2011届赣马高级中学高三数学高频考点热身训练附加题2(参数方程与极坐标)

2011届赣马高级中学高三数学高频考点热身训练附加题2
（参数方程与极坐标)
1.（1）点M
的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为 2(2,)3π或填2(2,2),3
k k Z ππ+∈ （2）在极坐标系中，求点5(4,
)12M π关于直线3π
θ=的对称点的坐标 . (4,)4π （3）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π
4cos (00)2ρθρθ=<≥≤，，则曲线1C 与2C 交点的
极坐标为 ．解：cos 3(0,0)4cos 2ρθπ
ρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩
解得6ρπ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩
即两曲线的交点为)6π。

（4）在极坐标系中，定点A(1,2
π
),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.
解: A 点坐标为(0,1),B 在直线x+y=0上, AB 最短,则B 为)21,21(-,化为极坐标为)4
3,22(π
.
（5）在极坐标系中，曲线2sin ρθ= 与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为______．答案
．3)4
π． 由极坐标方程与普通方程的互化式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩知，普通方程分别为22
2,1x y y x +==-．解得1,1.
x y =-⎧⎨
=⎩由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
得点（-1，1
）的极坐标为3)4π
． （6）在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,6
5π
-)，则△OAB 的面积是 .
解:如图所示,在△OAB 中，55||4,||5,23
66
OA OB AOB π
ππ
π==∠=-
-
=
1sin 52AOB S OA OB AOB ∆⇒=∠= 2．（1）过双曲线
1542
2
=-y x 的右焦点，引倾斜角为3π
的直线，交双曲线于A 、B 两点，求AB . 解：双曲线15422=-y x 中，3,5,2===c b a ，所以235,23
c b e p a c ====，取双曲线的右焦点为极点，x 轴的正方向为极轴的正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为1cos ep
e ρθ
=-，代入数据并化简，得
523cos ρθ=
-，设1(,)3A π
ρ，2(,)3B πρπ+，于是125580723cos 23cos()33
AB ρρπππ=+=+=
--+ （2）已知椭圆的长轴长为6，焦距2421=F F ,过椭圆左焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M 、N ，设
)0(12παα<≤=∠M F F ,当α为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？
解析：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系，
这里
:a=3,c=21,a b p c e c ==
-==
椭圆的极坐标方程为：1cos ep e ρθ=-（p 的意义是焦点到相应准线的距离）。

设M 点的极坐标为1(,)ρα，N 点的极坐标为2(,)ραπ+，
1226
,98cos MN ρρα
=+=
=
-
26298cos MN α=
=-由
得，2
3cos ,cos 4αα==50.66
ππαπαα≤<==又，所以或
（3）已知椭圆方程θρcos 3516
-=
，过左焦点引弦AB ，已知8=AB ，求AOB ∆的面积（其中O 为极点）
解：由16161353cos 51cos 5
ρθθ==
--可得3
16
,53==p e ， 所以3==OF c 。

设),(1θρA ，),(2θπρ+B ，则121616
853cos 53cos()AB ρρθπθ=+=
+=--+，,9
5cos 2=θ从而35co s ±=θ，依题意取正号，所以
3
2
sin =
θ，又AOB ∆的面积S 等于AOF ∆的面积1S 与BOF ∆面积2S 之和，θsin 211OF AF S =，
θπθsin 21)sin(212OF BF OF BF S =+=，8sin 2
1
sin )(21==+=θθAB OF BF AF OF S 。

（4）过椭圆
19
252
2=+y x 的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A 、B ，若FB FA 2=,求直线l 的斜率。

解：以椭圆的左焦点为极点，以x 轴的正方向为极轴的正方向，建立极坐标系，椭圆的4,3,5===c b a ，所以49,54==
p e ，故椭圆的极坐标方程为θ
ρcos 459
-=
，设),(1θρA ，),(2θπρ+B ，依题意得212ρρ=，即
)cos(4518cos 459θπθ+-=-，化简得12
5
cos =θ，所以直线l
的斜率为tan θ=
（5）在一个抛物线px y 22=内，有过焦点且互相垂直的两条弦AB 与CD,求AB CD +的最小值和11
AB CD
+
解：以抛物线的焦点为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为θ
ρcos 1-=p。

