2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件：5.1 5.1.1 任 意 角
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第五章 三角函数 5．1 任意角和弧度制
第一页，编辑于星期日：点 二十九分。
知识点一 任意角的概念 (一)教材梳理填空 (1)角的概念
角可以看成平面内 一条射线 绕着它的 端点 旋转所成的图形． (2)角的表示
如图，①始边：射线的 起始 位置 OA；②终边： 射线的 终止 位置 OB； ③顶点：射线的端点 O； ④记法：图中的角 α 可记为“角 α”或“∠α”或“∠AOB”．
第二十页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．在直角坐标系中写出下列角的集合： (1)终边在 x 轴的非负半轴上； (2)终边在 y＝x(x≥0)上． 解：(1)在 0°～360°范围内，终边在 x 轴的非负半轴上的角 有一个：0°.故终边落在 x 轴的非负半轴上的角的集合为 {α|α＝k·360°，k∈Z }． (2)在 0°～360°范围内，终边在 y＝x(x≥0)上的角有一个： 45°.故终边在 y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋ 45°，k∈Z }．
解析：有任意角的概念，知 D 正确．
答案：D
第五页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．在图中从 OA 旋转到 OB，OB1，OB2 时所成的角度分 别是________、________、________.
解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°. 图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°. 答案：390° －150° 60°
第二十六页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．已知 α 是第二象限角，试确定 2α，α2的终边所在的位置． 解：因为 α 是第二象限角，所以 k·360°＋90°＜α＜k·360°＋
180°，k∈Z .
所以 2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z ，所以 2α 的终边在第三或第四象限或终边在 y 轴的非正半轴上．
第九页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________， 最大负角是________． 解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋ 240°，k∈Z }，所以最小正角为 240°，最大负角为－120°. 答案：240° －120°
第二十四页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 －360°～360°范围内的角 α 和 β，写出最简区间{x|α＜x＜β}， 其中 β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角 α，β 再加上 360°的整数倍， 即得区域角集合．
第十九页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．[变结论]本例条件不变，指出 α 所在象限及 720°～1 080° 之间的角． 解：∵－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， ∴α 在第四象限． 令 720°＜－45°＋k·360°＜1 080°(k∈Z )， 解得 k＝3. ∴在 720°～1 080°之间与其终边相同的角为 －45°＋3×360°＝1 035°.
为第一象限角}，D＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式
中成立的是
()
A．A＝B
B．B＝C
C．A＝C
D．A＝D
解析：集合 A 中锐角 θ 满足 0°＜θ＜90°；而集合 B 中
θ＜90°，可以为负角；集合 C 中 θ 满足 k·360°＜θ＜k·360°
＋90°，k∈Z ；集合 D 中 θ 满足 0°＜θ＜90°.故 A＝D. 答案：D
第十页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型一 与任意角有关的概念辨析 [学透用活]
解读任意角的概念 三个要素：顶点、始边、终边． (1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任 意角，包括任意大小的正角、负角和零角． (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．
第十一页，编辑于星期日：点 二十九分。
第二十五页，编辑于星期日：点 二十九分。
[对点练清] 1．如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同
的角的集合如何表示？
解：在 0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可 表示为：150°≤β≤225°， 则所有满足条件的角 β 为 {β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z }．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
() () () ()
第八页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．与 610°角终边相同的角表示为(其中 k∈Z )
()
A．k·360°＋230° C．k·360°＋70°
B．k·360°＋250° D．k·180°＋270°
解析：∵610°＝360°＋250°，∴610°与 250°角的终边相同， 故选 B. 答案：B
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于 90°
D．第二象限的角一定大于第一象限的角
[解析] －355°是第一象限的角，但不是正角，所以 A 错
误；三角形的内角可能是 90°，所以 B 错误；锐角小于 90°，
C 正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但 45°>
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． [解析] ①终边落在 OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋ 45°＋k·360°，k∈Z }＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z }； 终边落在 OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°， k∈Z }． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有 介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区 域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z }．
第十五页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．已知角 α 在平面直角坐标系中，如图所示，
其中射线 OA 与 y 轴正半轴的夹角为 30°，
则 α 的值为
()
A．－480°
B．－240°
C．150°
D．480°
解析：由角 α 的终边绕原点 O 按逆时针方向旋转，可知 α 为正角．又旋转量为 480°，∴α＝480°.
