2021年高三元月双周练习(数学)

2021年高三元月双周练习（数学）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题卡相应位置）
1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0，则命题⌝p 是 ▲ ． 2．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∪B ＝ ▲ ． 3．设复数z 1＝1－2i ，z 2＝x ＋i (x ∈R )，若z 1·z 2为实数，则x ＝ ▲___． 4．一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机 投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是 ▲ ． 5．有一组样本数据8，x ，10，11，9，已知它们的平均数为10，则这 组数据的方差s 2＝ ▲ ．
6．在如图所示的流程图中，输出的结果是 ▲ ．
7．若x 21＋m ＋y 2
1－m
＝1表示双曲线，则m 的取值范围是 ▲ ．
8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n －1，则a 1＋a 3＝ ▲ ．
9．在△ABC 中，若sin(2-A)=sin(-B)，且
cosA=cos(-B)，则△ABC 的三个内角中最小角的值为_▲_.
10．已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 ▲ ． 11.在平面直角坐标系x0y 中，已知平面区域则平 面区域的面积为_▲__.
12．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则 (→AB ＋→DC )·(→AC ＋→
BD )＝ ▲ ．
13. 设二次函数的值域为，且，
则的最大值是 ▲ .
14．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的值域恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．如果函数是上的正函数，则实数的取值范围为 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)
已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(sin A ，1)， n ＝(1，－3cos A )，且m ⊥n ．
（1）求角A ； （2）若b ＋c ＝3a ，求sin(B ＋π
6)的值．
（第6题图）
A
B
C
D
（第12题图）
16．(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC，点D是BC的中点.
（1）求证：A1B//平面ADC1；
（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面平面BCC1B1.
17．(本小题满分15分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.
根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?
(2)若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中
能够持续有效治污,试求的最小值.(精确到0.1,参考数据:取1.4)
18．(本小题满分15分)
已知椭圆C：x2
a2+
y2
b2=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2，且经过点P(1，
3
2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M.
问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点? 并求两点间距离的最大值.
19．(本小题满分16分)
记公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2＋2，S3＝12＋32．
（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；
（2）记b n＝a n－2，若自然数n1，n2，…，n k，…满足1≤n1＜n2＜…＜n k＜…，并且，，…，，…
成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求n k（用k表示）；
（3）试问：在数列{a n}中是否存在三项a r，a s，a t(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分16分)
已知函数的图象在上连续不断，定义：
，
其中，表示函数在区间上的最小值，表示函数在区间上的最大值.若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“阶收缩函数”.
(1)若，试写出的表达式；
(2)已知函数试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出相应的；如果不是，请说明理由；（3）已知函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
高 三 数 学 练 习 (xx.1)
一．填空题：
1．__________ 2．__________3．___________4．__________5．__________ 6．__________ 7．__________8．___________9．__________10.__________ 11.___________ 12．__________13.___________14.___________ 15.(1) (2)
16. (1) (2)
17.(1) (2)
高三________班 学号____________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
附加题
1. 设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求
姓名_____________
…要………………
3．如图，正四棱柱中，设，，
4．设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件： ① ,； ②对任意的,都有．
（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求； （2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．
（第3题图）
高三数学练习参考答案 (xx.1)
1． x ∈R ，x 2－x ＋1≤0 2．[－1，4] 3．12 4．1
4 5．2 6．20 7． 8．7 9． 10．17π 11．1 12.1 13. 14.
15. 解：（1）因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0，即sin A －3cos A ＝0．所以sin A ＝3cos A ，得tan A ＝3．又因为0＜A ＜π，所以A ＝π3．
（2）（法1）因为b ＋c ＝3a ，由正弦定理得sin B ＋sin C ＝3sin A ＝3
2． 因为B ＋C ＝2π3，所以sin B ＋sin(2π3－B )＝32．化简得32sin B ＋32cos B ＝32， 从而32sin B ＋12cos B ＝32，即sin(B ＋π6)＝32．
（法2）由余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ①．又因为b ＋c ＝3a ②，
联立①②，消去a 得2b 2－5bc ＋2c 2＝0，即b ＝2c 或c ＝2b ．若b ＝2c ，则a ＝3c ，可得B ＝π
2；若c ＝2b ，则a ＝3b ，可得B ＝π6．所以sin(B ＋π6)＝32． 16.
