给水排水管网系统设计计算
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§6.2 给水管网的水力特性分析
一、管网水力分析的前提（恒定流基本方程组必须可以求解） 必须已知各个管段的水力特性（管段流量与水头之间的关系）
i＝1，2，3，……M 式中：hi－管段压降，(水流通过该管段所产生的能量损失)，m。 qi－管段流量，m3/s。 si－管段阻力系数，反映管段对水流的阻力大小。 hei－管段扬程，即管段上的泵站提供给水流的总能量，就 等于泵站的静扬程，m。 n－管段阻力系数（与水头损失计算公式相一致） 公式中已经考虑了管段流量的正负值情况,管段水头损失的 方向与流量方向一致（当管段水流流向与管段设定方向不一致时， 管段流量为负值）。
* Fi * Ti * Fi * Ti
* i
i＝1，2，3，…,M。
上式说明，如果R＝0，则所有节点水头同时降低或者增加一个 相同的量，不会影响方程组的成立，方程组无确定的解。
所以，方程组有确定解的充分条件是R≧1。
二、恒定流基本方程组的线性变换
线性变换：a、方程等式两边同时乘一个不为零的常数； b、两个方程式相加或者相减。 1、节点流量连续性方程组的变换 将两个或者多个相邻的彼此关联的节点的流量方程相加， 得到新的流量连续性方程。（其工程意义在于：得到有多个 节点组成的大节点的流量连续性方程，可以大大地简化计 算）。 也可以通过对管网图割集取隔离体，运用质量守恒定律， 直接得到大节点的连续性流量方程。 树状管网中，每条管段均是一个割集，它们的连续性流 量方程组中，每个方程只包含一个管段流量，如果对应的节 点流量已知，则很容易求出各个管段流量。
此式为给水管网水力计算的基础方程。
§ 6.4 解环方程的水力分析
以环流量为未知量，求解环能量方程组（水力平差法） 。 一、 环能量方程组的线性化 1、 管段水力特性线性化
hi si qi qi
n 1
si qi （ hi 、 qi 为非线性关系） 。
n
对于管段 i，假定一个工况点为
，i＝1，2，3，……M
Smi －管段i的管段局部阻力系数。
Spi －管段I上的泵站内部阻力系数（内阻）
备注：根据管段能量方程组（第四章公式4.15）
H Fi HTi hi
， i＝1，2，3，……M
式中：Fi，HFi －管段i上端节点编号和该点的水头；
Ti，HTi －管段I下端节点编号和该点的水头； hi－管段i的压降（水头损失）； M－管网模型中的管段总数。｝
其他各个管段的流量均以通过上述方程组解出，因此，单定压节点树状 管网的水力求解非常简单。 但是对于多定压节点树状管网、单定压节点环状管网和多定压节点环状 管网的求解问题，虽然也可以列出上述方程组，但因为未知量的个数多于方 程组的个数，所以无法直接求解。
2、能量方程组的变换
（1） 路径能量方程： 将首尾相连管段的能量方程相加（方向相同）或相减（方向相反） ，得到 的新方程。 节点 1 到节点 4 的一条路径能量方程是：
H7 H1 H1 H2 H2 H3 H 8H3 h1 h2 h3 h4 H7 H8 h1 h2 h3 h4
（3）回路能量方程 （如果回路是环，则称为环能量方程） 同样，如图 4.12，一个回路能量方程是：
H1 H 2 H 2 H 3 H 3 H 6 H 5 H 6 H 4 H 5 H1 H 4 h2 h3 h7 h9 h8 h5 h2 h3 h7 h9 h8 h5 0
对于图 4.12，环能量方程可以写成：
h2 h6 h8 h5 0 h3 h7 h9 h6 0
（4）环能量方程的一般型式
iRK
( h ) பைடு நூலகம் 0
i
k＝1、2、3 „„„„L， （k 为环号）
环能量方程最为简单（不含节点水头） ，在工程中最为有用，由多个环能量方程可 以导出回路能量方程。 (5)虚环能量方程 为了将多定压节点管网的路径能量方程简化为环能量方程，而进行的虚拟简化。 虚环假设的条件： ① 在管网图中增加一个虚节点，编号为 0，假设它是一个虚拟定压节点，由它供应整 个管网流量，其节点水头为 0。
N
Q 0
i 1 i
该方程说明管网总供水量与总用水量之间的平衡关系。 （节点流量 有正有负，代数和总为零。 ）
如果该管网只要一个定压节点， （即只有一个节点流量未知） ，则该节点 的流量就可以通过上述求和方程解出。 （例如，如果节点 7 定压，则:
