【高中课件】高中数学北师大版选修22第3章1第1课时导数与函数的单调性课件ppt.ppt

• 3．求可导函数单调区间的一般步骤： • 第一步，确定函数f(x)的定义域．
•在定 义域内的一切实根．
• 第三步，把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横 坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区 间．
•切线的斜率和f(x)的导数的关系
1.切线的斜率为正，____f_′(_x_)_>_0_______；切线的斜率为 负，_____f_′(_x_)_<_0______.
2．用曲线的切线的斜率来理解法则．当切线斜率非负
时，切线的倾斜角小于
π 2
，函数曲线呈向上增加状态；当切线
斜率为负时，切线的倾斜角大于π2、小于π，函数曲线呈向下减
• 2．导数与函数的单调性的关系 • (1)f′(x)>0与f(x)为增函数的关系． • f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不成立． • 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0， • ∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件． • (2)f′(x)≠0时，f′(x)>0与f(x)为增函数的关系． • 若将f′(x)＝0的根作为分界点，因为规定f′(x)≠0，即抠
• [解析] 用举反例的方法解本题．函数y＝x是单调增 函数，但其导函数y′＝1不具有单调性，排除①③.函 数y＝－x是单调减函数，但其导函数y′＝－1不具有 单调性，排除②.函数y＝x2，其导函数y′＝2x是单调 的，但原函数在R上不具有单调性，排除④.
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
• A．f(x)>0
B．f(x)<0
• C．f(x)＝0
D．不能确定
• [答案] A
• [解析] ∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，∴函 数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.
• 3．给出下列结论： • ①单调增函数的导函数也是单调增函数； • ②单调减函数的导函数也是单调减函数； • ③单调函数的导函数也是单调函数； • ④导函数是单调的，则原函数也是单调的． • 其中正确结论的个数是( ) • A．0 B．2 • C．3 D．4 • [答案] A
A．y＝2－3x2
B．y＝ln x
C．y＝x－1 2
• [答案] C
D．y＝sin x
[解析]
对于函数y＝
1 x－2
，其导数y′＝－
1 x－22
<0，且
函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝
1 x－2
在区间(－1,1)
上是减函数．其余选项都不符合要求．故选C．
• 5．若函数x＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
• 第四步，确定f′(x)在各个小区间的符号，根据f′(x)的 符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性．
• 4．y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x) 在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a， b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y ＝x3在R上单调递增．
小状态.
•用导数判断函数的单调性
• 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关 系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x) 在这个区间内_____________；如果f′(x)<0，那么函 数单f(调x)递在增这个区间内____________.
单调递减
• 1.函数的导数与函数增减的速度之间的关系
中小学精编教育课件
第三章 导数应用
• 本章知识概述
• 导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工 具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决 实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
• 第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极 大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的 一个重要应用．
第三章 §1 函数的单调性与极值
第1课时 导数与函数的单调性
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 4 课时作业
课前自主预习
• 1.结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数 的关系．
• 2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次 的多项式函数的单调区间．
• 本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性． • 本节难点：函数的导数与单调性的关系.
去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f′(x)>0. • ∴当f(x)可导且f′(x)≠0时，f′(x)>0是f(x)为增函数的充
分必要条件．
• (3)f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系． • f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，但反之不一定，
因为f′(x)≥0，即为f′(x)>0或f′(x)＝0.当函数在某个区间 内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性． • ∴f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．
• 递增函数就是函数值随自变量的增大而增大，一个 函数的增长速度快，就是说，在自变量的变化相同 时，函数值的增长大，即平均变化率大，导数也就 大；递减函数就是函数值随自变量的增大而减小， 一个函数减小得快，那么在自变量的变化相同时， 函数值的减小越多，即平均变化率大，导数的绝对 值也就大，从而导数的绝对值越大，函数增减的速 度就越快．
• 5．利用导数判断单调性常与一些参数有关，此时要 注意对参数的分类讨论．
• 6．导数的绝对值的大小对函数图像的影响
• 一般地，如果一个函数在某一区间上导数的绝对值 越大，说明函数在这个区间内的变化越快，这时， 函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就 “平缓”一些.
1.函数y＝xln x在区间(0,1)上是( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，1e)上是减函数，在(1e，1)上是增函数
D．在(0，1e)上是增函数，在(1e，1)上是减函数 [答案] C [解析] y′＝ln x＋1，当0<x<1e时，y′<0，当1e<x<1时， y′>0.
• 2．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b) 内有( )