2021届高考数学艺体生文化课总复习点金课件：第一章 客观题 专题九 不等式

专题九 不等式
【考试内容】 均值不等式;一元二次不等式的解法;二元一次不 等式组;简单线性规划问题
【近7年新课标卷考点统计】
年份 试卷类型
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5 5
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5 5
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5 5 5
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5 5 5
2018
5 5 5
2019
5 5
2020 5
5
重要考点回顾
一、均值不等式
③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次 函数、三角函数的图象),直接比较大小.
④中介值法:先把要比较的代数式与“0”或“1”比,然后再 比较它们的大小.
三、不等式的解法
1.一元一次不等式:
(1)ax>b(a≠0):①若a>0,则x> b ;②若a<0,则x< b ;
a
a
(2)ax<b(a≠0):①若a>0,则x< b ;②若a<0,则x> b ;
7.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的 取值范围为 ( )
A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-2,1) D.(-1,2)
B 【解析】 由题意可得 : x☉(x 2) x(x 2) 2x (x 2) x2 x 2, 由x2 x 2 0得 2 x 1,故选B.
Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.只需在直线某一侧取 一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示 直线哪一侧的平面区域.特别地,当C≠0时,通常把原点作为此特殊 点.
一般地,我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当 我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区 域应包括边界直线,则把直线画成实线.
二次方程
ax2+bx+c=0 的根
二次不等式
ax2+bx+c>0 的解集
二次不等式
ax2+bx+c<0 的解集
Δ>0
有两相异实 {x|x<x1或 根x1,x2(x1<x2) x>x2}
{x|x1<x<x2}
有两相等
{x∈R|
Δ=0
x1
实根 x2
b 2a
x≠ b } 2a
∅
Δ<0
没有实根
R
∅
四、简单的线性规划 1.判断二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示
※8.x,y,z∈R*,x-2y+3z=0, y2 的最小值为
.
xz
3 【解析】 由x 2 y 3z 0得 : y 1 (x 3z)于是有 : 2
y2
1 (x 3z)2 4
1
x2
6xz 9z2
1 (x
9z
6),
5.不等式|x-1|<1的解集是
.
{x | 0 x 2} 【解析】 由1 x 1 1, 解得0 x 2, 解集为{x | 0 x 2}.
x2 4x 6, x 0
6.设函数 f (x)
,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
x 6, x 0
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)
A 【解析】 因为f (1) 1 4 6 3,所以不等式f (x) f (1)的
解集就是f (x) 3的解集.
于是有
x2
4x 6 x0
3或
x
x
6
0
3 解得
:
0
x
1或x
3或
3
x
0,
即不等式f (x) f (1)的解集是(3,1) (3, ),故选A.
a
a
2.一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同
解变形为二次项系数大于零;
注:要对Δ进行讨论.
3.绝对值不等式:若a>0,则|x|<a⇔-a<x<a;|x|>a⇔;x<-a或x>a.
4.二次不等式与二次函数及二次方程的关系(a>0):
判别式 Δ=b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c 的图象
B.(-∞,-2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C 【解析】 原不等式等价于(x 1)(x 2) 0, 解得 2 x 1, 故选C.
4.不等式x2-5x+6≤0的解集为
.
{x | 2 x 3} 【解析】 (x 2)(x 3) 0, 解得2 x 3, 解集为{x | 2 x 3}.
2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
①c c;
②ac<bc;
ab
其中所有的正确结论的序号是
③logb(a-c)>loga(b-c), ()
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
Байду номын сангаас
D 【解析】 特殊值法,取a 3,b 2, c 1,故选D.
3.不等式 x 1 0的解集是 ( )
x2
A.(1,+∞)
两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 若a,b>0,则a b ab (当且仅当a=b时取等号)
2
基本变形: ①a b 2 ab(a 0,b 0);( a b)2 ab; 2
②若a,b R,则a2 b2 2ab, a2 b2 ( a b )2
2
2
基本应用:求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小, 和定积大.
ab
注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法 尤其适用于不成立的命题.
(2)另外需要特别注意: ①若ab>0,则1 1 时,有a<b.即不等式两边同号时,不等式两边
ab 取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负 号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
2.求线性规划问题的步骤是: (1)根据实际问题的约束条件列出不等式;
(2)作出可行域,写出目标函数;
(3)确定目标函数最优位置,从而获得最优解.
考点训练
1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是 ( )
A.b-a>0
B.a3+b3<0 C.b+a>0
D.a2-b2<0
C 【解析】 特殊值法,取a 2,b 1,经验证,只有C成立, 故选C.
当ab=p(常数),当且仅当a=b时,a+b最小值为2 p; 当 a+b=S(常数),当且仅当a=b时,a·b最大值为 S 2 ;
4
二、常用的基本不等式 1.设a,b∈R,则a2≥0,(a-b)2≥0(当且仅当a=b时取等号)
2.|a|≥a(当且仅当a≥0时取等号);|a|≥-a(当且仅当a≤0时取等号) 3.a>b,ab>0⇒ 1 1 ;