北师大版九年级下册数学第三章 圆3.6 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定及三角形的内切圆教案

3.6 直线和圆的位置关系
第2课时切线的判定及三角形的内切圆
1．掌握切线的判定定理，并会运用它
进行切线的证明；(重点)
2．能灵活选用切线的三种判定方法判
定一条直线是圆的切线；(难点)
3．掌握画三角形内切圆的方法和三角
形内心的概念. (重点)
一、情境导入
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞
上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一
下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就
是我们所要研究的直线与圆相切的情况．
二、合作探究
探究点一：切线的判定
【类型一】已知直线过圆上的某一个
点，证明圆的切线
如图，点D在⊙O的直径AB的
延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D
＝30°，求证：CD是⊙O的切线．
解析：要证明CD是⊙O的切线，即证
明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝
30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，
所以∠OCD＝90°.
证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，
∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝
OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝
60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD
是⊙O的切线．
方法总结：一定要分清圆的切线的判定
定理的条件与结论，特别要注意“经过半径
的外端”和“垂直于这条半径”这两个条
件缺一不可，否则就不是圆的切线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第6题
【类型二】直线与圆的公共点没有确
定时，证明圆的切线
如图，O为正方形ABCD对角线
AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的
⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相
切．
解析：连接OM，过点O作ON⊥CD
于点N，用正方形的性质得出AC平分角
∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝
ON即可．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD
于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM
⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对
角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O 相切．
方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】切线的性质和判定的综合应用
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，
DE⊥EB.
(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．
解析：(1)取BD的中点O，连接OE，
如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE
的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆
的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C
＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根
据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可
求答案．
(1)证明：取BD的中点O，连接OE，
如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，
∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为
△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝
∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC
是△BDE的外接圆的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD
＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有
AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解
得r＝2 3.∵OE∥BC，∴
AE
CE＝
AO
OB，即
6
CE＝
43
23
，∴CE＝3.
方法总结：经过半径的外端且垂直于这
条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的
切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这
点(即为半径)，再证垂直即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第6题
探究点二：三角形的内切圆
【类型一】
利用三角形的内心求角的
度数
如图，⊙O内切于△ABC，切点D、
E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝
50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，
那么∠
EDF等于()
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B
＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于
△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝
∠OF A＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA
－∠OF A＝110°，∴∠EDF＝1
2
∠EOF＝55°.故
选B.
方法总结：解决本题的关键是理解三角
形内心的概念，求出∠EOF 的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题
【类型二】 求三角形内切圆半径
如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
AC ＝6，CB ＝8，则△ABC 的内切圆半径r 为( )
A ．1
B ．2
C ．1.5
D ．2.5
解析：∵∠C ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB ＝
AC 2＋BC 2＝10，∴△ABC 的内切圆
半径r ＝6＋8－10
2
＝2.故选B.
方法总结：记住直角边为a 、b ，斜边为c 的三角形的内切圆半径为a ＋b －c
2，可以大
大简化计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】 三角形内心的综合应用
如图①，I 是△ABC 的内心，AI
的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E .
(1)BE 与IE 相等吗？请说明理由． (2)如图②，连接BI ，CI ，CE ，若∠BED ＝∠CED ＝60°，猜想四边形BECI 是何种特殊四边形，并证明你的猜想．
解析：(1)连接BI ，根据I 是△ABC 的
内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE ＝∠IBE ，即可证出IE ＝BE ；(2)由三角形的内心，得到角平分
线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．
解：(1)BE ＝IE .理由如下：如图①，连接BI ，∵I 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE ＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ；
(2)四边形BECI 是菱形．证明如下：∵∠BED ＝∠CED ＝60°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴BE ＝CE .∵I 是△ABC 的内心，∴∠4＝12∠ABC ＝30°，∠ICD ＝1
2∠
ACB ＝30°，∴∠4＝∠ICD ，∴BI ＝IC .由(1)
证得IE ＝BE ，∴BE ＝CE ＝BI ＝IC ，∴四边形BECI 是菱形．
方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．
三、板书设计
切线的判定及三角形的内切圆 1．切线的判定方法
2．三角形的内切圆和内心的概念
本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.。