届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B = ．
2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．
3.双曲线22
143
x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．
5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．
6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．
7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3
cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．
9.已知0a >，0b >，且23a b
+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
tan 3tan A c b B b -=，则cos A = ．
11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩
（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．
12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23
ACB π∠=，则CP CA ⋅= ． 13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满
足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．
14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b π
α=+.
（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值；
（2）若//a b ，求锐角α的大小.
16.如图，正三棱柱111ABC A
B C -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11A C ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.
求证：（1）1//B M 平面1A BN ；
（2）AD ⊥平面1A BN .
17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.
18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2
POB πθθ∠=<<.
（1）当3π
θ=时，求OPQ ∠的大小；
（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.
19.已知函数32
()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.
（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；
（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.
①求实数a 的值；
②当2c =时，求函数(),()()()(),()()
f x f x
g x
h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.
20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；
（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33
n --成立.求满足等式13
n n T a =的所有正整数n .
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数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.
（1）求证：2AB BC =；
（2）若2AB =，求线段CD 的长.
B. 选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
. （1）求矩阵AB ；
（2）若1151B A X --⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，求a ，b 的值.
C. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 经过点)4P π，圆心为直线sin()3π
ρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲
已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.
（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；
（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA
的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，
则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .
（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；
（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由；
（3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题
1. {1}
2. 5
3. y x =
4. 63
5. 316
6. 25 8. 8 9. 10. 13
11. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1
,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 14. [0,1)
二、解答题
15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5
α=，
所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4π
α+
45=+35+=.
（2）因为//a b sin()14a π
α+=α(sin cos cos sin )144ππ
αα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，
则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， 所以锐角4π
α=.
16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =， 又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ， 所以1//B M 平面1A BN ；
（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，
正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =， 所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，
由题意，1AA =，2AC =，1AN =
，3CD =
，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π
∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，
所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=， 则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ， 所以AD ⊥平面1A BN .
17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22
11411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，
设直线1l ：1
1y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x
=-⎧⎨=⎩，得1111
(,)11E k k --， 设直线2l ：1
11y x k =-
-，同理11
11
(,)1111F k k ----，
因为OE OF =，所以11
11
|
|||111
k k =---， ①
11
11
111
k k =---，1110k k +=无实数解； ②
11
11
111
k k =---，1112k k -=，211210k k --=
，解得11k = 综上可得，直线1l
的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233
ππ
π=-
=，
所以OQ =
OPQ ∆中，3OP =，2
POQ π
θ∠=
-2
3
6
π
π
π
=
-
=
，
由正弦定理得
sin sin OQ OP
OPQ OQP
=∠∠，
即
3sin sin()6
παπα=--
sin()6παπα=--5sin()6
πα=-，
5sin
cos 6παα=5cos sin 6
π
α
-1cos 2αα=+
cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠
，所以tan 3α=
，得6
π
α=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2
POQ π
θ∠=
-2
3
6
π
π
π
=
-
=
，
由正弦定理得
sin sin OQ OP
OPQ OQP =∠∠3sin(())2
ππαθ=---，
sin((
))2π
απαθ=---sin(())2
π
αθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，
从而sin )sin θα-cos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠，
所以tan
α=
记()
f θ=
，'()f θ=(0,)2πθ∈；
令'()0f θ=，sin θ=
0(0,)2
π
θ∈使得0sin θ=， 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2
π
θθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，
所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，
又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=
答：观赏效果达到最佳时，θ. 19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3
()2f x x x c =-+，
∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3
ln 2c x x x ≥-+.
令3
()ln 2x x x x ϕ=-+，则2
1'()32x x x
ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，
令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增，
令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减，
∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==.
∴1c ≥.
（2）①当3b =-时，3
2
()3f x x ax x c =+-+，2
'()323f x x ax =+-.
由题意，2
'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，
∴'(1)3230
'(1)3230
f a f a =+-≤⎧⎨
-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.
②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.
当0a =，3b =-，2c =时，3
()32f x x x =-+.
2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.
∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.
对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.
∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.
故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.
20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*
()n N ∈.
13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则
1
3n n
a a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，
所以3n n a =*
()n N ∈；
（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k i
λμ+=⋅⋅，
所以3
312j i
k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，
所以3
33j i
λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，
123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；
（3）由12132n n n a b a b a b --++1
13n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，
11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，
所以21333(1)n n b n ++=-+1
33(333)n n +----，即1363n b n +=+，
所以121n b n +=+*
()n N ∈，
又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*
()n N ∈，
从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-2
1212n n n +-==*()n N ∈，2*()3
n n n T n n N a =∈，
当1n =时
1113T a =；当2n =时224
9T a =；当3n =时3313
T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有
1
3
n n T a <， 11n n n n T T a a ++-1
21(1)3n n +⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
1
2
1133n
n n +⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1
2
2
1((1)3)3n n n +⎛⎫
+-= ⎪
⎝⎭
2(221)n n -++，
当3n ≥时，2
2
221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即
110n n
n n
T T a a ++-<， 所以当3n ≥时，
n n
T a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；
综上可得，满足等式
1
3
n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅱ（附加题）参考答案
21.【选做题】
A. 选修4-1：几何证明选讲
证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =.
因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.
（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，
所以CD =. B. 选修4-2：矩阵与变换
解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
； （2）由11
51B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，所以28a =，5b =. C. 选修4-4：坐标系与参数方程
解：在sin()3
π
ρθ-
=0θ=，得2ρ=，
所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).
因为圆C 的半径
PC 2==，
于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.
D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，
所以210x y ++≥>
，210y x ++≥>，
22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，
所以2
2
(1)(1)9x y y x ++++≥.
【必做题】
22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，
(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；
所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，
设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100
DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得20
0x y z +=⎧⎨=⎩
，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，
111cos ,n CQ n CQ n CQ
⋅<
>=
=
=，
则CQ 与平面PBD （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设
(01)PQ
PA
λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则
220
DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，
12cos ,n n =<>1212
n n n n ⋅
=
=
，
所以22
55(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03
λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=
，则2
3
PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D =，
32D =， 49D =，
（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：
对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：
若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；
若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；
根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；
（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；
当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，
又10D =也是偶数，
故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.
下面用数学归纳法证明2n D （其中*
n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；
假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；
根据前面所述，对任意*
n N ∈，都有2n D 为奇数。