冀教版数学八年级上册专训角平分线中常用作辅助线的方法.docx

专训角平分线中常用作辅助线的方法
名师点金：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形．
作一边的垂线段
1．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD ＝3 cm，求△ABC的面积．
(第1题)
作两边的垂线段
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.
(第2题)
延长作对称图形法
3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD，求证：BD＝2AE.
(第3题)
截取作对称图形法
4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，求证：BE＋CF>EF.
(第4题)
答案
1．解：连接OA ，过点O 作OE ⊥AB ，
OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.
∵BO 是∠ABC 的平分线，
且OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，
∴OE ＝OD ＝3 cm .
同理OF ＝OD ＝3 cm .
∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △ABO ＋S △ACO ＝12BC·OD ＋12AB·OE ＋12AC·OF ＝12(BC ＋AB ＋AC)·OD ＝12
×20×3＝30(cm 2)．
2．证明：如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，
∴∠PEC ＝∠PFD ＝90°.
∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE ＝PF.
∵∠AOB ＝90°，∠CPD ＝90°，
∴∠PCE ＋∠PDO ＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO ＋∠PDF ＝180°，
∴∠PCE ＝∠PDF.
(第2题)
在△PCE 和△PDF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠PCE ＝∠PDF ，
∠PEC ＝∠PFD ，
PE ＝PF ，
∴△PCE ≌△PDF(AAS )．
∴PC ＝PD.
3．证明：如图，延长AE 交BO 的延长线于点F.
∵AE ⊥BE ，
∴∠AEB ＝∠FEB ＝90°.
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABE＝∠FBE.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE.
∴AE＝FE.∴AF＝2AE.
∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，
∠OBD＋∠AFO＝90°.
∴∠OAF＝∠OBD.
又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，
∴△AOF≌△BOD(ASA)．
∴AF＝BD.∴BD＝2AE.
(第3题) 4．证明：在AD上截取DH＝BD，连接EH，FH.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝DH.
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE＝∠HDE.
又∵DE＝DE，
∴△BDE≌△HDE(SAS)．
∴BE＝HE.
同理△CDF≌△HDF(SAS)．
∴CF＝HF.
在△HEF中，∵HE＋HF>EF，
∴BE＋CF>EF.
初中数学试卷
桑水出品。