高二数学第二次质量检测试题文湘教版

2013年上期高二年级第二次质量检测数学试卷（汉文）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()
U C A B =
A ．{13}x x -≤<
B ．{13}x x -<<
C ．{1}x x <-
D ．{3}x x > 2.复数i z i z -=+=1,321，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）
A ．()f x x =
B ．()f x x x =-
C ．()f x x =+1
D ．()f x x =-
4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ） A ．8 B ．4 C ．
83 D ．43
5．下列命题中，是真命题的是 A ．2
,2x
x R x ∀∈>
B ．a >1,1b >是1ab >的充分条件
C ．0a b +=的充要条件是1a
b
=-
D ．若1=+b a ，则
41
1≥+b
a 6.执行右面的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )
B.2
7. 已知函数)0)(6
sin(2)(>-=ωπ
ωx x f 的最小正周期为π，则)(x f 的单调递增区间
为（ ）
A ．)](3,6[Z k k k ∈+-
ππππ B ．)](32,62[Z k k k ∈+-π
πππ C ．)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ D ． )](6
5,3[Z k k k ∈++π
πππ
x
y 2log =12-=x y
8．若双曲线
116
922=-y x 渐近线上的一个动点P 总在平面区域()1622
≥+-y a x 内，则实 数a 的取值范围是（ ）
A ．),5[+∞
B ．]5,(-∞
C ．]5,5[-
D ．),5[]5,(+∞--∞ 二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，满分21分。

9．函数)
1(log 2
)(2--=
x x x f 的定义域是 ▲ .
10．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为 ▲ .
11．在2ABC AB ∆∠=中,A=60，且ABC ∆AC 的长为 ▲ . 12．已知抛物线x y 82
=的准线过双曲线132
22=-y a
x 的左焦点，则双曲线的离心率为▲ . 13．已知0,0x y >>，若2282y x
m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ . 14．给出以下命题：
①命题:p 极坐标方程1cos =θρ表示的曲线的轨迹是单位圆；
②若命题:p 对R x ∈∀，都有022
≥+-x x ，则命题:p ⌝R x ∈∃，有022
<+-x x ;
③ 已知线性回归方程为ˆ32y x =+，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④ 已知
2622464+=--，5325434+=--，7127414+=--，102
210424
-+=---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
824(8)4
n n
n n -+=---；（4n ≠） 则正确命题的序号为 ▲ （写出所有正确命题的序号）．
15．在区间[]0,2上任取两个实数,a b ，则函数3
()f x x ax b =+-在区间[]1,1-上有且只有
一个零点的概率是 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，满分55分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分8分） 已知p ：0)10)(2(≤-+x x ，q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x . 若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

17．（本题满分8分） 已知函数R x x x x f ∈--=
,12cos 2
1
2sin 23)( （Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，
且()0c f C ==，a b 2=，求,a b 的值.
18．（本小题满分8分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的
一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （Ⅰ）求第六组和第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；
（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两
名男生，记他们的身高分别为y x ,，设事件A :5≤-y x ，求事件A 的概率)(A P ．
x
19．（本小题满分10分）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．
（Ⅰ）求证：//AF 平面PEC ；
（Ⅱ）若PD 与平面ABCD 所成角为60，且4,2==AB AD ，求三棱锥ADE P -的体积ADE P V -，并求点A 到平面PED 的距离．
20.(本题满分10分)已知函数3
1()13
f x x ax =
-+．)('x f 为函数
)(x f 的导函数。

（Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数x a x f x g ln )(')(-=在[]e ,1上单调递增，求实数a 的取值范围。

（Ⅲ）若对任意m R ∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分11分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率21
=e ，短轴长为
32．一动圆经过椭圆的右焦点2F )0,(c ，且与过椭圆左焦点1F 的直线c x -= 相切．
（Ⅰ） 求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）求动圆的圆心M 的轨迹M 的方程；
（Ⅲ）轨迹M 上一点)4,4(A ，是否存在直线l 与轨迹M 相交于两不同的点B ，C ，使ABC ∆
的垂心为(8,0)H ？若存在，求直线l
第19题图
2013年上期高二年级第二次质量检测数学答案（汉文） 时量：120分钟 分值：100分 命题人：李凤英
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
ADCD BCAD
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，满分21分。

),2(+∞；160；1；2；42m -<<；②③④；
78
三、解答题：本大题共6小题，满分55分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分8分） 解：由p ：0)10)(2(≤-+x x 可得102≤≤-x ……………………………（2分） 由q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x 可得)0(11>+≤≤-m m x m ……（4分） 因为p 是q 的充分不必要条件。