Q7 (Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q8 )
例如：设计水塔时，如果给定水塔供水流量，则水塔所处 的点为定流节点，通过解节点流量方程，最终可以求出节点 水压，确定水塔高度；如果给定水塔高度，则水塔所处的点 为定压节点，通过解节点流量方程，最终可以求出水塔供水 量。
注意：在给水管网设计计算时，如果定压节点数目R>1， 称为多定压节点水力分析问题；如果定压节点数目R＝1，称 为单定压节点水力分析问题；定压节点数目R不能为零，否 则，无法求解方程组。
q 0i 、 hi0 ， （实际管网，管段流量
与压降时刻变化，但在某一点上，二者互为对应关系） ，该工况处曲线的 切线方程为：
dhi nsi q z nsi q
0 i
0 n 1 i
dqi Z i0 dqi
0 n 1 i
zi
—管段阻尼系数（变量）
zi nsi q i
因此，前面的环能量方程变为：
H 7 s1q1 q1 n1 s2 q2 q2 n1 s3 q3 q3 n1 s4 q4 q4 n1 H 8 0 n 1 n 1 n 1 n 1 s2 q2 q2 s6 q6 q6 s5 q5 q5 s8 q8 q8 0 n 1 n 1 n 1 n 1 s3 q3 q3 s7 q7 q7 s9 q9 q9 s6 q6 q6 0
如图 4.12，设虚节点后，环能量方程改变为：
h10 h1 h2 h3 h4 h11 0 h2 h6 h8 h5 0 h h h h 0 3 7 9 6
上式中，根据虚环假设：h10、h11 为管段（理想泵站的虚拟）提供给节点 7、8 的 节点水头，即就是： 取负值) 设虚环的目的：将管网中定压节点能量方程统一为环能量方程，设置虚环后，管网图 中的环数为：
hi si qi qi
n 1
hei
s si qi （与指数 显然，当管段流量为正值时， i qi qi 形式一致）。当管段流量为负值时，公式形式与n的取值有关。
n
n 1
该公式反映了管段上的各种固定阻力设施所表现出来的宏 观水力特性。（Si包括所有管段，阀门，附件及泵站等）。 固定阻力系数的计算公式： 式中：sSfi s fi smi s pi i －管段i的管道摩阻系数（沿程阻力）。
说明： 最大节点：只有管段 1 的管段流量，指向节点，取负值－q1；节 点流量指内部各个节点流量之和； 方程顺序由大节点到小节点； 对于树状管网，只要知道各个节点流量，就可以很容易求出各个 管段流量。 （有方向：指向节点为负值，离开节点为正值） 。 如果将整个 管 网看做一个 割 集，则不包 括 任何管段流 量 ，即
必须至少有一个定压节点（R≧1）(充分条件)
反证法：如果管网中所有节点的水头均未知（R＝0）， 假设恒定流基本方程组的解为 H * ， j＝1，2，3，…，N， j * 任意增加一个值（⊿H）后仍然是方程组的另一组解。 则给 H j
(H H ) (H H ) H H h
Fk —环 k 的水头函数。
Fk 特点：与各个环流量对应，非线性关系。其值只与本环和与本环相邻的
环流量有关，不相邻的环的环流量并不会改变该环的水头。
举例：给水管网图
② 从虚定压节点到各个实际定压节点分别设置一条虚管段，该管段将流量输 送到实际定压节点，管段无阻力，且在该虚管段中间设有一个无阻力的虚拟泵 站，该泵站的扬程为与它相连的定压节点的实际水头。 虚管段的能量方程为： H 0 HTi 方程中：
hi HTi
注意：对于虚节点，按照假设条件，其水头 H 0 0 ， HTi－与虚管段 i 关联的的实际定压节点水头。 hi－虚拟泵站的扬程。 （将虚管段抽象为泵站） 。 ③ 定压节点流量改为由虚管段提供，其节点流量变为 0，该流量为已知量。 ④ 这样，一个多定压节点管网就转化为一个单定压节点（ H 0 0 ）的环网， 原来管网由 n 个定压节点， 设虚节点后就增加 n 段虚管段， 产生年 n－1 个虚环。
2、环能量方程组线性化
通过初分配管段流量,施加环流量后，环能量方程组可以统一表示为：
iRk
(h ) F (q , q , q .......q ) 0
i k 1 2 3 L
k＝1、2、3„L。 式中：L—管网图 G（V、E）中的环数；
qk －管网图 G（V、E）中第 k 个环的环流量；
H10 H 7 ， H11 H 8 (注意：方向指向节点
L* L R 1
L－原管网的环数。 R－原管网定压节点的个数。
