资阳区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

资阳区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 计算log 25log 53log 32的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（
）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
3． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（
）
A ．90种
B ．180种
C ．270种
D ．540种
4． 数列中，，对所有的，都有，则等于（
）
{}n a 11a =2n ≥2
123n a a a a n =A A 35a a +A ．
B ．
C ．
D ．
2592516
61
163115
5． 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ）
()1,1M A ． B ．20x y +-=10
x y +-=C ．或
D ．或1x =1y =20x y +-=0
x y -=6． 定义在上的偶函数满足，对且，都有
R ()f x (3)()f x f x -=-12,[0,3]x x ∀∈12x x ≠，则有（ ）
1212
()()
0f x f x x x ->-A ． B ．(49)(64)(81)f f f <<(49)(81)(64)f f f <<C. D ．(64)(49)(81)f f f <<(64)(81)(49)
f f f <<7． 下面各组函数中为相同函数的是（
）
A ．f （x ）=，g （x ）=x ﹣1
B ．f （x ）=，g （x ）=
C ．f （x ）=ln e x 与g （x ）=e lnx
D ．f （x ）=（x ﹣1）0与g （x ）=
8． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
9． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则+
+…+
=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在中，，，，则等于（ ）
ABC ∆b =3c =30B =
A B ．
C D ．2
11．如图，程序框图的运算结果为（
）
A ．6
B ．24
C ．20
D ．120
12．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ）
A ．120°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
二、填空题
13．设x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．
14．设平面向量，满足且，则
，的最大
()1,2,3,i a i =
1i a = 120a a ⋅= 12a a += 123a a a ++
值为
.
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.
15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在
此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．
16．过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭
圆的离心率为 ．　
17．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点②经过空间任意三点有且只有一个平面③过两平行直线有且只有一个平面④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是 ．　
18．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，
）到直线l 的距离为 ．
三、解答题
19．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．
20．（14分）已知函数，其中m ，a 均为实数．
1
()ln ,()e
x x f x mx a x m g x -=--=（1）求的极值； 3分
()g x
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值； 1,0m a =<12,[3,4]x x ∈12()x x ≠212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-a 5分
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，2a =0(0,e]x ∈(0,e]1212,()t t t t ≠120()()()f t f t g x ==求的取值范围． 6分
m 21．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2=4x 的焦点，离心率是．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）已知动直线y=k （x+1）与椭圆E 相交于A 、B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得与k 的取值无
关，试求点M 的坐标．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐x l 标方程为，曲线的极坐标方程为．
cos sin 2ρθρ
θ-=C 2
sin 2cos (0)p p ρθθ=>（1）设为参数，若，求直线的参数方程；t 2x =-+
l （2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．
l C ,P Q (2,4)M --2
||||||PQ MP MQ =⋅p
23．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
24．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．
资阳区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：log 25log 53log 32==1．
故选：A ．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．　
2． 【答案】 D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得A=1，B=1
满足条件A ≤5，B=3，A=2满足条件A ≤5，B=7，A=3满足条件A ≤5，B=15，A=4满足条件A ≤5，B=31，A=5满足条件A ≤5，B=63，A=6
不满足条件A ≤5，退出循环，输出B 的值为63．故选：D ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A ，B 的值是解题的关键，属于基础题．　
3． 【答案】D
【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C 31C 62C 21C 42=540种．故选D ．　
4． 【答案】C 【解析】
试题分析：由，则，两式作商，可得，所以2
123n a a a a n =A A 2
1231(1)n a a a a n -=-A A 2
2
(1)
n n a n =-，故选C ．
2235223561
2416
a a +=+=考点：数列的通项公式．5． 【答案】D 【解析】
考点：直线的方程.
6．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
7．【答案】D
【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；
对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；
对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；
对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；
故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．　
8．【答案】D
【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；
B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
9．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】C
【解析】
考点：余弦定理．
11．【答案】B
【解析】解：∵循环体中S=S×n可知程序的功能是：
计算并输出循环变量n的累乘值，
∵循环变量n的初值为1，终值为4，累乘器S的初值为1，
故输出S=1×2×3×4=24，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．
12．【答案】A
【解析】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故选A
二、填空题
13．【答案】　﹣6　．
【解析】解：由约束条件
，得可行域如图，
使目标函数z=2x ﹣3y 取得最小值的最优解为A （3，4），∴目标函数z=2x ﹣3y 的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．故答案为：﹣6．　
14．.
