高考物理万有引力与航天基础练习题及解析

高考物理万有引力与航天基础练习题及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m ，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G ， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
【答案】（1）3
45L
Gm
23
3Gm L 【解析】 【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
222
22
2()(2)Gm Gm m L L L T
π+= 3
45L T Gm
∴=（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗
星，满足：2
222cos30()cos30L
Gm m L ω︒=︒
解得：3
3Gm L ω
2．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G ．求：
(1)地球的密度； (2)地球的第一宇宙速度v ； (3)“天宫一号”距离地球表面的高度． 【答案】(1)34g
GR
ρπ= (2)v gR =
(3)22
3
2
4gT R h R π
=- 【解析】
（1）在地球表面重力与万有引力相等：2Mm
G
mg R
=， 地球密度：
343
M M R V
ρπ=
=
解得：34g
GR
ρπ=
（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，2
v mg m R
=
v gR =
（3）天宫一号的轨道半径r R h =+， 据万有引力提供圆周运动向心力有：()
()2
2
24Mm
G
m R h T
R h π=++，
解得：22
3
2
4gT R h R π
=
-
3．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G ） 【答案】
【解析】
设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为w 1,w 2．根据题意有 w 1=w 2 ① （1分） r 1+r 2=r ② （1分）
根据万有引力定律和牛顿定律，有 G ③ （3分） G
④ （3分）
联立以上各式解得
⑤ （2分）
根据解速度与周期的关系知
⑥ （2分）
联立③⑤⑥式解得
（3分）
本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解
4．某星球半径为6610R m =⨯，假设该星球表面上有一倾角为30θ=︒的固定斜面体，一质量为1m kg =的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数3
μ=
，力F 随位移x 变化的规律如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）．已知小物块运动12m 时速度恰好为零，万有引力常量11
226.6710
N?m /kg G -=⨯，求（计算结果均保留一位有效数字）
（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小； （2）该星球的平均密度． 【答案】2
6/g m s =，
【解析】 【分析】 【详解】
（1）对物块受力分析如图所示；
假设该星球表面的重力加速度为g ，根据动能定理，小物块在力F 1作用过程中有：
2
11111sin 02
F s fs mgs mv θ--=- N mgcos θ= f N μ=
小物块在力F 2作用过程中有：
222221
sin 02
F s fs mgs mv θ---=-
由题图可知：1122156?
3?6?F N s m F N s m ====，；， 整理可以得到： (2)根据万有引力等于重力：
，则：
，
，
代入数据得
5．2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”（LIGO ）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并．已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的质量为M 0，万有引力常量为G ．
（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍．利用所学知识，求此次合并所释放的能量．
（2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在．假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体．
a ．因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在．天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T ，半径为r 0的匀速圆周运动．由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞．利用所学知识求此黑洞的质量M ；
b ．严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在．我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m 1、m 2的质点相距为r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为12
p m m E G
r
=-（规定无穷远处势能为零）．请你利用所学知识，推测质量为M′的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R 最大不能超过多少？
【答案】（1）3M 0c 2
（2）23
02
4r M GT π=；22GM R c '＝
【解析】 【分析】 【详解】
（1）合并后的质量亏损
000(2639)623m M M M ∆=+-=
根据爱因斯坦质能方程
2E mc ∆=∆
得合并所释放的能量
203E M c ∆=
（2）a ．小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m 根据万有引力定律和牛顿第二定律
2
0202Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
解得
23
02
4r M GT π=
b ．设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律
2102Mm mv G R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
解得
22GM R v '
=
因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过
2
2GM R c '
=
6．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，地球半径为R ，地球表面重力加速度g ，求： （1）地球的第一宇宙速度v ； （2）飞船离地面的高度h ． 【答案】（1
）v =（2
）h R = 【解析】 【详解】
（1）根据2
v mg m R
=得地球的第一宇宙速度为：
v =
（2）根据万有引力提供向心力有：
()2
2
24()Mm G m R h R h T
π=++，
又2GM gR =， 解得：2
2
3
2
4gR T h R π
=
- ．
7．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017年6月，“神舟十号”与“太空一号”成功对接．现已知“太空一号”飞行器在轨运行周期为To ，运行速度为0v ，地球半径为R ，引力常量为.G 假设“天宫一号”环绕地球做匀速圖周运动，求：
()1“天宫号”的轨道高度h ． ()2地球的质量M ．
【答案】(1)00 2v T h R π=- (2)3
00 2v T M G
π=
【解析】 【详解】
(1)设“天宫一号”的轨道半径为r ，则有：
00
2r
v T π=
“天宫一号”的轨道高度为：h r R =- 即为：00
2v T h R π
=
- (2)对“天宫一号”有：2
220
4Mm G m r r T π=
所以有：3
00
2v T M G
π=
【点睛】
万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．
8．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x ，已知弹簧的劲度系数为k ，火星的半径为R ，万有引力常量为G ，忽略火星自转的影响。

（1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；
（2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。

【答案】（1）g =kx m ，M =2
kxR Gm
； （2）v 2【解析】 【详解】
（1）物体静止时由平衡条件有: mg =kx ，所以火星表明的重力加速度g =
kx
m
；在火星表面重力由万有引力产生：mg =G 2mM R ，解得火星的质量M =2
kxR Gm。

（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg =m 2
v R
，解得卫星的线速度v
近地卫星的周期T =
2R v π=2
9．2004年1月，我国月球探测计划“嫦娥工程”正式启动，从此科学家对月球的探索越来越深入.2007年我国发射了“嫦娥1号”探月卫星，2010年又发射了探月卫星“嫦娥二号”，2013年“嫦娥三号”成功携带“玉兔号月球车”登上月球.已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动.万有引力常量为G . （1）求出地球的质量；
（2）求出月球绕地球运动的轨道半径；
（3）若已知月球半径为r ，月球表面的重力加速度为
6
g
.当将来的嫦娥探测器登陆月球以后，若要在月球上发射一颗月球的卫星，最小的发射速度为多少？
【答案】（1）2gR G （23 【解析】 【详解】
（1）在地球表面，由
2
GMm
mg R
= 解得地球的质量
G
gR M 2
= （2）月球绕地球运动，万有引力提供向心力，则有
222
4GMm m r
r T
π= 月球绕地球运动的轨道半径
r ==（3）在月球表面，则有
26g v m m r
= 解得
v =
10．2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射．标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平．飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道．已知地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ，引力常量为G ，求： (1)地球的质量；
(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期T ．
【答案】(1)G
gR M 2
=(2)2T =【解析】 【详解】
(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有2
Mm
G
mg R = 解得：G
gR M 2
=
(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r ，则据题意有：r R h =+
飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：2
224πMm G m r r T
=
解得：2T =。