值，求出满足条件的角． 2．与终边相同的角的有关结论 (1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍． (2)终边在直线上的角之间相差 180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍． [提醒] 表示终边相同的角时，k∈Z 这一条件不能省略．
第十八页，编辑于星期日：点 二十九分。
终边相 集合 S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z }，即任一与角 α 终边
同的角 相同的角 β，都可以表示成角 α 与整数个 周角 的和
第七页，编辑于星期日：点 二十九分。
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)终边相同的角一定相等． (2)－30°是第四象限角． (3)第二象限角是钝角． (4)225°是第三象限角．
第二页，编辑于星期日：点 二十九分。
(3)角的分类
名称
定义
一条射线绕其端点按 逆时针 方向 正角
旋转形成的角
一条射线绕其端点按顺时针 方向旋 负角
转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
图形
第三页，编辑于星期日：点 二十九分。
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)小于 90°的角都是锐角.
()
第二十一页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型三 象限角与区间角的表示 [学透用活]
[典例 3] (1)420°是第________象限的角． [解析] 因为 420°＝360°＋60°， 所以在 0°～360°范围内，与 420°角终边相同的角是 60°， 它是第一象限的角． 答案：一
第二十二页，编辑于星期日：点 二十九分。
－200°，所以 D 错误．故选 C.
[答案] C
第十二页，编辑于星期日：点 二十九分。
(2)期末考试，数学科从上午 8 时 30 分开始，考了 2 小时．
从考试开始到考试结束分针转过了
()
A．360°
B．720°
C．－360°
D．－720°
[解析] 因为分针转一圈(即 1 小时)是－360°，所以从考 试开始到考试结束分针转过了－720°.故选 D.
－45°＋k·360°，k∈Z }．
(1)最小的正角为 315°. (2)最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
第十七页，编辑于星期日：点 二十九分。
[方法技巧]
1．确定在某范围内终边相同的角的基本思路 求与已知角 α 终边相同的角，先将这样的角表示成 k·360° ＋α(k∈Z )的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定 k 的
答案：D
第十六页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型二 终边相同的角的表示及应用 [学透用活]
[典例 2] 已知 α＝－1 845°，在与 α 终边相同的角中，求 满足下列条件的角．
(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角． [解] 因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与 －45°角的终边相同，所以与角 α 终边相同的角的集合是{β|β＝
[对点练清] 1．[变条件]若本例条件“α＝－1 845°”变为“α＝10 030°”，
完成问题中(1)(2)．
解：与 10 030°角终边相同的角的一般形式为 β＝k·360°＋ 10 030°(k∈Z )． (1)由 0°＜k·360°＋10 030°＜360°得－10 030°＜k·360°＜ －9 670°(k∈Z )，解得 k＝－27，故所求的最小正角为 β＝ 10 030°－27×360°＝310°. (2)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°得－10 390°＜k·360°＜ －10 030°(k∈Z )，解得 k＝－28，故所求的最大负角为 β＝ 10 030°－28×360°＝－50°.
(2)终边与始边重合的角为零角．
()
(3)大于 90°的角都是钝角．
()
(4)将时钟拨快 20 分钟，则分针转过的度数是 120°.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
第四页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．下列说法正确的是 A．最大的角是 180° C．角不可以是负的
() B．最大的角是 360° D．角可以是任意大小
第二十七页，编辑于星期日：点 二十九分。
第二十三页，编辑于星期日：点 二十九分。
[方法技巧] 1．象限角的判定方法 (1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相 同的角的思想，因为 0°～360°之间的角与坐标系中的射线可 建立一一对应的关系． (2)将角转化到 0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在 0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
第六页，编辑于星期日：点 二十九分。
知识点二 平面直角坐标系中的任意角 (一)教材梳理填空
在直角坐标系中，角的顶点与 原点 重合，角的始边与
条件 x 轴的 非负半轴 重合 角的 终边 落在第几象限，我们就说这个角是第几象限
象限角 的角 角的终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一
轴线角 个象限，可称为轴线角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内可构成一个
因为 k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z ， 所以 k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°，k∈Z ， 当 k＝2n，n∈Z 时，n·360°＋45°＜α2＜n·360°＋90°， 即α2的终边在第一象限； 当 k＝2n＋1，n∈Z 时，n·360°＋225°＜α2＜n·360°＋270°， 即α2的终边在第三象限． 所以α2的终边在第一或第三象限．
[答案] D
第十三页，编辑于星期日：点 二十九分。
[方法技巧] 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、 周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说 法错误只要举出反例即可．
第十四页，编辑于星期日：点 二十九分。
[对点练清]பைடு நூலகம்
1．设集合 A＝{θ|θ 为锐角}，B＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C＝{θ|θ
第一页，编辑于星期日：点 二十九分。
知识点一 任意角的概念 (一)教材梳理填空 (1)角的概念
角可以看成平面内 一条射线 绕着它的 端点 旋转所成的图形． (2)角的表示
如图，①始边：射线的 起始 位置 OA；②终边： 射线的 终止 位置 OB； ③顶点：射线的端点 O； ④记法：图中的角 α 可记为“角 α”或“∠α”或“∠AOB”．
第二十页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．在直角坐标系中写出下列角的集合： (1)终边在 x 轴的非负半轴上； (2)终边在 y＝x(x≥0)上． 解：(1)在 0°～360°范围内，终边在 x 轴的非负半轴上的角 有一个：0°.故终边落在 x 轴的非负半轴上的角的集合为 {α|α＝k·360°，k∈Z }． (2)在 0°～360°范围内，终边在 y＝x(x≥0)上的角有一个： 45°.故终边在 y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋ 45°，k∈Z }．
解析：有任意角的概念，知 D 正确．
答案：D
第五页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．在图中从 OA 旋转到 OB，OB1，OB2 时所成的角度分 别是________、________、________.