设),(1θρA ，
则),(2πθρ+B ,3(,)2C π
ρθ+
,43(,)2
D πρθ+
,
12221cos 1cos()sin p p p
AB ρρθθπθ
=+=
+=
--+，
θπθπ
θρρ243cos 2)2
3cos(1)
2
cos(1p p p CD =
+
-+
+
-=
+=，所以θ
θθ2sin 8cos 2sin 2222p
p p CD AB =+=+，所以当4
34π
θπ
θ＝或=时，CD AB +有最小值p 8；p p p CD AB 212cos 2sin 1122=
+=+θθ。

3.（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 . 22
2x y y +=
（2）1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，，把1O 和2O 的极坐标方程化为直
角坐标方程
解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．
即2240x y x +-=为
1O 的直角坐标方程．同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．
（3）已知椭圆C 极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ=+，则曲线C 的普通方程 2
2
143
x y +=；
（4）已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
4π
则极点到该直线的距离是
（5）
4.（1）已知抛物线24y x =，以焦点F 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线极坐标方程。

解：设抛物线上任意一点(,)M ρθ，过点M 向X 轴作垂线MN ， Rt MNF ∆中，
cos FN ρθ=。

根据抛物线定义得，2MH FN =+， 2cos ρρθ=+，即2
1c o s ρθ=-。

（2）极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标 (2,)3
C π
，半径R =C 的极坐标
方程 .
解析一：设(,)P ρθ
是圆上的任意一点，则PC R ==由余弦定理，得22222cos()53
π
ρρθ+-⨯⨯-=
化简，得24cos()103
π
ρρθ--+=。

解析二：将圆心C (2，3π
)化成直角坐标为(1
，
半径R =故圆C
的方程为22(1)(5x y -+=，
得22(cos 1)(sin 5ρθρθ-+=化简，得24cos()103
π
ρρθ--+=。

（3）双曲线
116
92
2=-y x 上任一点A ，连接双曲线的右焦点F ，以线段FA 为一边作正三角形FAB(按逆时针顺序)，求顶点B 的轨迹方程。

解：．双曲线116922=-y x 中，5,4,3===c b a 故5
16,352===c b p e 取双曲线的右焦点为极点，x 轴的正方向为极轴的正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为θ
ρcos 1e ep -=，代入数据并化简得16
35cos ρθ=-，
设11(,),(,)B A ρθρθ,则11cos 5316θρ-=，且1
13
ρρπθθ=⎧⎪
⎨=+⎪⎩
，所以11
3
ρρπθθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，
代入11
1635cos ρθ=
-，得16
35cos()
3
ρπθ=--。

（4）从极点作圆2cos a ρθ=的弦,求各弦中点的轨迹方程 .
解:设所求曲线上的动点M 的极坐标为(,)ρθ,圆2cos a ρθ=上的动点的极坐标为11(,)ρθ由题设可知,11
2θθ
ρρ=⎧⎨=⎩,将其代入圆的方程得:cos ()2
2
a π
π
ρθθ=-
≤≤
.
（5）已知圆C
的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ
⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆心C 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程。

解：
由2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得，22(4x y +=
圆心(0,1)C P ，6PCO π∴∠=。

因为半径CP 垂直切线，所以切线的倾斜角为
3
π
，
切线方程是1y +。

设(,)M ρ
θ是过P 点的圆C 的切线上的任一点， 右图在Rt PMC ∆中，切线的极坐标方程
5cos()26
π
ρθ-=．提醒：本题不能直接通过坐标变换公式，因为极点和坐标原点
不重合。

（6）自极点O 作射线与直线cos 4ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12OM OP ∙=，求点P 的轨迹的极坐标方程。

法一：将直线方程cos 4ρθ=化为4x =， cos012OM OP OM OP ∙=∙=，设动点P (,)ρθ，M 0(,)ρθ，则
012OM OP ρρ∙==，又 0
4
cos θρ=
，得3cos ρθ=；
法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，将直线方程cos 4ρθ=化为4x =， 设P (,)x y ，M 0(4,)y ，00(,)(4,)12,412OM OP x y y x yy ∙=∙=+=，又MPO 三点共线，04xy y =，2230x y x +-=，转化为极坐标方程
3cos ρθ=。