代入水力特性关系式： 水头损失： h s q n ， （S－管段的摩阻） ，为了方向统一，h、q 均有方向，写成： h s q q
n 1
因此， H Fi
H Ti si qi qi
n 1
hei ，i ＝1，2，3，……M
式中，Si、hei、n为已知量，当管段上没有泵站，忽略局部阻 力时，能量方程可以简化为：
H Fi H Ti s fi qi qi
n 1
，i＝1，2，3，……M
节点流量和节点水头必须一个已知
针对一个节点可以列出一个节点流量方程，而一个方程 只能求解一个未知量，因此，对于节点流量和节点水头，二 者必须知道一个，方能求出另外一个。 （两个均已知，矛盾，两个均未知，方程组不可解）。 管网图中共有N个节点，可以归为两类，其中： 定压节点 节点水头已知而节点流量未知的节点（设总数为R）。 定流节点 节点流量已知而节点水头未知的节点（总数为N－R）。
如图，虚线表示各个割集，相应的各个割集的流量连续性方程组如下：
q1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q8 0 q Q Q Q Q Q Q Q 1 1 2 3 4 5 6 8 q Q Q Q Q Q 0 q Q Q Q Q Q 2 3 5 6 8 2 2 3 5 6 8 2 q3 Q3 Q6 Q8 0 q3 Q3 Q6 Q8 → q 4 Q8 q4 Q8 0 q Q 0 q Q 4 4 5 5 q6 Q5 0 q 6 Q5 q7 Q6 0 q 7 Q6
H 1 H 2 H 2 H 5 H 4 H 5 h2 h6 h8 H 1 H 4 h2 h6 h8
（2）定压节点能量方程 指对于多定压节点的给水管网， 从一个定压节点到另一个定压节点之间的 路径能量方程。 如图 4.12，节点 7、8 为定压节点（分别为泵站和水塔） ，该两个定压节点 之间的能量方程可以写成：
n 1
nhi qi
n1
因为：
hi si qi q i
q0i 、 hi0 ） 因此，对于曲线上某一点（ ，该点处曲线可以用它的切线
加以替代，由于 dq i 、 dhi ，的值很小，所以，误差也很小。
Z i0 的工程意义：管段压降在曲线上某一给定点（ q0i 、hi0 ）处随流量
变化的灵敏度（称为阻尼系数） 。
一、管网水力分析的前提（恒定流基本方程组必须可以求解） 必须已知各个管段的水力特性（管段流量与水头之间的关系）
i＝1，2，3，……M 式中：hi－管段压降，(水流通过该管段所产生的能量损失)，m。 qi－管段流量，m3/s。 si－管段阻力系数，反映管段对水流的阻力大小。 hei－管段扬程，即管段上的泵站提供给水流的总能量，就 等于泵站的静扬程，m。 n－管段阻力系数（与水头损失计算公式相一致） 公式中已经考虑了管段流量的正负值情况,管段水头损失的 方向与流量方向一致（当管段水流流向与管段设定方向不一致时， 管段流量为负值）。
* Fi * Ti * Fi * Ti
* i
i＝1，2，3，…,M。
上式说明，如果R＝0，则所有节点水头同时降低或者增加一个 相同的量，不会影响方程组的成立，方程组无确定的解。
所以，方程组有确定解的充分条件是R≧1。
二、恒定流基本方程组的线性变换
线性变换：a、方程等式两边同时乘一个不为零的常数； b、两个方程式相加或者相减。 1、节点流量连续性方程组的变换 将两个或者多个相邻的彼此关联的节点的流量方程相加， 得到新的流量连续性方程。（其工程意义在于：得到有多个 节点组成的大节点的流量连续性方程，可以大大地简化计 算）。 也可以通过对管网图割集取隔离体，运用质量守恒定律， 直接得到大节点的连续性流量方程。 树状管网中，每条管段均是一个割集，它们的连续性流 量方程组中，每个方程只包含一个管段流量，如果对应的节 点流量已知，则很容易求出各个管段流量。
此式为给水管网水力计算的基础方程。
§ 6.4 解环方程的水力分析
以环流量为未知量，求解环能量方程组（水力平差法） 。 一、 环能量方程组的线性化 1、 管段水力特性线性化
hi si qi qi
n 1
si qi （ hi 、 qi 为非线性关系） 。
n
对于管段 i，假定一个工况点为
，i＝1，2，3，……M
Smi －管段i的管段局部阻力系数。
Spi －管段I上的泵站内部阻力系数（内阻）
备注：根据管段能量方程组（第四章公式4.15）
H Fi HTi hi
