离散数学 支配集

图13.2.1(a)
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 个 . 义13.2.3 设 M为图 G v )∈M (1) 设 e = (v , v,则称 与 vi Mj . (2) 对 , 边 ,∈ M 与 关联 e v ∈ V (G ) e v v ,则称 为M —饱 , 则称 为 M—v 饱 饱 . (3) G 个顶 都 M—饱 ,则称M 为G . (4) 称G M (E(G)-M) 交 边 径 为 M 交错 径,起 终 都 M— 饱 交错 径称为可 交错 可 交错 径.称G M (E(G)-M) 交 边 圈为交错圈 交 . 17
α 1.
13
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 图13.2.1(a) ,{e1 , e4 , e7 },{e2 , e等都 7 } 极 5 , e6 , e {e1 , e4 , e7 } 盖, =3.(b) 1 α 盖,其 边 α1 {e 等都, e , e },{e ,边e } 盖, =3. 极 e,
V
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 13.1.2可得 论. 图,则 V 论13.1.1 设 G n 阶 孤 G 极 ( ) 盖当 仅当V =VV G 极大( 大) 独 ,从
α0 + β0 = n
读
β0
可 .
论检验图13.1.1各图对应
α与 0
1 5 3 5 2 4 7
0
0 1 3 1 4
γ
0
= 1
3
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
v1
v2
v1
v1
v6
v0
v2
v3 v5
v4
v3
v5 v0
v5
v2
v6v7(Fra bibliotek )v4 (b)
v4
v3
(c)
图13.1.1 支配集概念示意图例
4
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 13.1.2 盖 e ∈ E , v ∈ V , 义13.1.2 设 G =< V,, E > ,V V 对 得 与 关联,则称 盖 ,并称 为G v e v V 盖 e V 简称 盖. G 盖, 真 都 盖 V 盖,则称 盖,顶 个数 极 盖 V 盖称为 盖,其顶 个数称为 盖 α α (G ) 盖数 ,简记 . 盖数,记
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 13.1.1 { , v 3 , v5 } 极 极大独 题 . 真 题. ,但它显 图13.1.1(a) 独 ,更
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
V V 为 , ,则 13.1.2 设图 G =< V , E > 孤 G V 盖当 仅当 为G=VV 独 . V 证 : 邻, 这 (v vi , v j ∈V,这显 与 i , v j ) ∈ E , 条边 两个端 ,都 vi , v j V . 为 盖 , 为 独 V V 独 : , 条边 两个端 ,这 说 V =VV个 V G 盖.
1 3 6 2 4 8
边
e1
e2
e6
e3
e4
e1
e4
e5
e8 e6 e7
e7
e5
e2
e3
图13.2.1 边 盖概念
图
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
E 两条边均 , 义13.2.2 设 G =< V , E > , E E 邻,则称 为G E 边独 , 称 为G E . 加E 条边 , 得 都 ,则称 为极大 E .边数 多 极 称为 大 ,其边数称为独 数 独 数,记 β1 β1 (G) 简记为 .
1
为M为
1
1
1
1
1
1
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
W | |= =α 1 | n| M (13.2.2) 为 M ,W 边 盖, 应 | | M ≤ β1 (13.2.3) | | W ≥ α1 (13.2.4) 过 较可得 (13.2.3) (13.2.1) (13.2.4 ) (13.2.2 ) α 1 = n | M 1 | ≥ n β1 (13.2.5)1 = |W | ≥ α ,(13.2.5) 各等号均 , 可得 |M 1|= β1 ,| W , |= α1 α 1 +. = n β1 这 说 M1 大 ,W 边 盖,并 证 (3) .
离散数学讲义之
第十三章
主讲:熊焕亮
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 13.1 13. , 盖 ,独 概念 13.1.1 V 义13.1.1 设图 G =< V , E > , V , 对 vj vi vi ∈V V , v j 得( ∈V vi ,v 则称j )∈E, ,并称 为G V V V ,但 个 .设 G 真 V .顶 数 都 ,则称 极 称为 , 顶 G) 个数称为 简记为γ (. 数,记 γ0
1 3 7
2
2
4
6
2
1
1
2
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
1
1
1
1
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
β1 ≤, α1 证 13.2.1 (1)可 义 M ≤ W 可 | | β ≤ α|≤ |, | | M ≤ W .等号 || 时, 说 M 大 ,W 边 盖. =n 13.2.1 (3)可 α1 + β1 = 2β1,这说 G M — 饱 , M 为G . {e1为4 , e7 } ,e 图13.2.1 (a) ,它 边 盖.
