2019年江苏省无锡市江阴一中中考数学一模试卷 解析版

2019年江苏省无锡市江阴一中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）tan60°的值等于（）
A．1B．C．D．2
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．（ab）3＝a3b B．
C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）
A．x＞﹣5B．x≥﹣5C．x＞0D．x≥0
4．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．
5．（3分）某学习小组为了解本城市100万成年人中大约有多少人吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有10个成年人吸烟．对于这个数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）
A．该调查的方式是普查
B．样本容量是50
C．本城市只有40个成年人不吸烟
D．本城市一定有20万人吸烟
6．（3分）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）
A．24B．12C．6D．3
7．（3分）在平面几何中，下列命题为真命题的是（）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
8．（3分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）
A．﹣2B．﹣2C．﹣8D．﹣7
10．（3分）如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△ABD与△ACD的面积分别为3和6，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为（）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分
11．（2分）因式分解：2a2﹣8a+8＝．
12．（2分）0.0002011用科学记数法可表示为．
13．（2分）已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是5，这组数据的中位数是．14．（2分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1和x2，则x1+x2＝．15．（2分）要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为3cm，圆心角为150°的扇形纸板制成的，那么这个圆锥模型的侧面积为cm2．
16．（2分）反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k的值等于．17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝32°，则∠D＝度．
18．（2分）如图，在边长为5cm的正方形纸片ABCD中，点F在边BC上，已知FB＝2cm．如果将纸折起，使点A落在点F上，则tan∠GEA＝．
三、解答题：本大题共10小题，共84分
19．（8分）计算：
（1）计算：（+π）0﹣|﹣3|+（）﹣1
（2）化简：（1﹣）÷．
20．（8分）解方程与不等式组：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：
21．（7分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．（1）求证：△BCE≌△DCE；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
22．（8分）某校九年级所有学生参加2011年初中毕业英语口语、听力自动化考试，我们从中随机抽取了部分学生的考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：25分～30分；B级：20分～24分；C级：15分～19分；D级：15分以下）
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中D级所占的百分比是；
（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是；
（4）若该校九年级有850名学生，请你估计全年级A级和B级的学生人数共约为人．
23．（7分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
24．（8分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
25．（8分）某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区⊙M （如图所示），M是OA上一点，⊙M与BC相切，观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米．经测量，OA＝60米，OB＝170米，tan∠OBC＝．
（1）求栈道BC的长度；
（2）当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？
26．（10分）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从
今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．
（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy内，正方形AOBC顶点C的坐标为（2，2），过点B的直线∥OC，P是直线上一个动点，抛物线y＝ax2+bx过O、C、P三点．
（1）填空：直线的函数解析式为；a，b的关系式是．
（2）当△PBC是等腰Rt△时，求抛物线的解析式；
（3）当抛物线的对称轴与正方形有交点时，直接写出点P横坐标x的取值范围．
28．（10分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点
纸片利用率＝×100%
发现：
（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
2019年江苏省无锡市江阴一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）tan60°的值等于（）
A．1B．C．D．2
【分析】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】解：tan60°＝．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．（ab）3＝a3b B．
