为2m S ，求S 与x 的函数关系式，并求出当546S =时x 的值；
（3）请问菜园的最大面积能达到2600m 吗？如能，求出x 的值；如不能，说明理由．
【答案】（1）2403y x =
−+； （2）2
2403S x x =
−+，当546S =时，21x =； （3）菜园的最大面积不能达到2600m ．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题． （1）根据“垂直于墙的长度2−÷总费用平行于墙的总费用垂直于墙的单价”可得函数解析式； （2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x 的函数解析式；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x 的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【小问1详解】 解：根据题意知，1200202401523
x y x −=−+=×， 故y 与x 之间的函数关系式为2403
y x =
−+； 【小问2详解】 解：根据题意得，222(40)4033S x x x x =−+=−+，
当576S =时，22405463
x x −+=， 解这个方程，得121x =，239x =，
24x ≤ ，
∴当546S =时，21x =；
【小问3详解】
解：菜园的最大面积不能达到2600m ， 理由：222240(30)60033
S x x x =−+=−−+ ， 23
0a =−<， ∴当24x ≤时，S 随x 的增大而增大．
∴当24x =时，S 最大，此时576600S =<．
∴菜园的最大面积不能达到2600m ．
23. 如图，ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=°，
D 是BC 的中点，
E 点在线段BD 上运动，作等边DE
F ．
（1）如图1，DEF 在BC 的上方，且F 点恰好落在线段AB 上，求BF AF
的值； （2）如图2，DEF 在BC 的下方，H 在CB 延长线上，CE EH =，连接AF FH 、，求证：AF FH ⊥；
（3）如图3，将DEF 绕D 点旋转，连接AF BE 、，已知2AB DE =，直接写出AF BE +的最小值为_____．
【答案】（1）3 （2）见解析
（3
【解析】
【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”得到60BAD ∠=°，90ADB ∠=°，进而得到
30ADF ∠=°，90AFD ∠=
°，从而有12AF AD =，同理在Rt ABD △中，由30B ∠=°得到
2AB AD =，从而32
BF AB AF AD =−=，即可求解； （2）连接AD ，连接AH ，取AH 的中点O ，连接,OF OE ，通过三角形的中位线定理结合等边三角形的性质证明()SAS ADF DEF ≌，继而得到OFA 为等边三角形，再根据等边三角形的性质结合外角定理得到160302
OHF OFH ∠=∠=×°=°，即可求证； （3）以BD 为边在BD 下方作等边BDG ，连接,,AD AG FG ，可证明BDE GDF ≌△△，则BE GF =，故AF BE AF GF AG +=+≥，当且仅当点,,A G F 三点共线时取得最小值且为AG ，而90ABG ∠=°，故由勾股定理可求AG ，即可求出最小值．
【小问1详解】
解：连接AD ，
∵AB AC =，点D 是BC 的中点， ∴111206022
BAD BAC ∠=∠=×°=°，AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=°，
∵DEF 是等边三角形，
∴60EDF ∠=°，
∴906030ADF ADB EDF ∠=∠−∠=°−°=°
∴180180306090AFD ADF BAD ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，
∴在Rt ADF 中，12
AF AD =， ∵180180609030B BAD ADB ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，
∴在Rt ABD △中，2AB AD =， ∴13222
BF AB AF AD AD AD =−=−=， ∴32312
AD BF AF AD ==． 【小问2详解】
解：连接AD ，
∵,120AB AC BAC =
∠=°，点D 为BC 中点， ∴30,ABC C AD BC ∠=
∠=°⊥， ∴12
AD AC =， 连接AH ，取AH 的中点O ，连接,OF OE ，
∵CE EH =， ∴1,2
OE AC OE AC =∥， ∴180150,OEC
C OE A
D ∠=°−∠=°=， ∵FD
E 是等边三角形，
∴,60FE FD FED FDE EFD =∠
=∠=∠=°， ∴9060150ADF ∠=°+°=°，360150OEF DEC FED ∠=°−∠−∠=°，
∴ADF OEF ∠=∠，
∴()SAS ADF OEF ≌，
∴,12AF OF =∠=∠，
∴60OFA EFD ∠=∠=°，
∴OFA 为等边三角形，
∴OA OF =，
∴OA OH OF ==， ∴160302
OHF OFH ∠=∠=×°=°， ∴603090AFH AFO OFH ∠=∠+∠=°+°=°，
∴AF FH ⊥．
【小问3详解】
解：在Rt ABD △中，30ABC ∠=°，AB =
∴cos 3BD AB ABC =⋅∠=，
以BD 为边在BD 下方作等边BDG ，连接,,AD AG FG ，
∴3,60DB DG BG BDG DBG ===∠=°=∠，
∵DEF 为等边三角形，
∴,60DE DF EDF =
∠=°， ∴BDG EDF ∠=∠，
∴3=4∠∠，
∴BDE GDF ≌△△，
∴BE GF =，
∴AF BE AF GF AG +=+≥，
当且仅当点,,A G F 三点共线时取得最小值且为AG ，
∵ABG ABC DBG ∠=∠+∠，
∴90ABG ∠=°，
∴AG ，
∴AF BE +．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24. 如图1，抛物线21