5.（1）参数方程为1(2
x t t t y ⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩为参数)表示的曲线是 ．两条射线
提示：2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线 （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨
=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2
x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线
l 的距离为______.（0，2）；.
（3）将参数方程2
2
2sin (sin x y θ
θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
为参数)化为普通方程并指出是什么样图形？ 解：2(23)y x x =-≤≤ 将2sin y θ=代入22sin
x
θ=+即可，但是20sin 1θ≤≤；
（4）已知曲线C
的参数方程为13()
x y t t ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程 。

解：因为212,x t t =+-所以212,3
y
x t t +=+=故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.
（5）已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）。

化C 1，C 2的方程为
普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解：22
2
2
12:(4)(3)1,:
1.649
x y C x y C ++-=+=1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（6）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3
π
θρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建
立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,
1cos 2αα
=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角
坐标.
解:因为直线l 的极坐标方程为()3
π
θρ=
∈R 所以直线l
的普通方程为y ，
又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα
=⎧⎨=+⎩x y （α为参数）所以曲线C 的直角坐标方程为[]()2
12,22y x x =∈-，联立解方程组
得0,0,x y =⎧⎨=⎩
或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，根据x
的范围应舍去6
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0)．
6.（1）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角4
π
α=
， 写出直线l 的参数方程
解：直线的参数方程为1cos 41sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即11x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ （2）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆42
2
=+y x 相
交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，
即1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2）
把直线1112
x y t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，
得2221(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-=，122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．
（3）已知椭圆的长轴长为6，焦距2421=F F ,过椭圆左焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M 、N ，设21(0)F F M ααπ∠=≤<,当α为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？
解：设椭圆的方程为1922=+y x ，其左焦点为)0,22(-，直线MN
的参数方程为：cos (sin x t l y t αα⎧=-⎪⎨
=⎪⎩
为参数）， 得：01cos 24)sin 81(22=-++ααt t ，设M 、N 对应的参数分别为21t t 、，
则1226218sin MN t t α=-==+2
115sin ,sin (,0,4266
ππαααπα∴==±≤<∴=或
（4）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为()4R π
θρ=
∈，
它与曲线12cos 22sin x y α
α=+⎧⎨=+⎩
（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______. [解析] 直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=，
∴||AB ==（5）直线122(112
x t t y t ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩为参数)被圆224x y +=截得的弦长为____
解：直线为10x y +-
=d
（6）在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩（t 为参数）。

在极坐标系（与直角坐标系
xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的方程为ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P
的坐标为，
求|PA|+|PB|。

【解析】
（Ⅰ）由ρθ=
得220,x y +-=
即22( 5.x y += （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得22(3))5+=
，即240,t -+=由于
24420∆=-⨯=>，故可设12,t t
是上述方程的两实根，所以12
124
t t t t ⎧+=⎪
⎨=⎪⎩
l P 又直线过点故由上式及t 的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t
=
（7
）已知过点P 的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A B 两点，则AB
设9cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩倾斜角为α，则12AB t t =-或AB=12||||
t t +，129,cos t t α
=-=，则9()cos l αα
=-，29sin ()cos l ααα
'=- =令()0
l α'=
，3tan α=
=所以，t a n ,150
αα
==，min 9()(150)83cos150l l α==-
=注意：本题可以取倾斜角的补角为α
7.（1）已知A ，B 分别是椭圆19
812
2
=+y
x 的右顶点和上定点，动点C 在该椭圆上运动。

求ABC ∆的重心G 轨迹的普通方程。

解：椭圆的参数方程为⎩
⎨
⎧==θθ
sin 3cos 9y x （θ为参数），可设点C 坐标为
9cos ,3sin )θθ（，),(y x G 由椭圆方程知)0,9(A ，)3,0(B 。