C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】分别根据完全平方公式以及积的乘方和同底数幂的乘法运算公式求出即可．【解答】解：A、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
B、＝＝﹣1，故此选项正确；
C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方和同底数幂的乘法运算公式等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）
A．x＞﹣5B．x≥﹣5C．x＞0D．x≥0
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+5＞0，
解得x＞﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（3分）某学习小组为了解本城市100万成年人中大约有多少人吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有10个成年人吸烟．对于这个数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）
A．该调查的方式是普查
B．样本容量是50
C．本城市只有40个成年人不吸烟
D．本城市一定有20万人吸烟
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、是抽查，故A错误；
B、抽查50人，故B正确；
C、样本中有40人不抽烟，故C错误；
D 、说法太绝对，故D 错误；
故选：B ．
【点评】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6．（3分）如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2．若S ＝3，则S 1+S 2的值为（ ）
A ．24
B ．12
C ．6
D ．3
【分析】过P 作PQ 平行于DC ，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC 的面积，而△PBC 面积＝△CPQ 面积+△PBQ 面积，即为△PDC 面积+△PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
【解答】解：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，
∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，
∴△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，
∴S △PDC ＝S △CQP ，S △ABP ＝S △QPB ，
∵EF 为△PCB 的中位线，
∴EF ∥BC ，EF ＝BC ，
∴△PEF ∽△PBC ，且相似比为1：2，
∴S △PEF ：S △PBC ＝1：4，S △PEF ＝3，
∴S △PBC ＝S △CQP +S △QPB ＝S △PDC +S △ABP ＝S 1+S 2＝12．
故选：B ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
7．（3分）在平面几何中，下列命题为真命题的是（）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对每一项进行分析判断即可．
【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故本选项错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行四边形、矩形、菱形的判定，关键是熟练掌握每种四边形的判定方法．
8．（3分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）
A．B．
C．D．
【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；
B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，
大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；
C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；
D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．
【解答】解：根据分析可知，
选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．
故选：A．
【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
9．（3分）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）
A．﹣2B．﹣2C．﹣8D．﹣7
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．
【解答】解：连接AC，
由题意得，BC＝OB+OC＝9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC＝9，
在Rt△AOC中，AO＝＝2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△ABD与△ACD的面积分别为3和6，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为（）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【分析】根据AB∥CD，设＝＝m；＝＝n，得出OC＝mn•OB，OD＝n•OB，进而表示出△ABD与△ACD的面积，表示出E点坐标，进而得出k的值．
【解答】解：因为AB∥CD，设＝＝m；＝＝n，
得到：OA＝mOB，OC＝n•OA＝n•m•OB＝mn•OB，OD＝n•OB，
△ABD与△ACD的面积分别为3和6，
△ABD的面积＝（OA•BD）＝OA•（OB+OD）＝（m•OB）•（OB+n•OB）＝m •（n+1）•OB2＝3，
△ACD的面积＝（AC•OD）＝OD•（OA+OC）＝（n•OB）•（m•OB+mn•OB）＝m•n•（n+1）•OB2＝6，
两个等式相除，得到n＝2，代入得到m•OB2＝2，
BC的中点E点坐标为：（﹣OB，﹣OC），
k＝x•y＝﹣OB•（﹣OC）＝OB•m•n•OB＝××2×m•OB2＝×2＝1．故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知得出OC、OD、OB的关系，进而表示出△ABD与△ACD的面积是解题关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分