62
y x mx m =−++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左边），与y 轴正半轴交于C 点，23
OA OC =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，N 点在抛物线上，2ACN BAC ∠=∠，求N 点的横坐标；
（3）如图3，P 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于F 点，过点122Q
，
的直线l 分别交抛物线于D 、E 两点，直线PD 、PE 分别交x 轴于G 、H 两点，求证：FG FH ⋅为定值，并求该定值． 【答案】（1）211322y x x =
−++ （2）3223
（3）62536
【解析】
【分析】（1）利用抛物线解析式得出()06C m ，，结合23
OA OC =得出()40A m −，，代入抛物线解析式即可求出m ，即可得； （2）过点C 作ACN ∠角平分线CM ，交x 轴于点M ，在CN 延长线上取点W ，使CW CA =，连接AW ，交CM 于点T ，过点W 作WK x ⊥轴于点K ，先在等腰ACM △中利用勾股定理求出OM 和CM ，再利用AMT CMO △≌△，得出AT 和TM ，
再利用AMT AWK △∽△，求出WK 和AK ，即可得出W 的坐标，则可得出直线CN 解析式，再联立抛物线解析式，即可得N 的横坐标；
（3）设直线DE 解析式为122y n x
−+ ，设211111322D x x x −++ ，，222211322E x x x −++
，，联立直线DE 和抛物线可求得122x x n =
−−，1221x x n +=−+，设直线DP 解析式为：12528y q x −+ ，设直线EP 解析式为：12528y p x =−+ ，将211111322D x x x −++
，代入直线
DP 解析式可求得DP 解析式为112125428x y x − −+ ，则可得1112021x G x + −
，，同理：2212021x H x + −
，，求出FG ，FH ，代入FG FH ⋅即可求解．
【小问1详解】
解：当0x =时，抛物线2
1
662y x mx m m =−++=， 则()06C m ，
， 则6OC m =， ∴243
OA OC m ==， ∴()40A m −，
， 将()40A m −，代入21
62
y x mx m =−++， 得：()()2144602
m m m m −
−+⋅−+=， 解得：0m =（舍），或12
m =， ∴抛物线解析式为：211322y x x =−++； 【小问2详解】
解：如图，过点C 作ACN ∠角平分线CM ，交x 轴于点M ，在CN 延长线上取点W ，使CW CA =，连接AW ，交CM 于点T ，过点W 作WK x ⊥轴于点K ，
∵2ACN BAC ∠=∠，ACM WCM ∠=∠，
∴ACM MAC ∠=∠，
∴AM CM =，
由（1）知63OC m ==，42OA m ==，
∴2CM AM OM ==+，
在Rt OCM △中，222OC OM CM +=，
即：()22232OM OM +=+， 解得：54
OM =， ∴1324
CM AM OM =
=+=， ∵CW CA =，ACM WCM ∠=∠，
∴AT WT =，AW CM ⊥，
∴90ATM COM ∠=∠=°，
∵AMT CMO ∠=∠，AM CM =，
∴AMT CMO △≌△， ∴3AT CO ==，54
TM
OM ==， ∴26AW AT ==， ∵MAT WAK ∠=∠，90ATM WKA ∠=∠=°，
∴AMT AWK △∽△， ∴WK AK AW TM AT AM
=
=， 即：65133
44
WK AK ==， 解得：3013WK =，7213
AK =， ∴4613OK AK AO =−=， ∴46301313W
，， 设直线CN 解析式为y kx t =
+， 代入()03C ，，46301313W
，， 得：330461313
t k t = += ，
解得：3946t k = =−
， 则直线CN 解析式为9
346
y x =
−+， 联立抛物线解析式，得：219324126
3x x x −−=+++， 解得：0x =（舍）或3223
x =， 故点N 的横坐标为3223； 【小问3详解】 解：由221125113228
22y x x x =−++=−−+ ， 则抛物线顶点P 坐标为12528
，， ∵直线DE 过点122Q
，
， ∴设直线DE 解析式为122y n x
−
+ ， 设211111322D x x x
−++ ，，222211322E x x x −++
，，其中1212x x ≠≠， 联立：212211322y n x y x x −+ =−++
， 整理得：()2
2120x n x n +−−−=， ∴122x x n =
−−，1221x x n +=−+， ∵直线DP 和直线EP 都过点12528P
，， ∴设直线DP 解析式为：12528y q x
−+ ，设直线EP 解析式为：12528y p x =−+
， 将211111322D x x x −++ ，代入12528y q x −+ ，
解得：1124
x q −=， 则直线DP 解析式为：112125428x y
x − −+ ， 当0y =，得：1121250428
x x − −+ ， 解得：111221
x x x +=−， 即1112021x G x + −
，， 同理：2212021x H x + −
，， ∴11121221x FG x +=−−，22121212
x FH x +=−−， ∴()()()1212121212121212525162544221221212221221x x FG FH x x x x x x x x ++−⋅=−⋅−=⋅=− −−+−−−−
， 将122x x n =
−−，1221x x n +=−+代入， 得：
62536FG FH ⋅=． 【点睛】本题考查了二次函数的图象综合题，涉及二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与这些判定、性质的结合是解题的关键．。