北京邮电大学2011级研究生课程概率论第三讲

B A ， 且 AB，则：
A B
3. (半可加性)
A为集代数， n
是有限可加测度，AiA
i 1,2,n, A A, A Ai， 则： n
i
1
A
Ai
i 1
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一、 测度及其性质
4. （次可加性） A为集代数， 是测度， Ai A
i 1,2, , A A , A Ai A， 则：
于是A A
An
AAn ，且AAn A，n 1, 2,
n1 n1
A AAn An
n1
n1
A * A
综上所述(A)= *(A)
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（2） A B
若B An，An A，n 1,2,
n1
必有：A An，An A，n 1,2,
n1
即覆盖B的集合序列一定覆盖A
一、 测度及其性质
定义1.2.1 设A是由的一些子集组成的非空集合类， 若对每一个A A ，有一实数或者∞与之对应(为确
定起见，下面假定只取+ ∞ )，记为(A) ，且至少有一 A A ，使其取有限值，则称(A) 是定义在A上的集函
数。 有限可加集函数 -可加集函数或广义测度
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一、 测度及其性质
k 1
Ank
*
An
2n
，An
k 1
Ank
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但 An
Ank，则由外测度的定义， 有：
n1
n1 k 1
*
An
n1
n1 k1
Ank
n1
* An
2n
* An
n1
由的任意性，即得外测度 的次可加性成立。
注意：若An ，n 1, 2, N，因此：
n1
n1
n1
n1
*
An
A
*
An
A
*
AD
*
AD
由的任意性，n1则有： n1
* D * AD * AD
即：AA *，则A A *
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第二部分：唯一性 A是集代数， 是A上的-有限测度，则存在：
Dn A，n 1,2,，Di Dj ，i j，使得：
Dn ，且 Dn ，n 1,2,
v* A v* B
即：外测度是单调上升的函数。
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（3）若An ，n 1,2,
若 * An ， 则结论显然成立。
n1
若 * An :
n1
由定义： *
An
inf
k1
Ank
：An
k 1
Ank
,
Ank
A
0和每个An，Ank A，k 1,2,，使得：
k 1
令n，有：
v* D
v*
Ak
D
v*
Ak
D
k 1
k 1
v*
k 1
Ak
D
v*
k 1
Ak
D
则： Ak A * ，则A *是-代数。
k 1
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（1.2.6）
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引理1.2.3 A *满足：
（2）若An A*，n 1,2,，Ai Aj ，i j
A An，故对D ，有 *AD *AnD
例：S1
(1)n
n
,n
1, 2,
,
S2
1
n
,n
1, 2,
inf S1 1,
inf S2 0
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下面讨论外测度的性质：
引理1.2.1 由集代数A上的测度引出的FΩ上的外测度 *，满足：
（1）A A， * A A， * 0
（2）若A B ， * A * B 不减性
v* A1D v* A1A2D v* A1 A2 An1AnD v* A1 A2 An1 AnD
v*
A1D
v*
A2
D
v*
An
D
v*
n
Ak
D
k 1
n
v*
Ak
D
v*
Ak
D
k 1
k 1
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由前面结论，有：
v* D
n
v*
Ak
D
v*
Ak
D
k 1
则称2是1在A2上的扩张(1是2在A1上的限制)。
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以下讨论的前提是A是上的集代数，是A上的测度
1、FΩ上的外测度*(A) SA
对任意A FΩ，定义
* A inf An ：A An , An A 1.2.1
n1
n1
称FΩ上的v*是由A上的v所引出的外测度。
(所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。)
* D * AD * AD ，显然：A A *
（1.2.4）式的定义具有对称性
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么么么么方面
Sds绝对是假的
c、A，BA *，有：A∪BA *
若A，BA *，则对D ，有：
v* D v* AD v* AD
v* AD v* ABD v* ABD
v* A ABD v* A BD
v*A BD v* A B D （1.2.5）
则有：A∪B A *
综上所述知A *是集代数。
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下面说明A *是-代数，只需证A *对可列不交并运算 封闭。
设An A *，n=1,2,…， Ai Aj=，ij，则：对 D，有：
v* D v* A1D v* A1D
v* A1D v* A1A2D v* A1 A2D
我们记A *为所有 *可测集组成的集合类。
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引理1.2.3 A *满足：
（1） A *是-代数；(若集代数对可列不交并封 闭则为-代数） 证明： （1） 首先证明A *是集代数
a、∵ *(Ø )=0，D ，有：
* D * D * * D * D
A *
b、A A *，则对D ，有：
F，v* A * v*
F，v*
？ A * v* Av
问题： A *是否是包含
A的-代数？
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3、测度扩张定理
F，v* A * v* A v=v*
若A *是包含A的-代数，则 *便是定义在A上的测 度在A *上的一个扩张；进一步地，这样的扩张唯 一吗？为了保证唯一性，不必将 扩张到A *上，而
n1
n1
证明：由 A *是 代数，则 A An A *
n1
D ，有：
*
D
*
An
D
*
An D
n1
n1
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由前面的结论，有:
*
D
*
An
D
*
AnD
n1
n1
由（1.2.6）式：
*
D
*
k 1
Ak D
*
k 1
Ak
D
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二、测度的扩张定理
何产有生了测定度义在在A2集，-代v代2数数A(上A)的上测的度扩张，？我最们后考得虑到如 “测度扩张定理”。A1 v1=v2
首先必须明白什么叫“扩张”？
