攀枝花市民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

攀枝花市民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图可能是下列哪个函数的图象（）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）e x D．y=
2．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红、黑球各一个
3．特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（）
A．若x∉R，则x2+1≥0 B．∃x∉R，x2+1≥0
C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0
4．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e
5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}
7．随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
9． 设集合 A={ x|﹣3≤2x ﹣1≤3}，集合 B 为函数 y=lg （ x ﹣1）的定义域，则 A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．[1，2] C ．[1，2） D ．（1，2]
10
．设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c 11．正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A
、28+ B
、30+ C
、56+ D 、
60+
二、填空题
13．设变量x ，y
满足约束条件
，则的最小值为 ．
14．△ABC
外接圆半径为，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，则c 的值为 ．
15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则
球表面积是_________.
16．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．
17．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．
18．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，()a R ∈．
（Ⅰ）若当04x ≤≤时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值； （Ⅱ）当03a ≤≤时，求证：()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-．
20．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知k sin B ＝sin A ＋sin C （k 为正常数），a ＝4c .
（1）当k ＝5
4
时，求cos B ；
（2）若△ABC 面积为3，B ＝60°，求k 的值．
22．设函数f （x ）=lnx ﹣ax 2﹣bx ．
（1）当a=2，b=1时，求函数f （x ）的单调区间；
（2）令F （x ）=f （x ）+ax 2
+bx+（2≤x ≤3）其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切线的斜率k ≤恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程f （x ）=mx 在区间[1，e 2
]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．
23．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边7
2
c =
，且
tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为ABC S ∆=
a b +的值．
24．如图，四棱锥P ABC -中，,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====，M 为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．
MN平面PAB；
（1）证明：//
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值；
攀枝花市民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
2．【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
3．【答案】D
【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x2+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x∈R，都有x2+1≥0．
故选D．
4．【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx=lne﹣ln1=1
因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
6．【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
∴P∩（C U Q）={1，2}
故选D．
7．【答案】C
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，
因为P（x1＜3）=P（x2≥a），
所以3﹣2=4﹣a，
所以a=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
8．【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
9． 【答案】D
【解析】解：由A 中不等式变形得：﹣2≤2x ≤4，即﹣1≤x ≤2， ∴A=[﹣1，2]，
由B 中y=lg （x ﹣1），得到x ﹣1＞0，即x ＞1， ∴B=（1，+∞）， 则A ∩B=（1，2]， 故选：D ．
10．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20
=1，0＜
＜0.90
=1．
∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．
11．【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a ，所以内切球的半径为：a ；外接球的直径为2a ，半径为：
a ，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：
故选C
12．【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，
所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
====
S S S S
10,10,10,
后右左
底
S=+B．
因此该几何体表面积30
二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象可知，OC的斜率最小，
由，解得，
即C（4，1），
此时=4，
故的最小值为4，
故答案为：4
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键．
14．【答案】．
【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，
∴由正弦定理可得：，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
15．【答案】64 9
【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.
16．【答案】．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
17．【答案】2x﹣y+1=0．
【解析】解：由题意得，y′=（x+e x）′=1+e x，
∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，
则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，
故答案为：2x﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．
18．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.
三、解答题
19．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）()2x a f x -=≤得，22a x a -≤≤+ 由题意得20
42
a a -≤⎧⎨≤+⎩，故22a ≤≤，所以2a = …… 5分
（Ⅱ）
03a ≤≤，∴112a -≤-≤，∴12a -≤，
()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()
2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤ ()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==，
∴()()()()f x a f x a f ax af x -++≥-．…… 10分
20．【答案】
【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C 的方程为（a ＞0，b ＞0），且可知左焦点为
F （﹣2，0），从而有
，解得c=2，a=4，
又a 2=b 2+c 2，所以b 2
=12，故椭圆C 的方程为
．
（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=x+t ，
由得3x 2+3tx+t 2
﹣12=0，
因为直线l 与椭圆有公共点，所以有△=（3t ）2
﹣4×3（t 2
﹣12）≥0，解得﹣4
≤t ≤4，
另一方面，由直线OA 与l 的距离4=，从而t=±2，
由于±2
∉[﹣4
，4
]，所以符合题意的直线l 不存在．
【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵54sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得5
4
b ＝a ＋
c ，
又a ＝4c ，∴5
4b ＝5c ，即b ＝4c ，
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（4c ）2＋c 2－（4c ）22×4c ·c ＝1
8.
（2）∵S △ABC ＝3，B ＝60°.
∴1
2
ac sin B ＝ 3.即ac ＝4. 又a ＝4c ，∴a ＝4，c ＝1.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝42＋12－2×4×1×1
2＝13.
∴b ＝13，
∵k sin B ＝sin A ＋sin C ，
由正弦定理得k ＝a ＋c b ＝513
＝513
13，
即k 的值为513
13.
22．【答案】
【解析】解：（1）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞）．… 当a=2，b=1时，f （x ）=lnx ﹣x 2
﹣x ，
f ′（x ）=﹣2x ﹣1=﹣．
令f ′（x ）=0，解得x=．…
当0＜x ＜时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增；
当x ＞时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减．
所以函数f （x ）的单调增区间（0，），函数f （x ）的单调减区间（，+∞）．…
（2）F （x ）=lnx+，x ∈[2，3]，
所以k=F ′（x 0）=
≤，在x 0∈[2，3]上恒成立，…
所以a ≥（﹣x 02
+x 0）max ，x 0∈[2，3]…
当x 0=2时，﹣x 02
+x 0取得最大值0．所以a ≥0．…
（3）当a=0，b=﹣1时，f （x ）=lnx+x ，
因为方程f （x ）=mx 在区间[1，e 2
]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx 有唯一实数解．
∴m=1+
，…
设g （x ）=1+
，则g ′（x ）=
．…
令g ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ； g ′（x ）＜0，得x ＞e ，
∴g （x ）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e ，e 2
]上是减函数，…1 0分
∴g （1）=1，g （e 2）=1+
=1+，g （e ）=1+，…
所以m=1+，或1≤m ＜1+．…
23．【答案】112
． 【解析】
试
题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-
可得
tan tan 1tan tan A B
A B
+=-tan()A B +=
∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
又ABC ∆的面积为ABC S ∆=
1sin 2ab C =，即12ab =6ab =.
又由余弦定理可得222
2cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23
a b ab π=+-，
∴22227()()32
a b ab a b ab =+-=+-，∴2
121()4a b +=，∵0a b +>，∴11
2
a b +=.1 考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题．
24．【答案】（1）证明见解析；（2）25
. 【解析】
试
题解析：
（2）在三角形AMC 中，由2
2,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=
，得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=， 222AM MC AC +=，则AM MC ⊥，
∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ， ∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD
平面PAD AD =，
∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ，
在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连结NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。

在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =，得AF =sin ANF ∠=
所以直线AN 与平面PMN ．1
考点：立体几何证明垂直与平行．。