初中数学竞赛指导-第二讲-配方法

第二讲 配方法
一、 方法与技巧
1、配方法：
把代数式通过直接变形或分拆重组、添补重组、组合重组等手段，得到完全平方式，再利用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，从而求解出问题的结果，这重解题方法称之为配方法。

2、配方法的作用：
配方法的作用在于改变代数式的原有结构形式，是代数变形的重要方式之
一。

配方法的实质在于挖掘题设的隐含条件来创建非负数性质。

3、配方法的用途：
①解一元二次方程；②二次函数；③因式分解；④二次根式化简求值；⑤有关最大或最小值。

4、常用的配方法：
①直接配方；②分拆、填补、重组配方。

二、题型
题型一 用配方法求值
1、已知251
,251
+=-=b a ，则722++b a 的值为（ ）
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3
2、已知21,19,20+=+=+=y c y b y a ，则代数式ac bc ab c b a ---++222的值是（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
3、已知实数a 、b 、c 满足,142,238,176222=+-=+-=+a c c b b a 则c b a ++的值为（ ）
A 、-8
B 、-7
C 、-6
D 、-5
4、已知21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为（ ）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
5、已知实数a 、b 、x 、y 满足5,3=-=+bx ay by ax ，则代数式()()2222y x b a ++的值为（ ）
A 、33
B 、34
C 、35
D 、-35 题型二 用配方法解方程
1、若0623223223
23=-+++++-b ab a b
a b ab a ，则a= . 2、关于x 的方程()0112=+--x k kx 有有理根，则整数k 的值为 。

题型三 用配方法求最值
1、已知12
14522+---+=y x xy y x z ，则z 的最小值为 。

2、若实数a 、b 、c 满足9222=++c b a ，代数式()()()222a c c b b a -+-+-的最大值为（ ）
A 、27
B 、18
C 、15
D 、12
题型四 配方法的综合应用
1、设二次函数p px x y --=22的图像与x 轴6交于不同的两点A ()0,1x ,B ()0,2x . ⑴证明：03222>++p x px ⑵若32-<P AB ，求p 的取值范围。

2、设m 是不小于-1的实数，且关于x 的方程()0332222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根21,x x 。

⑴、若62221=+x x ，求m 的值。

⑵、求2
2212111x mx x mx -+-的最大值。

3、已知实数a 、b 、c 、d 满足()6323222222=-=+=+bc ad d b c a ,求()()2222d c b a ++
的值。

三、亮剑试笔
（一）、选择题
1、04,42=++=-c ab b a ，则a+b=( )
A 、4
B 、0
C 、2
D 、-2
2、若3
2211-=+=
-z y x ，则222z y x ++的最小值为（ ） A 、3 B 、1459 C 、29 D 、6 3、设136498322++-+=y x y xy x M ，则M 一定是（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、0
D 、整数
4、已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3
262z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为（ ） A 、12 B 、13 C 、14 D 、15
5、若521332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c=( )\
A 、16
B 、18
C 、20
D 、22
二、填空题
6、已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨
⎧=+-+-=022362z xy y x y x ，则z y x +2的值为 7、已知x 、y 、为实数，且满足y xy y x 242
22+≤++，则x= ,y= . 8、已知a 、b 、c 为实数，且满足⎩⎨
⎧=++=++1.00222c b a c b a ，则444c b a ++的为 .
三、解答题 9、在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6)。

已知直线y=ax+b 上横坐标
为0,1,2的点分别为D,E,F,试求a,b 使得222CF BE AD ++达到最小值。

10、已知a 、b 、c 、d 均为正数，且满足abcd d c b a 44444=+++。

求证：以a 、b 、c 、d 为边的凸四边形不是菱形就是正方形。

11、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足b a a =+2212，c b b =+2212，a c
c =+22
12，求△ABC 的面积。