………………（8分）
因为p 是q 的充分不必要条件，所以 ⎩⎨
⎧≥+-≤-10121m m ，…………………（7分）
所以 9≥m ………………………………（8分）
17.（本题满分8分） 解：(1) 1)6
2sin(12cos 212sin 23)(--=--=
π
x x x x f ……2分 π=T 故 最小值为-2 ……………………4分
(2) 01)6
2sin()(=--=π
C C f 而),0(π∈C
∴2
6
2π
π
=
-C ,得3
π
=
C ……………………6分
由
余
弦
定
理
C ab b a c cos 22
2
2
-+=2
2
2
2
324a a a a =-+= 2,1==b a ………………8分
18．（本小题满分8分）
（Ⅰ）第六组的频率为4
0.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06
--⨯⨯++⨯+=； ……………………………2分
（Ⅱ）
由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,
所以身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为0.18800144⨯=人． ………………4分 （Ⅲ）第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为
,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况，
因事件=A {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件A 包含的基本事件为
,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况，故
15
7
)(=A P ． ……………………8分
19．（本小题满分10分）
解：【法一】（I ）证明：如图，取PC 的中点O ，连接,OF OE ．
AEOF ∴是平行四边形，
∴//AF OE 又
OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC
//AF ∴平面PEC ………………………3分 （II ）设A 平面PED 的距离为d ，
【法一】：因PA ⊥平面ABCD ，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成角，所以o
PDA 60=∠， 所以3260tan ==o
AD PA ，460cos ==
o
AD
PD ，
3
34=-ADE
P V ……………………… 5分
又因4=AB ，E 是AB 的中点所以2=AE ，422=+=
AE PA PE ，
2222=+=AE DA DE ．
作DE PH ⊥于H ，因22,4===DE PE PD ，则
14,222=-==DH PD PH DH ，……………………………………6分
则221=⋅⨯=
∆AE AD S ADE ，722
1
=⋅⨯=∆DE PH S PDE
C
1
x
因PDE A AED P V V --= 所以721
27
2232=
⨯=⋅=
∆∆PDE ADE S S PA d ……………………………………………… 8 【法二】因PA ⊥平面ABCD ，故PDA ∠为PD 与平面ABCD 所成角，所以o
PDA 60=∠， 所以3260tan ==o
AD PA ，460
cos ==
o
AD
PD ，又因4=AB ，E 是AB 的中点， 作DE PH ⊥于H ，连结AH ，因4==PE PD ，则H 为DE 的中点，故DE AH ⊥ 所以⊥DE 平面PAH ，所以平面⊥PDE 平面PAH ，作PH AG ⊥于G ，则⊥AG 平面
PDE ，所以线段AG 的长为A 平面PED 的距离。

又14,222=-==DH PD PH DH ，222=-=DH AD AH
所以721
214
232=
⋅=⋅=
PH AH PA AG …………………………………………8分
20．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为2()f x x a '=- 由题意得(1)10f a '=-= 则1a = 当(1,1)x ∈-时()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在1x
=时取得极小值，即1a =符合题意；…………………………4分
（Ⅱ）)0(22)('ln )(22
>-=
-=⇒--=x x
a
x x a x x g x a a x x g 0)('≥x g 恒成立，得到222≤⇒≤a x a
所以a 的范围为]2,(-∞∈a …………………………8分
（Ⅲ）因为R m ∀∈，直线
y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，
所以2()1f x x a =-≠-'
对R x ∈恒成立，即2()f x x a =-'的最小值大于1-， 而2()f x x a =-'
的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a <． ……10分
21．（本小题满分11分）
解（Ⅰ）13
42
2=+y x ……………………3分
（Ⅱ）由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中焦点，1x =-为准线，所以动圆的圆心M 的方程为24y x =；………………………6分
（Ⅲ）由已知得(4,4)A ，直线AH 的斜率为1-率为1，
设直线l 的方程是m x y +=，由⎩⎨⎧+==m
x y x
y 42，0442=+-m y y ，……………6分
由韦达定理得m y y y y 4,42121==+，由0∆>，得1<m
由AC BH ⊥，得1212(8)(4)(4)0AC BH x x y y ⋅=-⋅-+-=， ……………………8分 即 1212121484320x x x x y y y ⋅--+⋅-+=，
即()0
3212816
21212
2
21=+++-⋅+⋅m y y y y y y ，得0162=+m m ，……………………10分
解得0=m 或16-=m ，当0=m 时，直线l 的方程是y x =，过点(4,4)A ，不合，舍去。

所以存在这样的直线l ，其方程是16y x =-．………………………………11分。