2025版高考数学全程一轮复习第八章解析几何专题培优课高考中的圆锥曲线压轴小题课件

究
函
数
y
＝
x
＋
1 x
的
图
象
与
性
质
”
，
经
探
究
它
的
图
象
实
际
上
是
双
曲
线．现将函数y＝3x＋1x的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的
双曲线C，则该双曲线C的离心率是( )
A．3＋ 10
B．20－6 10
C． 3 + 10
D． 20 − 6 10
答案：D
题后师说
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如 与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等， 这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．
B．( 2， 2 + 2) C．( 2，2)
D．( 2 + 2，＋∞)
答案： D
(2)[2024·河北石家庄模拟]已知椭圆C：xa22
+
y2 b2
＝1(a>b>0)的焦距为2，
过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C于A，B两点，
若 范围x轴为上_的_(0_，_点_3_P3_]满_．足|PA|＝|PB|且|PF|>23恒成立，则椭圆C离心率e的取值
上的一个动点，则下列选项正确的是( )
A．存在点P，使得cos
∠F1PF2＝－
2 2
B．若△PF1F2为直角三角形，则这样的点P有4个
C．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值－13
D.椭圆C内接矩形的周长取值范围是(4，8]
答案： CD
(2)已知椭圆C：xa22 + by22＝1(a>b>0)的离心率为12，上顶点为A，过左焦 点F1的直线l1与C交于D，E两点，过右焦点F2的直线l2经过A点，且 l1⊥l2.若四边形AEF2D的面积为4183，则C的长轴长为___4_____．
题后师说
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点， 且∠F1PF2＝θ，则椭圆中S△PF1F2＝b2·tan θ2，双曲线中S△PF1F2＝tabn2θ2.周 角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为 椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－ba22，双曲 线中kPA·kPB＝ba22.
题后师说
求解圆锥曲线离心率范围问题的策略
巩固训练1
(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 · MF2＝0的点M总在椭 圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，12) C．(12 ， 22)
B．(0， 22) D．( 22，1)
答案： B
(2)已知双曲线C：xa22
−
y2 b2
−
y2 b2
＝1(a>0，
b>0)上
关于原点对称的两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，ME＝
4 3
MQ，直线NE交双曲线的右支于点P，若PM⊥MN，则双曲线的离心
23
率e为____3____．
角度二 抛物线中的二级结论及应用
例3(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若
＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C
上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是( )
A．(1， 52+1] C．(1， 2]
B．[ 52+1，＋∞) D．[ 2，＋∞)
答案：A
题型二 圆锥曲线中的二级结论的应用
角度一 椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2(1)(多选)[2024·安徽黄山模拟]已知椭圆C：x32＋y2＝1，F1，F2分 别为椭圆的左、右焦点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆
B．OA·OB＝－27
C．
1 AF
+
1 ＝1
BF 2
D．△PAB面积的最小值为16
答案：ACD
题后师说
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关
结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得 ∠MPN＝120°，则C的离心率的取
值范围是__(0_，__12_] __．
|AF|＝2|BF|，则|AB|＝( )
A．4 C．5
B．29 D．6
答案： B
(2)(多选)[2024·山东德州模拟]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准
线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则( )
A．若x1＋x2＝8，则|AB|＝12
专题培优课 高考中的圆锥曲线压轴小题
【考情分析】 近几年高考常常把圆锥曲线作为压轴小题，难度较 大，综合考查学生的分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析 题型一 离心率范围问题 例1 (1)过双曲线xa22 − by22＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与 双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且∠ADB为钝角，则 此双曲线离心率的取值范围为( ) A．(1， 2)
则
(1)x1·x2＝p42，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝
p
，|BF|＝
p
，
1−cos α
1+cos α
弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2p2 α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)
1 FA
+
1 ＝2；
FB p
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
巩固训练2
(1)
设椭圆xa22
+
y2 b2
＝1(a＞b＞
0)的
左、
右焦
点分别为F1
，F2，
上、
下
顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝ 90°，则直线BM的斜率为( )
A．13 C．－1
B．12 为双曲线xa22
巩固训练4
[2024·河北沧州模拟]若P为抛物线C：x2＝2py(p>0)在第二象限内一 点，抛物线C的焦点为F，直线PF的倾斜角为30°，抛物线在点P处的 切线与y轴相交于点M.若|OM|＝12(O为坐标原点)，则△MPF的面积为 _______3_____．
1．[2024·山西吕梁模拟]已知双曲线C：xa22 − by22＝1(a>0，b>0)的左、
B．有最大值3
C．有最小值4
D．有最小值3
答案：A
3．[2024·人大附中模拟]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3，2)，
点P为该抛物线上一动点，则△PAF周长的最小值是( )
A．3＋2 2
B．3
C．4＋2 2
D．2＋2 2＋2 3
答案：C
4．已知椭圆C：xa22
+
y2 b2
＝1(a＞b＞0)，点P是C上任意一点，若圆O：
巩固训练3 (多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，P为C上的一动 点，A(5，1)，则下列结论正确的是( ) A．p＝4 B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8 C．|PF|的最小值为4 D．|PA|＋|PF|的最小值为9
答案：CD
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探
右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点，PF1 · QF1＝0， 且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率是( )
A． 3
B． 5
C．2
D．3
答案：B
2．[2024·河南开封模拟]已知F1，F2是椭圆C：x42＋y2＝1的两个焦点，
点M在C上，则|MF1|·|MF2|( )
A．有最大值4