大渡口区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

大渡口区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
一、选择题
1． 函数f （x ）
=
，则f （﹣1）的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a
必过；④在吸烟
与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某
人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 函数y=x 3﹣x 2﹣x 的单调递增区间为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
4． 已知等比数列{a n }的第5项是二项式（
x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ） A ．5 B ．18
C ．24
D ．36
5． 复数
z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）
A
． B
． C
． D
．
7． 若复数z 满足i 1i z =--,则在复平面内,z 所对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 8． 设i
是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若
z =2
（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
9． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．变量x 、y
满足条件
，则（x ﹣2）2+y 2
的最小值为（ ）
A
． B
． C
． D ．5
11．若变量x ，y
满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）
A ．﹣2＜t
＜﹣ B ．﹣2＜t ≤
﹣ C ．﹣2≤t ≤
﹣ D ．﹣2≤t
＜﹣
12．已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是
14．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
15．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
16．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是
．
17．设p ：∃x ∈
使函数
有意义，若¬p 为假命题，则t 的取值范围为 ．
18．已知,a b 为常数，若()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________.
三、解答题
19．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
20．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．
（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1
；
（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．
21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）.
试用θ和a表示S；
θ=时，S取得最大值，求a的值.
（2）若恰好当60
22．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
23．已知数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣19n+1，记T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．
（1）求S n的最小值及相应n的值；
（2）求T n．
24．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则
（1）求f（0）；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
25．化简：
（1）．
（2）+．
26．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
大渡口区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1
故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．
2．【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误；
对于③，线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误；
综上，其中错误的个数是2．
故选：C．
3．【答案】A
【解析】解：∵y=x3﹣x2﹣x，
∴y′=3x2﹣2x﹣1，
令y′≥0
即3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）≥0
解得：x≤﹣或x≥1
故函数单调递增区间为，
故选：A．
【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．
4．【答案】D
【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x4﹣2r，
令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，
∴a3a7=a52=36，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
5．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
6．【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：
故选A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
7．【答案】B
【解析】
8．【答案】B
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，
由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，
整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．
则，解得．
所以z=1+i．
故选B．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
9．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
10．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
11．【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，
由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），
则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可，
即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，
即（3t+4）（2t+4）≤0，
解得﹣2≤t≤﹣，
即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】
令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为，所以，故选C
答案：C
二、填空题
13．【答案】0
【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，
由于sin周期为8，
所以S=sin+sin+…+sin=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．
.
14．【答案】[3,6]
【解析】
15．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）
====
．
故答案为：．
16．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为
，故圆锥的高为
此圆锥的体积为
=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
17．【答案】
．
【解析】解：若￢P 为假命题，则p 为真命题．不等式tx 2
+2x ﹣2＞0有属于（1，
）的解，即
有
属于（1
，）的解，
又
时，
，所以
．
故t
＞﹣． 故答案为t
＞﹣．
18．【答案】 【解析】
试题分析：由()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，，得2
2
()4()31024ax b ax b x x ++++=++，
即2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++，比较系数得22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩
，解得1,7a b =-=-或
1,3a b ==，则5a b -=.
考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简()f ax b +的解析式是解答的关键.
三、解答题
19．【答案】（1）3
B π
=
；（2）[1,2).
【解析】
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），
则即=
，
∴M=
．
又det （M ）=﹣3，
∴M ﹣1
=
；
（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），
则
=M ﹣1
=
，
即，
∴代入4x+y ﹣1=0，得
，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．
21．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2）2a =+
【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2112cos x a a θ=+-，
所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a
θ=
+ 且当0θθ<时，022cos 1a
a θ>+，0S '>，
当0θθ>时，02
2cos 1a
a
θ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以221
12
a a =+，
解得2a = 因为1a >
，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

22．【答案】
【解析】解：（1）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞）．… 当a=2，b=1时，f （x ）=lnx ﹣x 2
﹣x ，
f ′（x ）
=﹣2x ﹣1=
﹣．
令f ′（x ）=0，解得
x=．…
当0＜x
＜时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增；
当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．…
（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…
当x0=2时，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…
（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+，…
设g（x）=1+，则g′（x）=．…
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，…1 0分
∴g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，…
所以m=1+，或1≤m＜1+．…
23．【答案】
【解析】解：（1）S n=2n2﹣19n+1=2﹣，
∴n=5时，S n取得最小值=﹣44．
（2）由S n=2n2﹣19n+1，
∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16．
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．
由a n≤0，解得n≤5．n≥6时，a n＞0．
∴n≤5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=﹣2n2+19n﹣1．
n≥6时，T n=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+a n
=﹣2S5+S n
=2n2﹣19n+89．
∴T n=．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）中， 令x=y=0可得，f （0）=f （0）+f （0）， 则f （0）=0，
（2）令y=﹣x ，得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ）， 又f （0）=0，则有0=f （x ）+f （﹣x ）， 即可证得f （x ）为奇函数；
（3）因为f （x ）在R 上是增函数，又由（2）知f （x ）是奇函数， f （k •3x ）＜﹣f （3x ﹣9x ﹣2）=f （﹣3x +9x +2），
即有k •3x ＜﹣3x +9x
+2，得
，
又有
，即
有最小值2
﹣1，
所以要使f （k •3x ）+f （3x ﹣9x
﹣2）＜0恒成立，只要使
即可，
故k 的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．
25．【答案】
【解析】解 （1）原式==
==
=
==﹣1．
（2）∵tan （﹣α）=﹣tan α，sin （﹣α）=cos α，cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣sin α，
tan （π+α）=tan α，
∴原式=
+
=
+
=
=﹣
=﹣1．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
26．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，
由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为
=400；
（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，
∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，
故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，
求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，
∴所求概率p2=．
【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．。