1+
【解析】∵，∴，22
212112221012a a a a a a +=+⋅+=++= 12a a +=
而，222123121233123()2()21cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅<+>+≤+
∴，当且仅当与.
1231a a a ++≤+ 12a a + 3a
1+15．【答案】　2　．
【解析】解：如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，相交于点O ．则点O 为球心，OA=
．
设正方体的边长为x ，则A 1O=
x ．
在Rt △OAA 1中，由勾股定理可得： +x 2=
，
解得x=
．
∴正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积V==2．
故答案为：2
．
16．【答案】 ．
【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
17．【答案】　③　．
【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；
②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；
③过两平行直线有且只有一个平面，正确；
④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，
故正确命题的序号是③，
故答案为：③
18．【答案】　3　．
【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．
点（4，）化为．
∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm ，在Rt △EOF 中，，
∴，
∴
依题意函数的定义域为{x|0＜x ＜
10}
【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．　
20．【答案】解：（1），令，得x = 1． e(1)
()e x
x g x -'=()0g x '=列表如下：
∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小
值．
3分
（2）当时，，．
1,0m a =<()ln 1f x x a x =--(0,)x ∈+∞∵在恒成立，∴在上为增函数． 设，∵> 0()0x a f x x -'=>[3,4]()f x [3,4]1e ()()e x
h x g x x ==12e (1)()x x h x x --'=
在恒成立，
[3,4]x （-∞，1）
1（1，+∞）
()
g x '+0-g （x ）
↗
极大值
↘
∴在上为增函数． 设，则等价()h x [3,4]21x x >212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-
于，2121()()()()f x f x h x h x -<-即．
2211()()()()f x h x f x h x -<-设，则u （x ）在为减函数．
1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅[3,4]∴在（3，4）上恒成立． ∴恒成立．
21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤11
e e x x a x x
---+≥设，∵=，x ∈[3，4]，
11e ()e x x v x x x --=-+112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+1
21131e [(]24
x x ---+∴，∴< 0，为减函数．
1221133
e [()e 1244
x x --+>>()v x '()v x ∴在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -．
()v x 22
e 3
∴a ≥3 -，∴的最小值为3 -． 8分
22e 3a 22
e 3（3）由（1）知在上的值域为． ()g x (0,e](0,1]∵，，
()2ln f x mx x m =--(0,)x ∈+∞当时，在为减函数，不合题意．
0m =()2ln f x x =-(0,e]当时，，由题意知在不单调，0m ≠2()
()m x m f x x
-'=
()f x (0,e]所以，即．①
20e m <<2
e
m >此时在上递减，在上递增，
()f x 2(0,m 2
(,e)m
∴，即，解得．②
(e)1f ≥(e)e 21f m m =--≥3
e 1
m -≥由①②，得．
3
e 1
m -≥ ∵，∴成立．
1(0,e]∈2
((1)0f f m =≤下证存在，使得≥1．
2
(0,]t m
∈()f t 取，先证，即证．③
e m t -=e 2
m m
-<2e 0m m ->设，则在时恒成立．
()2e x w x x =-()2e 10x w x '=->3
[,)e 1
+∞-∴在时为增函数．∴，∴③成立．
()w x 3[,)e 1+∞-3
e ))01((w x w ->≥再证≥1．
()e m f -
∵，∴时，命题成立． e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥
3
e 1
m -≥
综上所述，的取值范围为． 14分
m 3
[,)e 1
+∞-21．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且a=，…1分
c=e •a=×
=，
故b=
=
=
，…4分
所以，椭圆E 的方程为
，即x 2+3y 2=5…6分
（2）将y=k （x+1）代入方程E ：x 2+3y 2=5，得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2﹣5=0；…7分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （m ，0），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=
；…8分
∴=（x 1﹣m ，y 1）=（x 1﹣m ，k （x 1+1）），
=（x 2﹣m ，y 2）=（x 2﹣m ，k （x 2+1））；
∴
=（k 2+1）x 1x 2+（k 2﹣m ）（x 1+x 2）+k 2+m 2
=m 2+2m ﹣﹣
，
要使上式与k 无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M （﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．　
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
23．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，
解得a=0.005．
∴图中a的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05
=73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；
结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，
联立方程化简可得，
116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，
故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，
故z2=116，
故z=2x+y的最大值为．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．　。