解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°. 图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°. 答案：390° －150° 60°
第二十六页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．已知 α 是第二象限角，试确定 2α，α2的终边所在的位置． 解：因为 α 是第二象限角，所以 k·360°＋90°＜α＜k·360°＋
180°，k∈Z .
所以 2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z ，所以 2α 的终边在第三或第四象限或终边在 y 轴的非正半轴上．
第九页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________， 最大负角是________． 解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋ 240°，k∈Z }，所以最小正角为 240°，最大负角为－120°. 答案：240° －120°
第二十四页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 －360°～360°范围内的角 α 和 β，写出最简区间{x|α＜x＜β}， 其中 β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角 α，β 再加上 360°的整数倍， 即得区域角集合．
第十九页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．[变结论]本例条件不变，指出 α 所在象限及 720°～1 080° 之间的角． 解：∵－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， ∴α 在第四象限． 令 720°＜－45°＋k·360°＜1 080°(k∈Z )， 解得 k＝3. ∴在 720°～1 080°之间与其终边相同的角为 －45°＋3×360°＝1 035°.
为第一象限角}，D＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式
中成立的是
()
A．A＝B
B．B＝C
C．A＝C
D．A＝D
解析：集合 A 中锐角 θ 满足 0°＜θ＜90°；而集合 B 中
θ＜90°，可以为负角；集合 C 中 θ 满足 k·360°＜θ＜k·360°
＋90°，k∈Z ；集合 D 中 θ 满足 0°＜θ＜90°.故 A＝D. 答案：D
第十页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型一 与任意角有关的概念辨析 [学透用活]
解读任意角的概念 三个要素：顶点、始边、终边． (1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任 意角，包括任意大小的正角、负角和零角． (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．
第十一页，编辑于星期日：点 二十九分。
第二十五页，编辑于星期日：点 二十九分。
[对点练清] 1．如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同
的角的集合如何表示？
解：在 0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可 表示为：150°≤β≤225°， 则所有满足条件的角 β 为 {β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z }．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
() () () ()
第八页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．与 610°角终边相同的角表示为(其中 k∈Z )
()
A．k·360°＋230° C．k·360°＋70°
B．k·360°＋250° D．k·180°＋270°
解析：∵610°＝360°＋250°，∴610°与 250°角的终边相同， 故选 B. 答案：B
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于 90°
D．第二象限的角一定大于第一象限的角
[解析] －355°是第一象限的角，但不是正角，所以 A 错
误；三角形的内角可能是 90°，所以 B 错误；锐角小于 90°，
C 正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但 45°>
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． [解析] ①终边落在 OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋ 45°＋k·360°，k∈Z }＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z }； 终边落在 OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°， k∈Z }． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有 介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区 域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z }．
第十五页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．已知角 α 在平面直角坐标系中，如图所示，
其中射线 OA 与 y 轴正半轴的夹角为 30°，
则 α 的值为
()
A．－480°
B．－240°
C．150°
D．480°
解析：由角 α 的终边绕原点 O 按逆时针方向旋转，可知 α 为正角．又旋转量为 480°，∴α＝480°.
