2020-2021学年湖南省娄底一中高二上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖南省娄底一中高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）
1.设点P(x,y)，则“x=−3且y=1”是“点P在直线l：x−y+4=0上”的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.设不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，则不等式cx2+bx+a>0的解集为()
A. (2,3)
B. (−3,−2)
C. (1
3,1
2
) D. (−1
2
,−1
3
)
3.不等式|x−a|<b的解集是{x|−3<x<9}，则a，b的值分别是()
A. a=3，b=6
B. a=−3，b=9
C. a=6，b=3
D. a=−3，b=6
4.已知a⃗=(1,2，−1)，则向量a⃗的模的大小为()
A. 4
B. 6
C. √6
D. √5
5.已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区
间上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3=8，a3a4a5=1
8
，则a2a3a4=()
A. 512
B. 64
C. 1
D. 1
512
7.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物
线的准线上，则双曲线的方程为()
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数为，1，1)，且，如果
，则实数的取值范围为()
A. ()
B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共12.0分）
9.下列命题中正确的命题有()
A. 函数f(x)=tan(x−π
4)的定义域为{x∈R|x≠kπ−π
4
,k∈Z}
B. 命题“∀x∈R，x−lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0−lnx0<0”
C. 函数f(x)=√x+1⋅√x−1与函数g(x)=√x2−1是同一个函数
D. 用二分法求函数f(x)=lnx+2x−6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过7次二分后，精
确度达到0.01
10.已知a>b≥2，则()
A. b2<3b−a
B. a3+b3>a2b+ab2
C. ab>a+b
D. 1
2+2
ab
>1
a
+1
b
11.如图，在棱长均相等的四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，
M，N分别为侧棱PA，PB的中点，其中正确的结论是()
A. PC//平面OMN
B. 平面PCD//平面OMN
C. OM⊥PA
D. 直线PD与MN所成角的大小为90°
12.下列叙述正确的是()
A. 若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1
B. 分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等
C. 线性回归直线y^=b^x+a^必过点(x−,y−)
D. 对于任意两个事件A和B，都有P(A∪B)=P(A)+P(B)
三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.在Rt△ABC中，C=90°，则sin A sin B的最大值是______ ．
14.已知恒等式x+1
2x2+1
3
x3+⋯+1
n
x n=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a n(x−2)n，(n∈
N∗)a1+2a2+3a3+⋯+na n=______．
15.椭圆与双曲线有相同的焦点F1(−c,0),F2(c,0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的
一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则3e12+e22的最小值为__________．
16. 在数列{a n }中，a 1=1，3n−1a n =3n−2a n−1−2⋅3n−2+2(n ≥2)，
S n 是数列{a n +1n
}的前n 项和，
则S n 为______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 设命题p ：x 1和x 2是方程x 2−ax −2=0的两个根，不等式|m −4|≤|x 1−x 2|对任意实数a ∈
[1,2]恒成立；命题Q ：函数f(x)=3x 2+2mx +m +4
3有两个不同的零点．求使“P 且Q ”为真命题的实数m 的取值范围．
18. 已知数列f(x 1)，f(x 2)，…f(x n )，…是公差为2的等差数列，且x 1=a 2其中函数f(x)=log a x(a
为常数且a >0，a ≠1)． (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式； (Ⅱ)若a n =log a x n ，求证4
a 1a 2
+4
a
2a 3
+⋯+4
a
n a n+1
<1．
19. 函数f(x)=ax n (1−x)(x >0,n ∈N ∗)，当n =−2时，f(x)的极大值为4
27． (1)求a 的值；
(2)求证：f(x)+lnx ≤0； (3)求证：f(x)<1
ne ．
20. 如图，四棱锥A −BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，
BC =2，CD =√2，AB =AC ，CE 与平面ABE 所成的角为45°． (1)证明：AD ⊥CE ；
(2)求二面角A −CE −B 的正切值．
21. 一动圆恒过点A(−√2,0)且恒与定圆B ：(x −√2)2+y 2=12相切． (1)求动圆圆心C(2)的轨迹M(3)的方程；
(2)过点p(0,2)的直线l 与轨迹M 交于不同的两点E 、F ，求PE
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．
22.已知函数f(x)=alnx+1
2
x2−(1+a)x(x>0)，其中a为实数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对任意的正整数m，n，不等式1
ln(m+1)+1
ln(m+2)
+⋯+1
ln(m+n)
>n
m(m+n)
恒成立．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：对于点P(x,y)，若满足x=−3且y=1，则点P在直线l：x−y+4=0上，
反之，由点P在直线l：x−y+4=0上，不一定有x=−3且y=1，如x=0，y=4．
∴“x=−3且y=1”是“点P在直线l：x−y+4=0上”的充分而不必要的条件．
故选：A．
由x=−3且y=1，可得x−y+4=0；反之，由x−y+4=0，不一定有x=−3且y=1.则答案可得．
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了直线的方程与方程直线的概念，是基础题．2.答案：C
解析：
根据不等式ax2+bx+c>0的解集得出a<0，且b=−5a，c=6a，代入不等式cx2+bx+a>0化简求解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系应用问题，是基础题．解：根据不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，
所以a<0，且2和3是方程ax2+bx+c=0的实数根，
由根与系数的关系知，{2+3=−b
a
2×3=c
a
，
解得b=−5a，c=6a，
所以不等式cx2+bx+a>0可化为6x2−5x+1<0，即(2x−1)(3x−1)<0，
解得1
3<x<1
2
，
即所求不等式的解集为(1
3,1
2 )，
故选：C．
3.答案：A
解析：解：不等式|x−a|<b，等价于−b<x−a<b，等价于a−b<x<a+b，再根据不等式|x−a|<b的解集是{x|−3<x<9}，可得a−b=−3，a+b=9，求得a=3，b=6，。