11．（2分）因式分解：2a2﹣8a+8＝2（a﹣2）2．
【分析】首先提取公因式2，进而利用公式法分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣8a+8＝2（a2﹣4a+4）＝2（a﹣2）2．
故答案为：2（a﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键．
12．（2分）0.0002011用科学记数法可表示为 2.011×10﹣4．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
【解答】解：0.000 201 1＝2.011×10﹣4．
故答案为：2.011×10﹣4．
【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（2分）已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是5，这组数据的中位数是6．【分析】根据题目中的平均数可以求得a的值，然后将这组数据按照从小到大的顺序排列即可得到这组数的中位数．
【解答】解：∵一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是5，
∴1+a+3+6+7＝5×5，
解得，a＝8，
∴这组数据按照从小打到排列为：1，3，6，7，8，
∴这组数据的中位数是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
14．（2分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1和x2，则x1+x2＝3．【分析】本题要求算出x1+x2的结果，x1+x2正好与两根之和公式一致，根据两根之和公式（韦达定理）可以求出x1+x2的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1和x2，
∴x1+x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．（2分）要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为3cm，圆心角为150°的扇形纸板制成的，那么这个圆锥模型的侧面积为cm2．
【分析】根据这个圆锥模型的侧面积为扇形的面积，即可解答．
【解答】解：这个圆锥模型的侧面积为：＝（cm2），
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是熟记圆锥侧面积是扇形．16．（2分）反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k的值等于8．【分析】把点（2，3）代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程即可求得k 的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3），
∴3＝，
解得，k＝8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝32°，则∠D＝26度．
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝26°，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（2分）如图，在边长为5cm的正方形纸片ABCD中，点F在边BC上，已知FB＝2cm．如果将纸折起，使点A落在点F上，则tan∠GEA＝．
【分析】如图作GM⊥AB于M，连接FG、AG，设AE＝EF＝x，在RT△BEF中利用勾股定理求出AE，设DG＝y，利用AG＝GF，列出方程求出DG，在RT△EGM中即可解决问题．
【解答】解：如图作GM⊥AB于M，连接FG、AG．
∵四边形EGHF是由四边形EGDA翻折得到，
∴EF＝EA，GF＝AG，
设EF＝AE＝x，在RT△EFB中，∵EF2＝BF2+BE2，
∴x2＝22+（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝EF＝，
设DG＝y，则y2+52＝（5﹣y）2+32，
∴y＝，
∵∠D＝∠DAB＝∠AMG＝90°，
∴四边形DAMG是矩形，
∴AM＝DG＝，EM＝AE﹣AM＝2，GM＝AD＝5，
∴tan∠AEG＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键，学会利用勾股定理列出方程，用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：本大题共10小题，共84分
19．（8分）计算：
（1）计算：（+π）0﹣|﹣3|+（）﹣1
（2）化简：（1﹣）÷．
【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂，然后计算加减法；
（2）先计算括号内的算式，化除法为乘法进行计算．
【解答】解：（1）原式＝1﹣3+2＝0；
（2）原式＝×＝x+1．
【点评】本题综合考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂、绝对值和负整数指数幂．通分、因式分解和约分是解答的关键．
20．（8分）解方程与不等式组：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得；
（2）分别求出每个不等式的解集，依据“大小小大中间找”可得答案．
【解答】解：（1）3（x﹣3）＝2﹣8x，
3x﹣9＝2﹣8x，
3x+8x＝2+9，
11x＝11，
x＝1，
检验：x＝1时，3x＝3≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）解不等式3x﹣4≤x，得：x≤2，
解不等式x+3＞x﹣1，得：x＞﹣8，
则不等式组的解集为﹣8＜x≤2．
【点评】本题考查了分式方程的解法和步骤及一元一次不等式组的解法和过程．在解答中注意分式方程要验根，不等式组的解集在表示的时候有等无等要分清楚．
21．（7分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．（1）求证：△BCE≌△DCE；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
【分析】（1）根据正方形的性质得出BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°，根据SAS推出即可；
（2）根据全等求出∠DEC＝∠BEC＝70°，根据三角形内角和定理求出∠FBC，根据平行线的性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°，