， i＝1，2，3，……M
式中：Fi，HFi －管段i上端节点编号和该点的水头；
Ti，HTi －管段I下端节点编号和该点的水头； hi－管段i的压降（水头损失）； M－管网模型中的管段总数。｝
其他各个管段的流量均以通过上述方程组解出，因此，单定压节点树状 管网的水力求解非常简单。 但是对于多定压节点树状管网、单定压节点环状管网和多定压节点环状 管网的求解问题，虽然也可以列出上述方程组，但因为未知量的个数多于方 程组的个数，所以无法直接求解。
2、能量方程组的变换
（1） 路径能量方程： 将首尾相连管段的能量方程相加（方向相同）或相减（方向相反） ，得到 的新方程。 节点 1 到节点 4 的一条路径能量方程是：
H7 H1 H1 H2 H2 H3 H 8H3 h1 h2 h3 h4 H7 H8 h1 h2 h3 h4
（3）回路能量方程 （如果回路是环，则称为环能量方程） 同样，如图 4.12，一个回路能量方程是：
H1 H 2 H 2 H 3 H 3 H 6 H 5 H 6 H 4 H 5 H1 H 4 h2 h3 h7 h9 h8 h5 h2 h3 h7 h9 h8 h5 0
对于图 4.12，环能量方程可以写成：
h2 h6 h8 h5 0 h3 h7 h9 h6 0
（4）环能量方程的一般型式
iRK
( h ) பைடு நூலகம் 0
i
k＝1、2、3 „„„„L， （k 为环号）
环能量方程最为简单（不含节点水头） ，在工程中最为有用，由多个环能量方程可 以导出回路能量方程。 (5)虚环能量方程 为了将多定压节点管网的路径能量方程简化为环能量方程，而进行的虚拟简化。 虚环假设的条件： ① 在管网图中增加一个虚节点，编号为 0，假设它是一个虚拟定压节点，由它供应整 个管网流量，其节点水头为 0。
N
Q 0
i 1 i
该方程说明管网总供水量与总用水量之间的平衡关系。 （节点流量 有正有负，代数和总为零。 ）
如果该管网只要一个定压节点， （即只有一个节点流量未知） ，则该节点 的流量就可以通过上述求和方程解出。 （例如，如果节点 7 定压，则:
Q7 (Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q8 )
例如：设计水塔时，如果给定水塔供水流量，则水塔所处 的点为定流节点，通过解节点流量方程，最终可以求出节点 水压，确定水塔高度；如果给定水塔高度，则水塔所处的点 为定压节点，通过解节点流量方程，最终可以求出水塔供水 量。
注意：在给水管网设计计算时，如果定压节点数目R>1， 称为多定压节点水力分析问题；如果定压节点数目R＝1，称 为单定压节点水力分析问题；定压节点数目R不能为零，否 则，无法求解方程组。
q 0i 、 hi0 ， （实际管网，管段流量
与压降时刻变化，但在某一点上，二者互为对应关系） ，该工况处曲线的 切线方程为：
dhi nsi q z nsi q
0 i
0 n 1 i
dqi Z i0 dqi
0 n 1 i
zi
—管段阻尼系数（变量）
zi nsi q i
因此，前面的环能量方程变为：
H 7 s1q1 q1 n1 s2 q2 q2 n1 s3 q3 q3 n1 s4 q4 q4 n1 H 8 0 n 1 n 1 n 1 n 1 s2 q2 q2 s6 q6 q6 s5 q5 q5 s8 q8 q8 0 n 1 n 1 n 1 n 1 s3 q3 q3 s7 q7 q7 s9 q9 q9 s6 q6 q6 0
如图 4.12，设虚节点后，环能量方程改变为：
h10 h1 h2 h3 h4 h11 0 h2 h6 h8 h5 0 h h h h 0 3 7 9 6
上式中，根据虚环假设：h10、h11 为管段（理想泵站的虚拟）提供给节点 7、8 的 节点水头，即就是： 取负值) 设虚环的目的：将管网中定压节点能量方程统一为环能量方程，设置虚环后，管网图 中的环数为：
hi si qi qi
n 1
hei
s si qi （与指数 显然，当管段流量为正值时， i qi qi 形式一致）。当管段流量为负值时，公式形式与n的取值有关。
n
n 1
该公式反映了管段上的各种固定阻力设施所表现出来的宏 观水力特性。（Si包括所有管段，阀门，附件及泵站等）。 固定阻力系数的计算公式： 式中：sSfi s fi smi s pi i －管段i的管道摩阻系数（沿程阻力）。
