2022-2023学年安徽省淮北市高二上册12月月考数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年安徽省淮北市高二上册12月月考数学质量检测试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列{}n a 中01a =，则111a a +=（）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知直线l 的方向向量()2,3,1a =-
，平面α的一个法向量为()4,0,8e =r ，则直线l 与平面α的位置关
系是（）A.平行
B.垂直
C.在平面内
D.平行或在平面内
3.若直线1:310l ax y ++=与()2:2110l x a y +++=互相平行，则a 的值是（）
A.3
- B.2
C.3-或2
D.3或2
-4.已知过点()2,1P 有且仅有一条直线与圆：222
2210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =（
）
A.1-
B.2
- C.1或2
D.1-或-2
5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
的离心率为2
，则C 的渐近线方程为（
）
A.14y x =±
B.13
y x =±
C.12
y x =±
D.y x
=±6.下列说法正确的是（
）
A.经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B.方程()20R x my m +-=∈不能表示平行y 轴的直线
C.经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()
1tan 1y x θ-=-D.经过两点()111,P x y ，()()22212,P x y x x ≠的直线方程为
()21
1121
y y y y x x x x --=--7.在三棱锥S ABC -中，SA ､SB ､SC 两两垂直且2SA SB SC ===，点M 为S ABC -的外接球上任意一点，则MA MB ⋅
的最大值为（）
A.B.C.D.4
2
2
8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1500,0a S >=.设(
)*
12n n n n b a a a n N
++=∈，则当数列{}n
b 的过
n 顶和n T 取得最大值时，n 的值为（
）
A.23
B.25
C.23或24
D.23或25
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，设直线l ，m ，n 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（
）
A.B.C.D.23k k >21k k <23k k <21
k k >10.在如图所示的棱长为的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（
）
A.若点P 总满足PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线
B.若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C.若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D.若点P 到平面11BAA B 与到直线CD 的距离相等，则动点P 的轨迹抛物线.11.已知数列{}n a 满足110a =，52a =，且(
)*
2120n n n a a a n N ++-+=∈，则下列结论正确的是（
）
A.122n a n =-
B.n a 的最小值为0
C.2
1231160
n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=-+D.当且仅当5n =时，123n a a a a +++⋅⋅⋅+取最大值30
12.已知F 为椭圆C ：22
1168
x y +=的左焦点，直线l ：=y kx ()0k ≠与椭圆C 交于A ，B 两点，AE x
⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（
）
A.B.8AF BF +=14AF BF
+的最小值为2C.直线BE 的斜率为
1
2
k D.PAB ∠为钝角三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列{}n a 的前n 项和2
21n S n n =-+，则其通项公式n a =__________.
14.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当[]1,2022a ∈时，符合条件的最大的a 为____________.
15.两条异面直线,a b 所成角为60 ，在直线上,a b 分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥且AA b '⊥.已知2,3,5A E AF EF ='==.则线段AA '=__________.
16.设1F ，2F 分别为椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()22
222222
10x y a b a b -=>>的公共
焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率13,43e ⎡∈⎢⎣⎦
，则双曲线2
C 的离心率2e 的取值范围为________________________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知95S a =-.（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.
18.已知直线l 经过两条直线2x ﹣y ﹣3=0和4x ﹣3y ﹣5=0的交点，且与直线x +y ﹣2=0垂直.（1）求直线l 的方程；
（2）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为，求圆C 的标准方程.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，,AB CD AD AB ⊥∥，
1
,2
AB AD PD CD PD ===⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 上的一点.
（1）若3PC PM =，求证：PA ∥平面MBD ；
（2）若M 是PC 的中点，求二面角M BD C --的余弦值.
20.已知抛物线22(0)y px p =>.过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ､B.（1）若||2AB p ≤，求a 的取值范围；
（2）若线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，试求Rt MNQ △的面积.
21.如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面,ABC PAC 为正三角形，E ，F 分别是,PC PB 上的动点.
（1）求证：BC AE ⊥；
（2）若E ，F 分别是,PC PB 的中点且异面直线
AF 与BC 所成角的正切值为
3
2
，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围.22.已知斜率为k 的直线与椭圆22
143
x y C +
=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，.（1）证明：1
2
k <-
；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=
.证明：FA ，FP ，FB 成等差数
列，并求该数列的公差.
数学试题答案
1.B
2.D
3.A2.D 3.A
4.A
5.C
6.D
7.D
8.D
9.BCD
10.ABD
11.AB
12.AC
13.2,141,2,n n n n N
*
=⎧⎨-≥∈⎩
14..
16.7⎡⎢⎣【详解】由椭圆及双曲线定义得1212MF MF a +=，
1221122MF MF a MF a a -=⇒=+，212MF a a =-，因为1290F MF ∠=︒，所以()()2
2
212124a a a a c ++-=，222
122a a c +=，
2212
11
2e e +=，
因为13,43e ⎡∈⎢⎣⎦，2
198,169e ⎡⎤∈⎢⎣⎦，211916,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222111272,98e e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦
，则27
2e ⎡∈⎢⎣⎦，
因为22a b >，
221b a <
，由22c e a ==<
，所以21e <<
，因此27e ⎡∈⎢⎣.17.（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
根据题意有111
989(4)2
24a d a d a d ⨯⎧
+
=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+；（2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，
因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-，由n n S a ≥得11(1)
(1)2
n n na d a n d -+
≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-，因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤，
所以n 的取值范围是：110()n n *≤≤∈N 18.（1）2302
43501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨
⎨--==⎩⎩
.
