北京市西城区第一学期期末高三级数学(理)试题及答案

X 市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末卷子
高三数学〔理科〕 2021.1
第一卷〔选择题 共40分〕
一、 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．假设集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =
〔A 〕{|13}x x -<< 〔B 〕{|10}x x -<< 〔C 〕{|02}x x <<
〔D 〕{|23}x x <<
2．以下函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 〔A 〕1y x =-+
〔B 〕|1|y x =-
〔C 〕sin y x =
〔D 〕1
2y x =
3．执行如下列图的程序框图，输出的S 值为 〔A 〕2 〔B 〕6 〔C 〕30 〔D 〕270
4．M 为曲线C ：3cos ,
sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
〔θ为参数〕上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值
是 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3
〔D 〕4
5．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪
+-⎨⎪-+⎩
≥≥≥ 则2x y -的取值范围是
〔A 〕[0,2] 〔B 〕(,0]-∞ 〔C 〕[1,2]- 〔D 〕[0,)+∞
6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b 〞是“|2||2|+=+a b a b 〞的 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件
〔D 〕既不充分也不必要条件
7．A ，B 是函数2x
y =的图象上的相异两点．假设点A ，B 到直线1
2
y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 〔A 〕(,1)-∞-
〔B 〕(,2)-∞-
〔C 〕(1,)-+∞
〔D 〕(2,)-+∞
8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度〔单位mol/L ，记作[H ]+〕和氢氧根离子的物质的量的浓度〔单位mol/L ，记作[OH ]-〕的乘积等于常数1410-．pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人
体血液中的[H ][OH ]
+-可以为
〔参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈〕 〔A 〕
12
〔B 〕
13
〔C 〕
16
〔D 〕
110
第二卷〔非选择题 共110分〕
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．在复平面内，复数
2i
1i
-对应的点的坐标为____． 10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．假设21
2
a =，则n a =____；5S =____．
11．在△ABC 中，3a =，3
C 2π∠=
，△ABC ，则 c =____．
12．把4件不同的产品摆成一排．假设其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不
同的摆法有____种．〔用数字作答〕
13．从一个长方体中截取局部几何体，得到一个以原长方体的
局部顶点为顶点的凸多面体，其三视图如下列图．该几何
体的外表积是____．
14．函数2,2,()1,
3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪
=⎨<⎪⎩≤≤≤
假设0c =，则()f x 的值域是____；假设()f x 的值
域是1[,2]4
-，则实数c 的取值范围是____． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．〔本小题总分值13分〕
函数2π
()2sin cos(2)3
f x x x =-+．
〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期；
〔Ⅱ〕求()f x 在区间π[0,]2
上的最大值． 16．〔本小题总分值13分〕
表1和表2是某年局部日期的天安门广场升旗时刻表．
表1：某年局部日期的天安门广场升旗时刻表
〔Ⅰ〕从表1的日期中随机选出一天，试估量这一天的升旗时刻早于7:00的概率； 〔Ⅱ〕甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记
X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．
〔Ⅲ〕将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据〔如7:31化为317
60
〕．记表2中全部升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中全部升旗时刻对应数据的方差为2*s ，推断2s 与2*s 的大小．〔只需写出结论〕 17．〔本小题总分值14分〕
如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=. 过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . 〔Ⅰ〕求证：1A C ⊥平面1ABC ；
〔Ⅱ〕求证：四边形1AA EF 为平行四边形； 〔Ⅲ〕假设
2
3
BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 18．〔本小题总分值13分〕
函数()e sin 1ax
f x x =⋅-，其中0a >．
〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． 19．〔本小题总分值14分〕
椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(2,0)A ．
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕设直线y kx =+C 交于,M N 两点．假设直线3x =上存在点P ，使得四边形
PAMN 是平行四边形，求k 的值．
20．〔本小题总分值13分〕
数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或
1(1,2,
,1)k n =-．
对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,
,}i j s t n ∈且两两不相等．
〔Ⅰ〕假设2m =，写出以下三个数列中全部符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 〔Ⅱ〕记12n S a a a =++
+．假设3m =，证明：20S ≥；
〔Ⅲ〕假设2018m =，求n 的最小值．
X 市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末
高三数学〔理科〕参考答案及评分标准
2021.1
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.