定义1.2.3 A1，A2是上的两个非空集合类，且A1
A2， i是Ai的测度(i=1,2)，
若对AA1 ,有1(A)=2(A)，
*
k 1
Ak
D
*
k 1
Ak
D
*
D = *
k 1
Ak D
*
k 1
Ak
D
*
k 1
Ak
D
*
k 1
Ak
D
则： *Ak D *AD k 1
结论得证。
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（3）欲证 *是A *上的测度，只须说明 *在A *
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上满足-可加性。
在（2）的结论中取 D A An A *，则对D
只需扩张到(A)即可。
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定理1.2.4 设是Ω的集代数A上的测度，则在(A) 上 存在一个扩张；如果在A上是-有限的，则在(A)
上的扩张是唯一的。
证明：显然第一部分只需证： A A *
这是因为若A A *，则(A ) A * , *是A *上的测度，
则是(A )上的测度，且对A A， *A A
lim
n
An
Ak
k1
则称在A处上连续。
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一、 测度及其性质
定理1.2.2 设是集代数A上的-可加集函数 （或测度），则有限可加且连续。
即集代数上的测度是连续的。
定理1.2.3 设是集代数A上的有限可加集函数 （或有限可加测度），若满足下列条件之一：
（1） 是下连续的； （2） 有限，且在处连续， 则是-可加集函数（或测度）。
若对每一A A ， (A)都取有限值，则称为A上的
有限集函数；
若对每一A A ，存在一集合序列{An} A ， 使：
A An， An ,n 1,2,
n1
则称为A上的-有限集函数。
若A为集代数，则{An}还可以是两两不交的。
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一、 测度及其性质
若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可 加测度；
（3）若An ，n 1,2,，因此：
*
n1
An
*
n1
An
证明：（1）因AA，由外测度定义，有： * (A) (A)
因此，只需证明* (A) (A)
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下面证明* (A) (A)，只需说明(A)为A的所有 覆盖的测度和的下界即可
若A An，An A，n 1,2,
n1
注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。
外测度不见得是测度！！！
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下确界：
对于给定的数集S={x}，若数满足条件：
(1) 是S的下界，即对xS，有x;
(2)对任何大于的数，一定存在S中某个 数x0， 使得x0< . (即对>0, x0S,使得 x0<+) 则称为数集S的下确界，记作： =inf S
i1
A Ai i1
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一、 测度及其性质
定义1.2.2 设是定义在集合类A上的集函数，若对A 中任意
满足条件An，且
An AA 的集合序列{An}，有：
n1
lim
n
则称在A处下连续。
An
Ak
k1
若对A 中任意满足条件An ， An A ,且A至少存在一m使
( Am ) 的{ An }，都有 n1
*
N
An
N
*
An
n1 n1
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问题： 外测度 * 在FΩ上未必满足-可加性!
为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们
引入 *可测集的概念，并构成一个新的集合类A
* ，从下面的分析可以看到，该集合类A *不仅为
-代数，而且 * 是A *上的测度。
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由引理1.2.1，有 *()=0
由引理1.2.1(3)知外测度函数 *具有次可加性，
则在引理1.2.1(3)中取
A1 AD， A2 AD， An Φ， n 3,4,
则：ν* D ν* DΩ
ν* D A A Φ
ν* AD ν* AD
综合已知条件，充分性 得证
2、 *可测集
设A ，若对任意的D ，都有：
* D * AD * AD （1.2.3）
则称A是 *可测集
*可测集具有下列性质：
引理1.2.2 A是 *可测集 D ，有：
* D * AD * AD
（1.2.4）
证明：必要性显然成立 下面简单说明充分性：
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n1
*
n1
An
*
n1
An
考虑到v*()=0，所以A A *上，有： v*(A)0
则v*是A *上的测度。
整个引理的证明完毕。
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3、测度扩张定理
对任意A FΩ，定义
*
A
inf
An ：A
An , An A
F，v*
n1
n1
A v=v*
*是A *上的测度
*不降，满 足次可加性
于是 *是 在(A ) 上的扩张。
A
A
，
D，
>0，存在A
中集序列An，n=1,2,
使得D An，且 * D An
n 1
n 1
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由*是A上的测度，且 AD An A，AD An A
n1
n1
由A是集代数，因此A，An A，An A A，则：
* D An A An A * An A * An A
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下面证明为单调类：
n1
(1)首先证明：若1，2是在(A)上的任意两个扩 张，证明对A (A)及任意的正整数n，有：
1(ADn)=2 (ADn) （1.2.8）
(2)再证明对A (A)，有1(A)=2 (A)
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(1)对给定的n，令： ={A：A (A)， 1(ADn)=2 (ADn)}
下证： = (A) 显然A ，且 (A)。 （∵ A A ，因A 为集代数，则： ADn A， 必有： (ADn)= 1(ADn)=2 (ADn)，则A ） 若能证明为单调类，则(A) 另： A为集代数，则： (A)= (A) 所以： (A) ，即： = (A)，结论得证。
若集函数为-可加且只取非负值，则称为测度，用 或 表示；
具有性质 A 且()=1 的测度，称为概率测度或
概率，用P表示。
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一、 测度及其性质
定理1.2.1 设为A上的集函数 1. 若是有限可加或-可加的，且A ，则 () = 0；
2. 若A为集代数， 有限可加或-可加测度(或非负的)， A，