17. (1)因为,所以 则当时,由,解得,所以此时;
当时,由,解得,所以此时.
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天. (2)当时, ==,因为,而,
所以,故当且仅当时,y 有最小值为令,解得,所以的最小值为 18. (1)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3
2
)，
∴⎩
⎨⎧a 2-b 2 a =1
2
1 a
2 +9 4b 2
=1，即 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2=01 a 2 +9 4b 2 =1，解得 ⎩⎨⎧a 2=4b 2=3，
∴椭圆C 的方程为x 2 4 +y 2
3
=1.
(2)易求得F (1，0)。

设M (x 0，y 0)，则 x 02 4 + y 0
2 3
=1，
圆M 的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=(1-x 0)2+y 02，
令x =0，化简得y 2-2y 0y +2x 0-1=0，⊿=4y 02-4(2x 0-1)2＞0……①. 将
y 02
=3(1- x 0
2 4
)代入①，得
3x 02+8x 0-16＜0，解出 -4＜x 0＜4
3
.
(3)设D (0，y 1)，E (0，y 2)，其中y 1＜y 2.由(2)，得 DE = y 2- y 1=4y 02-4(2x 0-1) =-3x 02-8x 0+16 =-3(x 0+4 3
)2+64 3
，
当x 0=-4 3
时，DE 的最大值为83
2
.
19. （1）因为a 1＝2＋2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋32，所以d ＝2．
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2， S n ＝n (a 1＋a n )
2＝n 2＋(2＋1)n ． （2）因为b n ＝a n －2＝2n ，所以＝2n k ．又因为数列{}的首项＝， 公比，所以．所以2n k ，即n k ．
（3）假设存在三项a r ，a s ，a t 成等比数列，则， 即有，整理得．
若，则，因为r ，s ，t ∈N *，所以是有理数， 这与为无理数矛盾；
若，则，从而可得r ＝s ＝t ，这与r ＜s ＜t 矛盾． 综上可知，不存在满足题意的三项a r ，a s ，a t ． 20. （1）， （2）∵，，
∴， 当时，∴ 当时，∴∴ 当时，∴∴
综上，存在使得是上的4阶收缩函数.
（第3题图）
(3)∵,
∴递增，递减.
① 当时，在上递增， ∴
∵是上的2阶收缩函数，
∴对恒成立，即对恒成立，即或.∴ 存在，使得成立.存在，使得 成立.即或，∴只需 ∴综上：
②当时，在上递增，在上递减， ∴
∴当时，不成立.
③当时, 在上递增，在上递减, ∴
∴当时，也不成立. 综上：
附加题答案
1. 由题意得 化简得所以
2. 设点为以为直径的圆上任意一点，在中，，故所求圆的极坐标方程为．
3. 如图，以点为原点，分别为轴建立 空间直角坐标系，则，，， 设，其中，因为平面，所以， 即,化简得，，
故判别式，且，解得2． 4. (1)因为对任意的，都有，
所以，；
(2)因为存在，使得，所以或，
设所有这样的为， 不妨设，则（否则）； 同理，若，则，
这说明的值由的值（2或2）确定， 其
余
的
对
相
邻
的
数
每
对
的
和
均
为
0,
∴
11222(2+C 2C 2C )22n n n n n
n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯．
32905 8089 肉35500
8AAC 説024422 5F66 彦37201 9151 酑40858 9F9A 龚eK35946 8C6A 豪 35138 8942 襂T30673 77D1 矑36308 8DD4 跔。