在△BCE和△DCE中
∴△BCE≌△DCE（SAS）；
（2）解：由全等可知，∠BEC＝∠DEC＝∠DEB＝×140°＝70°，
∵在△BCE中，∠CBE＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
∴在正方形ABCD中，AD∥BC，有∠AFE＝∠CBE＝65°．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出△BCE≌△DCE，难度适中．
22．（8分）某校九年级所有学生参加2011年初中毕业英语口语、听力自动化考试，我们从中随机抽取了部分学生的考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：25分～30分；B级：20分～24分；C级：15分～19分；D级：15分以下）
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中D级所占的百分比是10%；
（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是72°；
（4）若该校九年级有850名学生，请你估计全年级A级和B级的学生人数共约为561人．
【分析】（1）抽查人数可由B等所占的比例为46%，根据总数＝某等人数÷比例来计算，然后可由总数减去A、B、C的人数求得D等的人数，再画直方图；
（2）根据总比例为1计算出D等的比例．
（3）由总比例为1计算出A等的比例，对应的圆心角＝360°×比例．
（4）用九年级学生数乘以这次考试中A级和B级的学生所占百分比即可．
【解答】解：（1）抽查的人数为：23÷46%＝50，
∴D等的人数所占的比例为：1﹣46%﹣24%﹣20%＝10%；
D等的人数为：50×10%＝5，
（2）扇形统计图中D级所占的百分比是1﹣46%﹣24%﹣20%＝10%；
（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是：20%×360°＝72°．
（4）估计达到A级和B级的学生数＝（A等人数+B等人数）÷50×850＝（10+23）÷50×850＝561人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23．（7分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
【点评】本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
24．（8分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．
【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；
（2）解：这样的直线不唯一．
①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y＝﹣x+．
②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y＝﹣x+4．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（8分）某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区⊙M （如图所示），M是OA上一点，⊙M与BC相切，观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米．经测量，OA＝60米，OB＝170米，tan∠OBC＝．
（1）求栈道BC的长度；
（2）当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？
【分析】（1）过C点作CE⊥OB于E，过A作AF⊥CE于F，设出AF，然后通过解直角三角形求得CE，进一步得到BE，然后由勾股定理得出答案；
（2）设BC与⊙M相切于Q，延长QM交直线BO于P，设OM＝x，把PB、PQ用含有x的代数式不是，再结合观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
【解答】解：（1）如图1，过C点作CE⊥OB于E，过A作AF⊥CE于F，
∵∠ACB＝90°∠BEC＝90°，
∴∠ACF＝∠CBE，
∴tan∠ACF＝tan∠OBC＝，
设AF＝4x，则CF＝3x，
∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，
∴OE＝AF＝4x，EF＝OA＝60，
∴CE＝3x+60，
∵tan∠OBC＝．
∴BE＝CE＝x+45，
∴OB＝OE+BE＝4x+x+45，
∴4x+x+45＝170，
解得：x＝20，
∴CE＝120（米），BE＝90（米），
∴BC＝＝150（米）．
（2）如图2，设BC与⊙M相切于Q，延长QM交直线BO于P，
∵∠POM＝∠PQB＝90°，
∴∠PMO＝∠CBO，
∴tan∠OBC＝．
∴tan∠PMO＝．
设OM＝x，则OP＝x，PM＝x，
∴PB＝x+170，
在RT△PQB中，tan∠PBQ＝＝．
∴＝，
∴PQ＝（x+170）＝x+136，
设⊙M的半径为R，
∴R＝MQ＝x+136﹣x＝136﹣x，
∵A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米，∴R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，
∴136﹣x﹣（60﹣x）≥80，136﹣x﹣x≥80，解得：10≤x≤35，
∴当且仅当x＝10时R取最大值，
∴OM＝10米时，保护区的面积最大．
【点评】本题考查了圆的切线，考查了直线和圆的位置关系，解题的关键在于对题意的理解．
26．（10分）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．
（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？
【分析】（1）由题意可以知道第1个月的发电量是300×5万千瓦，第2个月的发电量为[300×4+300（1+20%）]万千瓦，第3个月的发电量为[300×3+300×2×（1+20%）]万千瓦，第4个月的发电量为[300×2+300×3×（1+20%）]万千瓦，第5个月的发电量为[300×1+300×4×（1+20%）]万千瓦，第6个月的发电量为[300×5×（1+20%）]万千瓦，将6个月的总电量加起来就可以求出总电量．
（2）分两种情形求解：①1≤x≤6由总发电量＝各台机器的发电量之和根据（1）的结论设y与x之间的关系式为y＝kx+b建立方程组求出其解即可；②x＞6；
（3）由总利润＝发电盈利﹣发电机改造升级费用，分别表示出ω1，ω2，再根据条件建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
第2个月的发电量为：300×4+300（1+20%）＝1560（万千瓦），。