1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.
9．(1,1)- 10．32n -，
31
4
1112．8 13．36 14．1
[,)4-+∞；1[,1]2
注：第10，14题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕因为2π
()2sin cos(2)3
f x x x =-+
ππ
1cos2(cos2cos sin 2sin )33
x x x =--⋅-⋅ [ 4分]
3
2cos21
22x x =
-+
[ 5分]
π
)13
x =-+， [ 7分]
所以()f x 的最小正周期 2π
π2
T ==．
[ 8分] 〔Ⅱ〕因为 π02
x ≤≤
， 所以 π
π2π
23
33
x --≤≤
． [10分] 当 ππ232x -
=，即5π
12
x =
时， [11分]
()f x 1． [13分]
16．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞， [ 1分]
在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，
所以 153
(A)204
P ==．
[ 3分] 〔Ⅱ〕X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，
则 51(B)153P =
=，2
(B)1(B)3
P P =-=．
[ 5分] 4
(0)(B)(B)9
P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1
(2)(B)(B)9
P X P P ==⋅=． [ 8分]
所以 X 的分布列为：
()0129993
E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]
注：学生得到X ~1
(2,)3
B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．
〔Ⅲ〕22
*s s <． [13分]
17．〔本小题总分值14分〕
解：〔Ⅰ〕因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]
因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]
所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] 〔Ⅱ〕因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF
平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]
因为 平面//ABC 平面111A B C ，
平面1AA EF
平面ABC AF =，平面1AA EF
平面1111A B C A E =，
所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] 〔Ⅲ〕在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．
因为 AB ⊥平面11AA C C ，
如图建立空间直角坐标系A xyz -．
[ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1A ，1
C ．
因为
2
3
BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24
(,,0)33
F ．
由〔Ⅰ〕得平面1ABC
的法向量为1(0,1,A C −−→
=
设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，
则10,0,AC AF −−
→−−
→
⎧⋅=⎪⎨
⎪⋅=⎩
n n 即30,
24
0.
3
3y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
令1y =，则2x =-
，z =所以
(2,1,=-n ． [11分]
所以
111|||cos ,|||||
A C A C A C −−→
−−→
−−→
⋅〈〉=
=
n n n [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，
所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]
18．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )x
f x x x '=+． [ 2分]
因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]
〔Ⅱ〕()e (sin cos )ax
f x a x x '=+． [ 6分]
由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π
()02
f '≠． [ 8分]
当 π
π
(0,)
(,π)2
2
x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．
所以 存在唯一的0π
(,π)2
x ∈， 使得 01tan x a =-． [ 9分]
()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：
所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]
因为
π
020π
()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]
且 (0)(π)10f f ==-<，
所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]
19．〔本小题总分值14分〕
解：〔Ⅰ〕由题意得 2a =
，c e a =
=
， 所以
c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分]
所以 椭圆C 的方程为 2
214
x y +=．
[ 5分] 〔Ⅱ〕假设四边形PAMN 是平行四边形，
则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-， 所以 (3,)P k
，||PA = [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ． 由
22
44,
y kx x y ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩
得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 21
2
k >．
且12x x +=122
8
41
x x k =+． [ 9分] 所以
||MN
=． [10分]
因为 ||||PA MN =， 所以
整理得 421656330k k -+=， [12分]
解得
k =，或
k = [13分]
经检验均符合0∆>
，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．
所以
k =，或
2k =± [14分]
20．〔本小题总分值13分〕
解：〔Ⅰ〕②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．
〔Ⅱ〕当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+〔对任意2s t >>〕，
与矛盾，所以 14q ≥． 同理可证：34q ≥． [ 5分]
② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,
,}k n ∈，使得2k a =．
那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+〔,,k s t 两两不相等〕， 与矛盾，所以22q ≥． [ 7分]
综上：1324,4,2q q q ≥≥≥， 所以 3
120i i S iq ==∑≥． [ 8分]
〔Ⅲ〕设1,2,
,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．
同〔Ⅱ〕的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．
取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,
,2016i q i == ，得到的数列为：
:1,1,1,1,2,2,3,4,
,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ．
[10分] 下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,
,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，
① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；
③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个
数最多被选取了一次，因此也成立．
综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,
,}i j s t n ∈且两
两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。