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 13.2 边 盖 与 E ,E 义13.2.1 设图 G =< V, > , E , v ∈ V e ∈ E , 得 e 与 关联,则称 v e 盖 ,并称 为边 盖 E, v边 E E 简称边 盖 真 边 盖.设 为边 盖 边 盖, E 都 盖,则称 盖.边数 边 盖 极 边 盖 边 盖 称为 盖,其 边 个数称 边 盖 α 为边 盖数,记 , 简记为 1 (G) 边 盖数
0 0
5
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
,v v 图13.1.1 ( a ) ,{v , v , v , v , v },{v 等都, v } 极 盖, α (b) 其 等 {v , v , v , v } 盖, = 4. , {v } }, } 都 {v极{v , v ,, v 盖,其 盖, =1. (c) 等都 , v , 极 },{v , v , v 盖, 都 {v v ,v ,v } , α0 α0 盖, = 4.
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
{ , e2 , e6 }, {e3 , e5 }, {e1 , e4 , e7 极大 }等都 , β1 {e1 , e4 , e7 } , =3.(b) 其 大 { e 1 , e 3 }, { e 2 , e 4 }, { e 4 , e 7 极大 }等都 ,同时 都 大 , =2. β 1 M ,极大 , 大 等. 为 研究 质,还 进 概念.
1
个 边
,则 N1
β. n 1 =
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 证
β 大 , M 个数 M = , n 2β1 G 个M— 饱 . W = M显N ∪ 为G 边 盖, | W |=| M | + | N | = β1 + n 2β1 = n β1 边 盖可 , W 条边 两 W 个端 可能都与 W 其它边 关联, W M1 构 时, 去 邻两条边 条时,产 并 产 个 M— 饱 , N W M1 | |=| |-| |= M1 " 饱 数" = n 2 | M1 | 得
1 1
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
M ,e } 图13.2.2 , = {e (见(b) 实线边 ), M ={ e} ((c)e , e ,实线边 )都 图 (a) 图 极大 ,其 大 M ( M Γ =关e 3 e 4 e7 e6 可 e2 ), 大 . M 径. 却没 可 M 径. M 没 可 径 M 为 大 条件.
2 3 4 6 7 1 3
,
5
7
1
3
5
7
0
0
1
2
6
0
0
1
3
4
0
1
3
5
6
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 13.1.3 独 G=<V, E > V,V 义13.1.3 设图 , V 两个顶 均 邻,则称 为 V G 独 , 称独 独 . 加 V 顶 都 独 ,则称 为 ,顶 数 多 独 称为 大 极大V 独 ,其 顶 数称为 独 独 数,记 β β0 简记为 .(G),
0
7
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 在图13.1.1 (a)中{v1,v5},{v3,v6},{v2,v4,v7}等都是极大点独立 β 集,其中{v2,v4,v7}等为最大点独立集,0 =3.(b)中, {v0},{v1,v2,v6} , {v1,v2 , v6} , 都是极大点独立集,其中 都是极大点独立 {v1,v2 , v6} , 集,其中 是最大点独立集 , { β 0=6.(c) 中,v , v },{v , v }等都是极大点独立集,也 β 都是最大点独立集,0 = 2.
1 3 1 4
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 ,则G 极大 独 13.1.1 设 G=<V, E > 孤 都 G 极 . 证 设 V 为G 个极大独 ,v∈(V V) v0 与 V ∈V v ′ ∈ V E , 得 (v, v,′) ∈ 则 顶 V 邻,则 为独∪{v0} ,这与 极大独 V V , G . , 独 V , V , 顶 V都 V V1 1 V 顶 , , V1 极 V1 . V
0
2
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
v , } 图13.1.1(a) , {v , v },{v , v },{都v , v极 , } 等都 {v1 , v5 }, {v 4 , v 5 }, {v3 , v 6(b)为7阶 图, γ 0 = 2. {v v6 为极 , 为 0 }, { v1 , v 2 , ,,} . 为轮图 , {v γ0 = W6 {v },{v , v },{v , v } 等都 } 极 ,显 1 ( c ) .
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支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论 孤 . 13.2.1 设n 阶图G (1) 设M为G 个 大 ,对 G M— 饱 均 条与其关联 边,组 N,则 = W ∪ N 为G 边 盖. M W W1 (2) 设 为G 个 边 盖, 邻 边 去其 条,设 去 边 为 M 为G 1 = W1 N1 大 个 . β1 (3) G 边 盖数 α与 数 满 : α1 + 1
i j
支配集,覆盖集,独立集与匹配理论* 第十三章 支配集,覆盖集,独立集与匹配理论
e7 图13.2.2 (a) ,M= {e1 , e4 ,为} ,(b) 可能 , 对 都 M— 饱 . e7 } , 图13.2.1(a) 大 M = {e1 , e4 , ,它 图 边 盖. (b) , 给 个 大 , M ∪ {e6 }, M ∪ {e8图 M ∪ {e7 }, 边 盖. {e2 e4 = ,则 ,M} 都 }, , {e ,e 给 (b) 个 边 盖, W= 从 去1 , e3条6 } 邻 边,则 都 图 {e1 , e3 },{e1,e6 } ,这种 大 ,e 大 过 加关联 饱 边产 边 盖, 边 盖 过 去 邻 条边产 大 具 .请看 .