直线20x y +-=的斜率为1-，所以直线的斜率为，所以直线的方程为()112,1y x y x -=⨯-=-.
（2）设圆的标准方程为()2
22x a y r -+=，
则()()
2222
2
13,2122a r a r a r ⎧-=⎪⎪⇒==⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎩，所以圆的标准方程为()2234x y -+=.
19.（1）证明：连接AC 交BD 于N ，连接MN ，因为AB ∥CD 所以ANB ∽CND △，所以
1
2
AN AB NC DC ==，因为
12
PM MC =，所以
1
2AN PM NC MC ==，所以PA ∥MN ，因为PA ⊄平面,MBD MN ⊂平面MBD ，所以PA ∥平面MBD
（2）过M 作ME DC ⊥于E ，因为PD
⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ，
因为平面PDC 平面ABCD CD =，所以ME ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以ME BD
⊥过E 作EF BD ⊥于F ，连接MF ，因为ME EF E ⋂=，所以BD ⊥平面MEF ，因为MF ⊂平面MEF ，所以,MF BD ⊥所以MFE ∠是二面角M BD C --的平面角，不妨设2AB =，则1
22
AB AD PD CD ===
=，因为,AB CD AD AB ⊥∥，所以22,22,4BD BC DC ===，所以222BD BC DC +=，所以BD BC ⊥，所以11
1,222ME PD EF BC ====，所以3MF =
，
所以6
cos 3
EF MFE MF ∠=
=
20.（1）直线的方程为y x a =-，
将y x a =-代入22(0)y px p =>，得()22
20x a p x a -++=.
设()()1122,,,A x y B x y ，
则()()2212212
440,2,.a p a x x a p x x a ⎧+->⎪+=+⎨⎪=⎩所以()()2
22112482AB a p a p p a =++-+⎡⎤⎣⎦
.
因为02AB p <≤，
所以20p a +>()822p p a p +≤，解得24
p p a -<≤-.故a 的取值范围是2
4p
p ⎛⎤-
- ⎥⎝⎦，.
（2）设()33,Q x y ，由中点坐标公式，得12
32
x x x a p +=
=+，()()1232
x a x a y p -+-=
=，故(),Q a p p +.所以()()
222
202QM a p a p p =
+-+-=.
因为线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，交x 轴于点N ，且直线的倾斜角为45︒，所以MNQ △是等腰直角三角形，所以2
212
MNQ S QM p =
=△.21.（1）证明：因为C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以BC AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面,ABC AC BC =⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面,PAC AE ⊂平面PAC .所以BC AE
⊥（2）由E ，F 分别是,PC PB 的中点，连结,AE EF ，所以BC EF ∥，由（1）知BC AE ⊥，所以EF AE ⊥，所以在Rt AFE 中，AFE ∠就是异面直线AF 与BC 所成的角.
因为异面直线
AF 与BC 所成角的正切值为
32
，
所以3
tan 2∠=
AFE
，即2
AE EF =又EF ⊂平面,⊄AEF BC 平面AEF ，
所以//BC 平面AEF ，又BC ⊂平面ABC ，平面⋂EFA 平面=ABC l ，所以BC l ∥，所以在平面ABC 中，过点A 作BC 的平行线即为直线l
.
以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC =.
因为PAC △
为正三角形所以AE =2EF =由已知E ，F 分别是,PC PB 的中点，所以24
BC EF ==
则(2,0,0),(0,4,0),A B P ，所以1313,0,,,2,2222⎛⎫⎛ ⎪ ⎝⎭⎝⎭E F ，
所以3,0,,(0,2,0)22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
E A
F E ，
因为BC l ∥，所以可设(2,,0)Q t ，平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =
，
则302220x AE m EF m y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩
，取z =
，得m =
，
又(1,,= PQ t
，则1|cos ,|0,2||||⋅⎛⎤〈〉== ⎥⋅⎝⎦
PQ m PQ m PQ m .设直线PQ 与平面AEF 所成角为θ
，则1sin 0,2⎛⎤
=
⎥⎝⎦
θ.所以直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为0,6π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.22.（1）设()()
1122,,,A x y B x y ，
则222211221,14343
x y x y +=+=.
两式相减，并由
1212y y k x x -=-得1212
043
x x y y k +++⋅=，
由题设知
12121,22x x y y m ++==，于是34k m
=-.①由题设得3
02m <<
，故12
k <-.（2）由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则
()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.
由（1）及题设得()31231,
x x x =-+=()31220y y y m =-+=-<.
又点P 在C 上，所以3
4
m =
，从而31,2P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，32FP = .
于是
1
22x FA =
==-
.同理222
x FB =- ，
所以()121
432
FA FB x x +=-+= .
故2FP FA FB =+ ，即FA ，FP ，FB
成等差数列.
设该数列的公差为d ，则
12
1
22d FB FA x x =-=-
=②
将3
4
m =
代入①得1k =-.所以l 的方程为74
y x =-+
，
代入C 的方程，并整理得2
171404
x x -+=.故121212,28x x x x +==
，代入②解得32128
d =.所以该数列的公差为32128或
321
28-
.。