高中数学 2.5 等比数列的前n项和 第二课时 等比数列的前项和的应用学案(无答案)新人教A版必修5

2.5第二课时 等比数列的前n 项和的应用
一、课前准备
1.课时目标：搞清等比数列求和公式的应用，能够利用等比数列求和公式解决实际问题，用等比数列和的性质解决问题，熟练掌握等比数列的性质，遇到等比数列求和问题首先考虑应用等比数列的性质去解，培养学生分析问题解决问题的能力.
2.基础预探
（1）等比数列
{}n a ，前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --仍成______.
（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，则______n m n S S +=+m S .
（3）在等比数列中，若项数为()*2n n N ∈，S S 偶奇与分别为偶数项和奇数项的和，则.
_______S S ÷=偶奇，
（4）一般等比数列的前n 项和1(1)(1)1n n a q S q q -=≠-可以变形为
111(1)111n n
n a q a a q S q q q -==----的形式，设____A =，则上式可以写为n n S A Aq =-，由此
可以看出，对于数列的前n 项的和
n n S aq b =+，当且仅当满足0,1a b q =-≠≠时，该数列是等比数列，否则不是.
二、基本知识习题化
1.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,33S =,627S =，则此等比数列的公比q 等于（ ）
A ．2
B ．2-
C ．21
D ．12-
2、在等比数列}{n a 中，已知67
6=⋅a a ，5103=+a a ，则2128
a a 等于（ ） A 、32 B 、23 C 、32或23
D 、23
3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比
以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，1612T T 成等比数列．
4. 已知等差数列{}n a 中，28a =，前10项和10185S =；（1）求通项；（2）若从数列{}n
a 中依次取第2项、第4项、第8项、…、第2n 项、……按原来的顺序组成一个新的数列
{}n b ，求数列
{}n b 的前n 项和n T ；
三、学习引领 ①等比数列的前n 项和的公式可以求数列的和，在求数列的和时注意应用等比数列和的性质来解题，这样简化解题的步骤，注意确定首项，公比与项数来解题.
②利用等比数列的前
等比数列前n 项和可以解决应用问题，首先审清题意，搞清已知量与未知量的关系，将实际问题转化为数学问题，试题中常见的数列模型有构造等差或等比数列再求解；再就是先求出联系的前几项，再归纳推理出
n a ，再用数学知识解题 ③遇到数列的前n 项和n S 与通项n a 之间的关系一般要把n S 转化为n a 求解，不是等差与等比数列的问题，可以转化为等差与等比数列求和.
四、典例导析变式练习
题型一
已知数列{}n a 中，123,,,,,n a a a a 构成一个新数列：1211,(),,(),,n n a a a a a ---此数
列是首项为1，公比为1
3的等比数列.
求数列
{}n a 的通项； 求数列
{}n a 的前n 项和n S .
变式训练1
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b中的3b、4b、5b．
（1）求数列{}n b的通项公式；
（2）数列{}n b的前n项和为n S，求证：数列
5
4
n
S
⎧⎫
+
⎨⎬
⎩⎭是等比数列．
题型二 等差数列与等比数列的综合应用
设数列{}n a 的前n 项和为()*
1144n n S
n N -=-∈，
数列{}n b 为等差数列，且
()112211,b a a b b a =-=.
求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
变式训练 2等比数列{}
n
a
中前n项和为n
S
,4
2
S=
,8
6
S=
,求17181920
a a a a
+++
的值.
题型3 应用问题
例3 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台？（结果保留到个位）
思路导析：根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列的模型，并明确这是一个已
知
30000
n
S=
求n的问题.本来的解答应先根据等比数列的前n项的和公式列方程，再用对
数的知识解方程.
变式训练3
某市2015年有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2016年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
该市在2022年应该投入多少辆电力型公交车？到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1/3？。