由重心坐标公式知909cos 3
033sin 3x y θθ
++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
即3(1cos )1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩消去θ，得22(3)(1)19x y -+-=
（2）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆
2
213
x
y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 解： 因椭圆2
213
x y +=的参数方程为 (sin x y φ
φφ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数） 故
可设动点P 的坐标为,sin φφ）
，其中02φπ
≤<.因此1sin sin )2sin()23
S x y π
φφφφφ=++=+=+ 所以，当6
π
φ=
时，S 取最大值2
（3）已知点C 为圆22(1)4x y -+=上的任意一点，(1,0)B -，直线l ：x ＋y －4＝0，求BC 在直线l 上的投影EF 长的最大值．
解：由条件，易得BE ：x －y ＋1＝0．BC 在直线l 上的投影EF 就是点C 到直线BE 的距离，点
C (2cos 1,2cos )θθ+，
d =
2≤（4）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，
为参数x y ααα=⎧⎨=⎩
．以直角坐标系原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()
πcos 4
ρθ-=点P 为曲线C 上的动
点，求点
P 到直线l 距离的最大值．
【解】()
πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l 的直角坐标方程为4x y +=．
设点P 的坐标为()2cos sin ，
αα，得P 到直线l 的距离d =
，
即
d
，其中cos sin ϕϕ=
=
．当(
)sin 1αϕ+
=-时，max d =
（5）已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0
x y a ++
≥恒成立，求实数a 的取值范围。

[1].（2）cos sin 10x y a a
θθ++=+++≥ [1,)
+∞.
如：在椭圆22
11612x y +=上找一点，使这一点到直线212
0x y --=的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为
4cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩
，d
=3)33πθθθ-+- 当cos()13πθ+=，
即53πθ=时，min d (2,3)-. （6）
（10）已知椭圆C 的极坐标方程为22212
3cos 4sin ρθθ
=
+
，点1F ，2F
为其左，右焦点，直线l 的参数方程为2,(),x t t y ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩R 为参数,．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)求点1F ，2F 到直线l 的距离之和.
解: (Ⅰ) 直线l 普通方程为2y x =-；曲线C 的普通方程为22143
x y +=．
(Ⅱ) ∵1(1,0)F -,2(1,0)
F ，∴点1F 到直线l
的距离1d =
=
点2F 到直线l
的距离2
d =
=
∴12d d +=
（11）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,5
4x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩
（t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值. 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=
又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3
y x =-- 令0y =,得2x =,即M 点的坐标为
(2,0). 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =
，则MC
1
MN MC r +=≤
过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t
t y t t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩
为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长． 解：
直线的参数方程为3,()12
x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，……………………………………………3分
曲线1,()1x t t
t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
为参数可以化为224x y -=．…………………………………………5分
将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．
设A 、B 对应的参数分别为12s s ，
，∴121210s s s s +==．………………………8分
AB 12s s =-
６．
已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为)(4
R ∈=
ρπ
θ，曲线1C ，2C 相交于
A ，
B 两点.
（Ⅰ）把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长度. 解：（Ⅰ）曲线2C ： 4
π
θ=
（R ∈ρ）表示直线x y =…………………………2分
曲线1C ：θρcos 6= ,即θρρcos 62=
所以x y x 62
2
=+ 即9)3(2
2
=+-y x ………………………………… 6分
（Ⅱ） 圆心（3，0）到直线的距离 2
2
3=
d ，3=r
所以弦长AB =23
在椭圆22
11612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值.
解：设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
，d =
3)33
π
θθθ=
-=+- 当cos()13
π
θ+
=，即53πθ=
时，min 5
d =，此时所求点为(2,3)-. 在椭圆22
11612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

解：设椭圆的参数方程为4cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
，d =
3)33
θ
θθθ=
-=+- 当cos()13
π
θ+
=
时，min 5
d =
，此时所求点为(2,3)-。

