2018年高三最新 等价转化思想方法 精品

十一、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

历年高考，等价转化思想无处不见，要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

Ⅰ、再现性题组：
1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。

A. 0.5
B. －0.5
C. 1.5
D. －1.5
2.设f(x)＝3x－2，则f-1[f(x)]等于______。

A. x+8
9
B. 9x－8
C. x
D.
1
32
x-
3. 若m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。

A. a b
+
2
B. ab
C.
a b
22
2
+ D. ab
a b
+
4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。

A. 1
B. 2
C. 2
D. 5
5. 设椭圆y
a
2
2
＋
x
b
2
2
＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于
221
7
c，则椭圆的离心率为_____。

A. 1
4
B.
1
2
C.
3
3
D.
2
2
6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。

A. 15
2
B. 10
C.
25
2
D.
35
2
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若x、y、z∈R+且x＋y＋z＝1，求(1
x
－1)(
1
y
－1)(
1
z
－1)的最小值。

【解】(1
x
－1)(
1
y
－1)(
1
z
－1)＝
1
xyz
（1－x）(1－y)(1－z)＝
1
xyz
(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)
＝
1
xyz (xy＋yz＋zx－xyz)＝
1
x
＋
1
y
＋
1
z
－1≥31
3
xyz
－1＝3
3xyz
－1≥3
3
－1＝9
【注】对所求式进行等价变换，转化为求1
x
＋
1
y
＋
1
z
的最小值，则不难由平均值不等式解决。

（代数
恒等变形型）
例2. 设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。

【分析】设k＝x2＋y2，再代入消y，转化为方程有实数解时求参数k范围的问题。

注意隐含条件：x 的范围。

【解】设k＝x2＋y2，则…
【另解】数形结合法（转化为解析几何问题）：
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
【注】多种方法运用，实现多种转化，联系多个知识点，此题还可进行均值换元。

（问题转换型） 例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【解一】ctg10°－4cos10°＝cos sin 1010°°－4cos10°＝cos sin cos sin 104101010°°°°
- ＝sin sin sin 8022010°°°-＝sin sin sin sin 80202010°°°°--＝250302010cos sin sin sin °°°°
- ＝sin sin sin 402010°°°-＝2301010cos sin sin °°°＝3 （切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）
【解二】ctg10°－4cos10°＝…＝2128022010·°°°sin sin sin -＝2608022010cos sin sin sin °°°°
- ＝sin sin()sin sin 1402022010°°°°---＝sin sin sin 1402010°°°-＝2806010cos sin sin °°°＝3 （…→特值代入→积化和→差化积）
【解三】先 切化弦→通分→化同名，再拆角80°后用和差角公式求：
【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换是等价转化思想的体现。

（三角变换型）
例4. 已知f(x)＝tgx ，x ∈(0, π2)，若x 1、x 2∈(0, π2
)且x 1≠x 2， 求证：12
[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) （94年全国高考） 【证明】12[f(x 1)＋f(x 2)]>f(x x 122+) ⇔ 12[tgx 1＋tgx 2]>tg x x 122+ ⇔…
【注】 分析法证明过程中进行等价转化。

（分析证明型）
例5. 如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上，M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成角等于∠NSC 。

求证：SC 垂直于截面MAB 。

（83年全国高考） 【分析】 易证SC ⊥AB ，再在平面SDNC 中证SC ⊥DM 。

【证明】
【注】立体几何问题转化为平面几何问题来解。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 正方形ABCD 与正方形ABEF 成90°的二面角，则AC 与BF 所成的角为_____。

A. 45°
B. 60°
C. 30°
D. 90°
S
A M D N C B
2. 函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b时有f(a)>f(b)，则下列各式中成立的是_____。

A. ab≤1
B. ab<1
C. ab>1
D. a>1且b>1
3. lim
n→∞[12
+++
…n－121
+++-
…()
n] (n∈N)的值为______。

A.
2
2
B. 2
C. 0
D. 1
4. (a＋b＋c)10展开式的项数是_____。

A. 11
B. 66
C. 132
D. 310
5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝3，则顶点A到截面A’BD的距离是_______。

6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_________。

7. 函数y＝x＋1-x的值域是____________。

8. 不等式log
8（x3＋x＋3）>log
2
(x＋2)的解是____________。

9．设x>0，y>0，求证：(x2＋y2)1
2>(x3＋y3)
1
3 (86年上海高考)
10. 当x∈[0, π
2
]时，求使cos2x－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范围。

11. 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等差数列，求复数z＝[cos(π
＋A
2
)＋ｉsin(π＋
A
2
)]·[sin(
3
2
π
－
C
2
)＋ｉcos(
3
2
π
－
C
2
)]的辐角主值argz的最大值。

12. 已知抛物线C：y＝(t2＋t－1)x2－2(a＋t)2x＋(t2＋3at＋b)对任何实数t都与x轴交于P(1,0)
点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。