说明： 最大节点：只有管段 1 的管段流量，指向节点，取负值－q1；节 点流量指内部各个节点流量之和； 方程顺序由大节点到小节点； 对于树状管网，只要知道各个节点流量，就可以很容易求出各个 管段流量。 （有方向：指向节点为负值，离开节点为正值） 。 如果将整个 管 网看做一个 割 集，则不包 括 任何管段流 量 ，即
必须至少有一个定压节点（R≧1）(充分条件)
反证法：如果管网中所有节点的水头均未知（R＝0）， 假设恒定流基本方程组的解为 H * ， j＝1，2，3，…，N， j * 任意增加一个值（⊿H）后仍然是方程组的另一组解。 则给 H j
(H H ) (H H ) H H h
Fk —环 k 的水头函数。
Fk 特点：与各个环流量对应，非线性关系。其值只与本环和与本环相邻的
环流量有关，不相邻的环的环流量并不会改变该环的水头。
举例：给水管网图
② 从虚定压节点到各个实际定压节点分别设置一条虚管段，该管段将流量输 送到实际定压节点，管段无阻力，且在该虚管段中间设有一个无阻力的虚拟泵 站，该泵站的扬程为与它相连的定压节点的实际水头。 虚管段的能量方程为： H 0 HTi 方程中：
hi HTi
注意：对于虚节点，按照假设条件，其水头 H 0 0 ， HTi－与虚管段 i 关联的的实际定压节点水头。 hi－虚拟泵站的扬程。 （将虚管段抽象为泵站） 。 ③ 定压节点流量改为由虚管段提供，其节点流量变为 0，该流量为已知量。 ④ 这样，一个多定压节点管网就转化为一个单定压节点（ H 0 0 ）的环网， 原来管网由 n 个定压节点， 设虚节点后就增加 n 段虚管段， 产生年 n－1 个虚环。
2、环能量方程组线性化
通过初分配管段流量,施加环流量后，环能量方程组可以统一表示为：
iRk
(h ) F (q , q , q .......q ) 0
i k 1 2 3 L
k＝1、2、3„L。 式中：L—管网图 G（V、E）中的环数；
qk －管网图 G（V、E）中第 k 个环的环流量；
H10 H 7 ， H11 H 8 (注意：方向指向节点
L* L R 1
L－原管网的环数。 R－原管网定压节点的个数。
代入水力特性关系式： 水头损失： h s q n ， （S－管段的摩阻） ，为了方向统一，h、q 均有方向，写成： h s q q
n 1
因此， H Fi
H Ti si qi qi
n 1
hei ，i ＝1，2，3，……M
式中，Si、hei、n为已知量，当管段上没有泵站，忽略局部阻 力时，能量方程可以简化为：
H Fi H Ti s fi qi qi
n 1
，i＝1，2，3，……M
节点流量和节点水头必须一个已知
针对一个节点可以列出一个节点流量方程，而一个方程 只能求解一个未知量，因此，对于节点流量和节点水头，二 者必须知道一个，方能求出另外一个。 （两个均已知，矛盾，两个均未知，方程组不可解）。 管网图中共有N个节点，可以归为两类，其中： 定压节点 节点水头已知而节点流量未知的节点（设总数为R）。 定流节点 节点流量已知而节点水头未知的节点（总数为N－R）。
如图，虚线表示各个割集，相应的各个割集的流量连续性方程组如下：
q1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q8 0 q Q Q Q Q Q Q Q 1 1 2 3 4 5 6 8 q Q Q Q Q Q 0 q Q Q Q Q Q 2 3 5 6 8 2 2 3 5 6 8 2 q3 Q3 Q6 Q8 0 q3 Q3 Q6 Q8 → q 4 Q8 q4 Q8 0 q Q 0 q Q 4 4 5 5 q6 Q5 0 q 6 Q5 q7 Q6 0 q 7 Q6
H 1 H 2 H 2 H 5 H 4 H 5 h2 h6 h8 H 1 H 4 h2 h6 h8
（2）定压节点能量方程 指对于多定压节点的给水管网， 从一个定压节点到另一个定压节点之间的 路径能量方程。 如图 4.12，节点 7、8 为定压节点（分别为泵站和水塔） ，该两个定压节点 之间的能量方程可以写成：
n 1
nhi qi
n1
因为：
hi si qi q i
q0i 、 hi0 ） 因此，对于曲线上某一点（ ，该点处曲线可以用它的切线
加以替代，由于 dq i 、 dhi ，的值很小，所以，误差也很小。
Z i0 的工程意义：管段压降在曲线上某一给定点（ q0i 、hi0 ）处随流量
变化的灵敏度（称为阻尼系数） 。