设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线
l
的点的个数为 A 、1 B 、2
C 、3
D 、4
【解析】7.B 化曲线C 的参数方程为普通方程：2
2
(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320
x y -+=
的距离3
d==，直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要
求，又3
1010
>-l的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
7.设直线的参数方程为
1
1
x t
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
，求直线被圆224
x y
+=截得的弦长.
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得22
(1)(1)4
t t
++-=，得21
t=，∴1
t=或1
t=-，
分别代入直线方程，得12
12
02
,
20
x x
y y
==
⎧⎧
⎨⎨
==
⎩⎩
，∴直线与圆的交点为(0,2)
A和(2,0)
B，
||
AB=
8. 设直线:38720
l x y
++=，椭圆
22
:1
10025
x y
C+=.求椭圆C到直线l的最小距离（即椭圆
上任意一点M到直线l的距离的最小值
解：把椭圆方程化为参数方程
10cos
(
5sin
x
y
θ
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
为参数)，则椭圆上任意一点(,)
M x y为
(10cos,5cos)
θθ，它到直线l
的距离为d==，
∴
73
d≥=，∴椭圆C到直线l
的最小距离为
73
.
过抛物线28
y x
=的焦点F作倾斜角为
4
π
的直线，交抛物线于,A B两点，求线段AB的长度.
解：对此抛物线有1,4
e p
==，所以抛物线的极坐标方程为
4
1cos
ρ
θ
=
-
，
,A B两点的极坐标分别为
4
π
和
5
4
π
，
4
||4(2
1cos
4
FA
π
==+
-
，
4
||4(2
5
1cos
4
FB
π
==
-
，∴||||||16
AB FA FB
=+=.
∴线段AB的长度为16.
过抛物线24
y x
=的焦点F作倾斜角为θ的直线，交抛物线于,A B两点，求
11
||||
FA FB
+
的值.
解：抛物线24
y x
=中，2
p=.
设平面上伸缩变换的坐标表达式为
3
2
X x
Y y
=
⎧
⎨
=
⎩
，求圆2216
x y
+=在此伸缩变换下的方程，
并指出变换后的方程表示什么曲线.
解：由
3
2
X x
Y y
=
⎧
⎨
=
⎩
可得
1
3
1
2
x X
y Y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，代入圆的方程得
22
16
94
X Y
+=，即
22
1
14464
X Y
+=，
它表示中心在原点、焦点在x轴上的椭圆.
已知曲线C的极坐标方程为4sin
ρθ
=，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直
线l
的参数方程为
1
2
1
2
x t
y t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度.
解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为2240
x y y
+-=，
即22
(2)4
x y
+-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分
直线方程l
的普通方程为1
y+，………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离
2
1
=
d，…………………………………………………8分
故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)2
1
(2222
=-．
求圆心为36C π⎛⎫
⎪⎝⎭
，，半径为3的圆的极坐标方程.
解：设圆上任一点为()P ρθ，，则OP ρ=，2366
POA OA θπ
∠=-=⨯=，，
Rt cos OAP OP OA POA ∆=∠中，，6cos 6ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而点20,3O ⎛⎫π ⎪⎝⎭，0,6A π⎛⎫
⎪⎝⎭符合，
故所求圆的极坐标方程为6cos 6ρθπ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
已知曲线C 的参数方程为2
sin ,[0,2)cos x y ααπα
=⎧∈⎨=⎩，曲线D
的极坐标方程为sin()4π
ρθ+= （1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．
解：（1）由2
sin ,[0,2)cos x y ααπα
=⎧∈⎨=⎩得 2
1,[1,1]x y x +=∈- （2
）由sin()4π
ρθ+=D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=
解得1[1,1]2
x =-,故曲线C 与曲线D 无公共点
过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t
t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．
解：直线的参数方程为3,()12
x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，………………………………………………3分
曲线1,()1x t t t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
为参数可以化为224x y -=．……………………………………………5分
将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．
设A 、B 对应的参数分别为12s s ，
，∴121210s s s s +==．…………………………8分
AB 12s s =-
10分
说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用． 已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程;
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即1112x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．………………5分
（2
）把直线1112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，
得2221
(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．……………………10分
设矩阵M 对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵1
M
-以及圆221x y +=在1
M
-的作用下的新曲线的方程．
解： 1102
103M -⎡⎤
⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，……………………………………………………… 5分 圆2
2
1x y +=在1
M -的作用下的新曲线的方程为1942
2=+y x
已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1
：cos()4ρθπ
+=曲线C 2：2
4,
4x t y t ⎧=⎨=⎩
（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．
13解：曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =，…4分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ， 得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．
016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x
．…………8分
∴0OA OB ⋅=，∴OB OA ⊥．………………………10分 。