值，求出满足条件的角． 2．与终边相同的角的有关结论 (1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍． (2)终边在直线上的角之间相差 180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍． [提醒] 表示终边相同的角时，k∈Z 这一条件不能省略．
第十八页，编辑于星期日：点 二十九分。
终边相 集合 S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z }，即任一与角 α 终边
同的角 相同的角 β，都可以表示成角 α 与整数个 周角 的和
第七页，编辑于星期日：点 二十九分。
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)终边相同的角一定相等． (2)－30°是第四象限角． (3)第二象限角是钝角． (4)225°是第三象限角．
第二页，编辑于星期日：点 二十九分。
(3)角的分类
名称
定义
一条射线绕其端点按 逆时针 方向 正角
旋转形成的角
一条射线绕其端点按顺时针 方向旋 负角
转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
图形
第三页，编辑于星期日：点 二十九分。
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)小于 90°的角都是锐角.
()
第二十一页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型三 象限角与区间角的表示 [学透用活]
[典例 3] (1)420°是第________象限的角． [解析] 因为 420°＝360°＋60°， 所以在 0°～360°范围内，与 420°角终边相同的角是 60°， 它是第一象限的角． 答案：一
第二十二页，编辑于星期日：点 二十九分。
－200°，所以 D 错误．故选 C.
[答案] C
第十二页，编辑于星期日：点 二十九分。
(2)期末考试，数学科从上午 8 时 30 分开始，考了 2 小时．
从考试开始到考试结束分针转过了
()
A．360°
B．720°
C．－360°
D．－720°
[解析] 因为分针转一圈(即 1 小时)是－360°，所以从考 试开始到考试结束分针转过了－720°.故选 D.
－45°＋k·360°，k∈Z }．
(1)最小的正角为 315°. (2)最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
第十七页，编辑于星期日：点 二十九分。
[方法技巧]
1．确定在某范围内终边相同的角的基本思路 求与已知角 α 终边相同的角，先将这样的角表示成 k·360° ＋α(k∈Z )的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定 k 的
答案：D
第十六页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型二 终边相同的角的表示及应用 [学透用活]
[典例 2] 已知 α＝－1 845°，在与 α 终边相同的角中，求 满足下列条件的角．
(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角． [解] 因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与 －45°角的终边相同，所以与角 α 终边相同的角的集合是{β|β＝
[对点练清] 1．[变条件]若本例条件“α＝－1 845°”变为“α＝10 030°”，
完成问题中(1)(2)．
解：与 10 030°角终边相同的角的一般形式为 β＝k·360°＋ 10 030°(k∈Z )． (1)由 0°＜k·360°＋10 030°＜360°得－10 030°＜k·360°＜ －9 670°(k∈Z )，解得 k＝－27，故所求的最小正角为 β＝ 10 030°－27×360°＝310°. (2)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°得－10 390°＜k·360°＜ －10 030°(k∈Z )，解得 k＝－28，故所求的最大负角为 β＝ 10 030°－28×360°＝－50°.
(2)终边与始边重合的角为零角．
()
(3)大于 90°的角都是钝角．
()
(4)将时钟拨快 20 分钟，则分针转过的度数是 120°.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
第四页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．下列说法正确的是 A．最大的角是 180° C．角不可以是负的
() B．最大的角是 360° D．角可以是任意大小
第二十七页，编辑于星期日：点 二十九分。
第二十三页，编辑于星期日：点 二十九分。
[方法技巧] 1．象限角的判定方法 (1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相 同的角的思想，因为 0°～360°之间的角与坐标系中的射线可 建立一一对应的关系． (2)将角转化到 0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在 0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
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知识点二 平面直角坐标系中的任意角 (一)教材梳理填空
在直角坐标系中，角的顶点与 原点 重合，角的始边与
条件 x 轴的 非负半轴 重合 角的 终边 落在第几象限，我们就说这个角是第几象限
象限角 的角 角的终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一
轴线角 个象限，可称为轴线角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内可构成一个
因为 k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z ， 所以 k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°，k∈Z ， 当 k＝2n，n∈Z 时，n·360°＋45°＜α2＜n·360°＋90°， 即α2的终边在第一象限； 当 k＝2n＋1，n∈Z 时，n·360°＋225°＜α2＜n·360°＋270°， 即α2的终边在第三象限． 所以α2的终边在第一或第三象限．
[答案] D
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[方法技巧] 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、 周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说 法错误只要举出反例即可．
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[对点练清]பைடு நூலகம்
1．设集合 A＝{θ|θ 为锐角}，B＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C＝{θ|θ