高一数学《函数奇偶性》教案

第三节 函数奇偶性（高一秋季班组第五次课10.05）
一．教学目标
1.理解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性；
2.奇偶性的应用
3.奇偶性与单调性综合
二．教学内容
1.偶函数：一般地，假设对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

奇函数：一般地，假设对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数。

奇偶性：假设函数)(x f 是奇函数或偶函数，那么就说明函数)(x f 具有奇偶性。

准确理解函数奇偶性的定义：定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，那么-x 也必然在定义域中，所以，函数)(x f y =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。

换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。

无奇偶性函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。

两个奇偶函数四则运算的性质：
①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数； ④两个偶函数的积是偶函数； ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

例1.判别以下函数的奇偶性：
f(x)＝|x ＋1|+|x －1| ; f(x)＝
23x ; f(x)＝x ＋x 1 ; f(x)＝21x
x + ; f(x)＝x 2,x ∈[-2,3] 思考：f(x)=0的奇偶性？
练习1.判断以下函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x 2－|x|＋1，x ∈[－1,4]；(2)f(x)＝1－x 2|x ＋2|－2；
(3)f(x)＝(x －1)1＋x 1－x ； (4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x x>0，x 2＋x x<0. 2．奇函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像必过点( C )
A ．(a ，f(－a))
B ．(－a ，f(a))
C ．(－a ，－f(a))
D ．(a ，f(1a
)) 解析 ∵f(－a)＝－f(a)，即当x ＝－a 时，函数值y ＝－f(a)，∴必过点(－a ，－f(a))．
3．已知f(x)为奇函数，则f(x)－x 为( A )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既不是奇函数又不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
解析 令g(x)＝f(x)－x ，g(－x)＝f(－x)＋x ＝－f(x)＋x ＝－g(x)．
4．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则以下结论恒成立的是( A )
A ．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B ．f(x)－|g(x)|是奇函数
C ．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D ．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)．
由|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
5.设f(x)＝ax 7
＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

6.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝11+x ，求f(x)、g(x)。

7．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝1
x －1
，则f(x)＝________，g(x)＝________. 答案 1x 2－1，x x 2－1 解析 ∵f(x)＋g(x)＝1x －1， ①∴f(－x)＋g(－x)＝1－x －1
.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－ g(x)＝1－x －1. ②①＋②，得f(x)＝1x 2－1，①－②，得g(x)＝x
x 2－1.
8.已知函数f(x)，对任意实数x 、y ，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。

9.已知f(x)是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7，-3]上是 函数，且最 值是 。

10.已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。

11.设函数(1)()()x x a f x x
++=为奇函数，则a = ． 12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)＝________.
答案 －0.5
13．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x 2＋1，则f(－2)＝________.
答案 －5解析 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝ 22＋1＝5.∴f(－2)＝－5.
2.奇函数、偶函数的图像的性质：
假设一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形（奇函数的图像不一定过原点）；反之，假设一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。

因为奇函数的图像关于原点对称，那么我们能够得出结论：假设奇函数)(x f 的定义域为R 时，那么必有0)0(=f 。

假设一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，假设一个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。

f(x)＝f(|x|)
例2.)(x f y =是偶函数，图像与x 轴有四个交点，则方程0)(=x f 所有实根之和是（）
（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0
练习1.若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）
（A ）)2,(-∞ （B ）),2(+∞ （C ）),2()2,(+∞--∞ （D ）（－2，2）
2.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ） （A ）(10)(1)-+∞，，（B ）(1)(01)-∞-，，（C ）(1)
(1)-∞-+∞，， （D ）(10)(01)-，， 3.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1=
x 对称， 则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=________________． 4.已知定义域为R 的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）
（A ）)7()6(f f > （B ）)9()6(f f > （C ）)9()7(f f > （D ）)10()7(f f >
5.下面四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定通过原点；③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中准确命题的个数是( a )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.函数的奇偶性与单调性之间的关系：
一般地，若)(x f 为奇函数，则)(x f 在],[b a 和],[a b --上具有相同的单调性；若)(x f 为偶函数，则)(x f 在],[b a 和],[a b --上具有相反的单调性。

若奇函数f(x)在[a ，b]上是增函数，且有最大值M ，则f(x)在[－b ，－a]上增函数，且有最小值-M .
例3.定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值
范围。

练习1．定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)．求实数m 的取值范围．
答案 m ∈[－1，12
) 解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1－m)<f(m)可化为f(|1－m|)<f(|m|)，又f(x)在[0,2]上是减函数，
∴|1－m|>|m|，两边平方，得m<12
，又f(x)定义域为[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，
解之得－1≤m ≤2，综上得m ∈[－1，12)． 2,设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m －1)>0，求实数m 的取值范围．
【解析】 由f(m)＋f(m －1)>0，得f(m)>－f(m －1)，即f(m)>f(1－m)．
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，
m<1－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤m ≤2，－1≤m ≤3，m<12.∴－1≤m<12
. 3.设f(x)是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( A )
A ．f(x 1)>f(－x 2)
B ．f(－x 1)＝f(－x 2)
C ．f(－x 1)<f(－x 2)
D ．f(－x 1)与f(x 2)大小不定
4..若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( c )
A ．f(－1)<f(－1.5)<f(2)
B ．f(－1.5)<f(－1)<f(2)
C ．f(2)<f(－1.5)<f(－1)
D ．f(2)<f(－1)<f(－1.5)
5．若函数y ＝f(x)，x ∈R 是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有( B )
A ．f(－1)<f(－2)
B ．f(－1)>f(－2)
C ．f(－1)＝f(－2)
D ．不确定
6．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则以下各式中一定成立的是( A )
A ．f(－1)<f(3)
B ．f(0)<f(5)
C ．f(3)>f(2)
D ．f(2)>f(0)
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．
7．设f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)则大小顺序是( a )
A ．f(－π)>f(3)>f(－2)
B ．f(－π)>f(－2)>f(3)
C ．f(－π)<f(3)<f(－2)
D ．f(－π)<f(－2)<f(3)
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)<f(3)< f(－π)，∴f(－2)<f(3)<f(－π)．
8．若奇函数f(x)当1≤x ≤4时的关系式是f(x)＝x 2－4x ＋5，则当－4≤x ≤－1时，f(x)的最大值是( D )
A ．5
B ．－5
C ．－2
D ．－1
解析 当－4≤x ≤－1时，1≤－x ≤4，∵1≤x ≤4时，f(x)＝x 2－4x ＋5.
∴f(－x)＝x 2＋4x ＋5，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x 2－4x －5＝－(x ＋2)2－1, 当x ＝－2时，取最大值－1.
9．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为________.答案 －15
10．若函数f(x)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)<f(a)的实数a 的取值范围是________．
答案(－π，π)
解析若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)<f(a)，得a<π.
若a<0，∵f(π)＝f(－π), 则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．因为f(－π)<f(a)，得到a>－π，即－π<a<0.由上述两种情况知a∈(－π，π)．。