训练题：
1．求直线415
315x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
（为参数t
）被曲线)4πρθ=-所截的弦长.
解：将方程415
315x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
,)4πρθ=+分别化为普通方程：34
10x y ++=，
2
2
0,x y x y +-+=11圆心C （，－），22半径
为
2
，圆心到直线的距离110d ＝，弦长
为7
.5
= １１．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
，
（1）写出直线l 的参数方程;
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩． （2
）把直线1112
x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，
得2221
(1)(1)4,1)2022
t t t +
++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2． ２．已知直线l 的参数方程：12x t y t
=⎧
⎨
=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4
sin(22π
θρ+
=．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；
)4
(sin 22π
θρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，
两边同乘以ρ得)cos sin (22
θρθρρ+=， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：
2)1()1(22=-+-x x
（2）圆心C 到直线l 的距离25
5
212|112|2
2<=
++-=
d ， 所以直线l 和⊙C 相交． ４． ５．
７．
９．已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .
sin 2cos 1ρθρθ+= 化为直角坐标方程是2x+y-1=0; 圆2cos ρθ=的圆心（１，０）到直线2x+y-1=0
１０ 在平面直角坐标系中，以点(1,1)
Ox 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为
．)4
π
ρθ=-
解：圆的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=，化为 极坐标方程为22(cos 1)(sin 1)2ρθρθ-+-=
，
[)]04
πρρθ--=
，∵曲线)04
πρθ--=也过极点，
∴[)]04π
ρρθ--
=
与)04
π
ρθ--=等价，
∴对应的极坐标方程为)4
π
ρθ=-
.
１１．在极坐标系中，P 是曲线θρsin 12=上的动点，Q 是曲线)6
cos(12π
θρ-=上的动点，试求PQ 的
最大值
解：∵θρsin 12= ∴θρρsin 122=∴01222=-+y y x 即x 2
+(y －6)2
=36
又∵)6
cos(12π
θρ-
= ∴)6
sin
sin 6
cos
(cos 122
π
θπ
θρρ+=
∴x 2+y 2
－63x －6y=0 ∴36)3()33(22=-+-y x ∴PQ max =183)33(662
2
=+++
１2．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．
(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同长度单位．
(I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42
2=+．
即042
2
=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程．同理042
2
=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程．
(II)解法一:由⎩⎨⎧=++=-+0
4042
222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0011y x ，⎩⎨⎧-==22
22y x ，即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．
解法二: 由⎩⎨⎧=++=-+0
40
42
222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． １3.已知直线l 的参数方程：12x t y t
=⎧
⎨
=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4
sin(22π
θρ+
=．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；
)4
(sin 22π
θρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，
两边同乘以ρ得)cos sin (22
θρθρρ+=，
消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：2)1()1(2
2
=-+-x x （2）圆心C 到直线l 的距离25
5
212|112|2
2<=
++-=
d ，所以直线l 和⊙C 相交． 5、（1） （2） （3） （4）
（5） （6） 6、（1） （2） （3）
（4） （5） （6） 7、（1） （2） （3） （4） （5） （6） 9、（1） （2）
（3） （4） （5） （6） 10、（1） （2） （3） （4） （5）
已知直线l 的参数方程：12x t y t
=⎧
⎨
=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：
)4
sin(22π
θρ+=．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 答案 6. （选做题）（本小题满分8分）
解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；……………… 2分
)4
(sin 22π
θρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，
两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：
2)1()1(22=-+-x x ……………… 4分
（2）圆心C 到直线l 的距离25
5
212|112|2
2<=
++-=
d ， 所以直线l 和⊙C 相交．……………… 8分
7.（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题模块）在极坐标系中,过曲线)
0(cos 2sin
:2
>=a a L θθρ外的一点),52(θπ+A (其中,2t an
=θθ为锐角)作平行于)(4
R ∈=ρπ
θ的直线l 与曲线分别交于
C B ,.
（1）写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)；
(2) 若|||,||,|AC BC AB 成等比数列,求a 的值. 答案7. ⑴2,22-==x y ax y
(2)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t
x 2
2422
2(t 为参数),代入ax y 22=得到
0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+
因为|||,|||2AC AB BC =,所以21212212214)()(t t t t t t t t ⋅=⋅-+=- 解得 1=a。