2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(十三)变化率与导数、导数的计算 (1)

课时跟踪练(十三)
A组基础巩固
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．
★答案★：C
2．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于()
A．e2B．1 C．ln 2 D．e
解析：f′(x)＝2 018＋ln x＋x×1
x＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，
得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
★答案★：B
3．(2019·江西重点中学盟校第一次联考)函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为()
A．y＝x B．x＝0
C．y＝0 D．不存在
解析：函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0.
★答案★：C
4.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()
A ．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)
B ．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)
C ．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)
D ．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)
解析：f ′(2)、f ′(3)表示曲线y ＝f (x )在点A 、B 处切线的斜率．
又f (3)－f (2)＝f （3）－f （2）
3－2表示直线AB 的斜率．
所以0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)．
★答案★：C
5．(2019·南阳一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( )
A ．7
B ．4
C ．0
D ．－4
解析：因为f (x )＝x －g (x )，所以f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，所以g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.
★答案★：A
6．曲线y ＝
sin x x 在x ＝π2处的切线方程为( ) A ．y ＝0
B ．y ＝2π
C ．y ＝－4π2x ＋4π
D ．y ＝4π2x
解析：因为y ′＝x cos x －sin x x 2，所以y ′|x ＝π2＝－4π2，
当x ＝π2时，y ＝2π
， 所以切线方程为y －2π＝－4π2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π2， 即y ＝－4π2x ＋4π
. ★答案★：C
7．函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．(－∞，2)
C ．(2，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析：函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，
所以f ′(x )＝1x
＋a ＝2在(0，＋∞)上有解． 则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x
＜2.所以a 的取值范围是(－∞，2)．
★答案★：B
8．(2019·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1
＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( )
A ．0
B ．2
C ．2 017
D ．－2 017 解析：因为f (x )＝2
e x ＋1
＋sin x ，
所以f′(x)＝－
2e x
（e x＋1）2
＋cos x，
f(x)＋f(－x)＝2
e x＋1＋sin x＋
2
e－x＋1
＋sin(－x)＝2，
f′(x)－f′(－x)＝－
2e x
（e x＋1）2
＋cos x＋
2e－x
（e－x＋1）2
－cos(－x)＝
0，
所以f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 019)－f′(－2 019)＝2.
★答案★：B
9．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________．
解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f′(x)＝4x，
令4x0＝－8，则x0＝－2，所以f(－2)＝9，
所以点M的坐标是(－2，9)．
★答案★：(－2，9)
10．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：因为f′(x)＝a－1
x，所以f′(1)＝a－1.
又因为f(1)＝a，所以切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
★答案★：1
11．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________．
解析：因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，
所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x
， 所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92
. 所以f ′(2)＝－94
. ★答案★：－94
12．(2019·珠海一中等六校联考)已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．
解析：由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，
所以g (2)＝4＋3＝7，
因为g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，
所以g ′(2)＝2×2＋2＝6，
所以曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.
★答案★：6x －y －5＝0
B 组 素养提升
13．(2019·南阳模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 3·a 5＝
2，若f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，则f ′(0)＝( )
A ．8 2
B ．－8 2
C ．128
D ．－128 解析：令f (x )＝x ·g (x )，
其中g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 7)，
则f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )，
因为{a n }是等比数列，
所以f ′(0)＝g (0)＝－a 1·a 2·a 3·…·a 7＝－a 74，
又因为a 3·a 5＝a 24＝2及{a n }各项均为正数，
所以a 4＝2，故f ′(0)＝－8 2.
★答案★：B
14．(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )
A ．ln 2
B ．1
C ．1－ln 2
D ．1＋ln 2 解析：由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，因为切点(x 0，y 0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，
所以⎩⎨⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，
所以kx 0－2＝x 0ln x 0，所以k ＝ln x 0＋2x 0. 则ln x 0＋2x 0
＝ln x 0＋1，所以x 0＝2，所以k ＝ln 2＋1. ★答案★：D
15．(2019·西安一模)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上
存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.
定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0
恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32
x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．
解析：因为f (x )＝x 3－32
x 2＋1，所以f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. ★答案★：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 16．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．
解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －
3x ，所以f ′(x )＝1x
－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.
★答案★：y ＝－2x －1
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