华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》精品课件_2
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一元二次方程根的判别式
华东师大版九年级上册
学习目标
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论 证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
回忆
新课导入
我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过
程中，得到
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
（✻）
试一试
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程没有实数根？
解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9.
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是
0，因此方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b； 2a
（3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是
一个负数，而对于任何实数 x，方程左边
x
b 2a
2
0，因此方程没有实数根.
概括
这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二 次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；
（2）4x2 2x 1 0； 4
解（1）原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0. 因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0，所以 方程有两个不相等的实数计根算. 判别式时，方程必须化为
当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b
b2 4ac .
2a
2a
也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数 根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数 直接判定根的情况.
推进新课
分析观察方程
x
b 2a
2
b2 4a42ac（✻，）
我们发现有如下三种情况：
（1）当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一
个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两
个不相等的实数根：
b x1 2a +
b2 4ac 2a
，x2
b 2a
b2 4ac ； 2a
一元二次方程的一般形式.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；
（2）4x2 2x 1 0； 4
（2）因为 Δ = ____(__2_)2___4__4___14___4___4___0_，所 以方程____有__两__个__相__等__的__实__数__根____.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；
（2）4x2 2x 1 0； 4
（3）原方程可变形为____4_y_2_–__y_+_1_6__=_0____. 因为 Δ =__(_–__1_)2_–__4_×__4_×__1_6_=__1_–__2_5_6_=__–_2_5_5_， 所以方程___没__有__实__数__根___.
当16k + 9 > 0， 即k 9 时，方程有两个不相k + 9 = 0， 即k 9 时，方程有两个相等
的实数根.
16
当16k + 9 < 0， 即k 9 时，方程没有实数根. 16
课堂小结
1.根的判别式 Δ = b2 – 4ac 2.用判别式判定一元二次方程根的情况 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
华东师大版九年级上册
学习目标
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论 证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
回忆
新课导入
我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过
程中，得到
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
（✻）
试一试
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程没有实数根？
解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9.
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是
0，因此方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b； 2a
（3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是
一个负数，而对于任何实数 x，方程左边
x
b 2a
2
0，因此方程没有实数根.
概括
这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二 次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；
（2）4x2 2x 1 0； 4
解（1）原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0. 因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0，所以 方程有两个不相等的实数计根算. 判别式时，方程必须化为
当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b
b2 4ac .
2a
2a
也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数 根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数 直接判定根的情况.
推进新课
分析观察方程
x
b 2a
2
b2 4a42ac（✻，）
我们发现有如下三种情况：
（1）当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一
个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两
个不相等的实数根：
b x1 2a +
b2 4ac 2a
，x2
b 2a
b2 4ac ； 2a
一元二次方程的一般形式.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；
（2）4x2 2x 1 0； 4
（2）因为 Δ = ____(__2_)2___4__4___14___4___4___0_，所 以方程____有__两__个__相__等__的__实__数__根____.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；
（2）4x2 2x 1 0； 4
（3）原方程可变形为____4_y_2_–__y_+_1_6__=_0____. 因为 Δ =__(_–__1_)2_–__4_×__4_×__1_6_=__1_–__2_5_6_=__–_2_5_5_， 所以方程___没__有__实__数__根___.
当16k + 9 > 0， 即k 9 时，方程有两个不相k + 9 = 0， 即k 9 时，方程有两个相等
的实数根.
16
当16k + 9 < 0， 即k 9 时，方程没有实数根. 16
课堂小结
1.根的判别式 Δ = b2 – 4ac 2.用判别式判定一元二次方程根的情况 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.