2020届四川省成都市石室中学高三上学期10月月考数学(文)答案
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调整后 关于 的表达式为 .…………………4分
（Ⅱ）由频数分布表可知从 及 的人群中按分层抽样抽取7人,其中 中占3人,分别记为 , 中占4人,分别记为1,2,3,4,再从这7人中选2人的所有组合有： , , , , , , , , , , , , , , ,12,13,14,23,24,34,共21种情况,…………………7分
（Ⅱ）证明：要证 , ,即证 , .
①由（Ⅰ）可知,当 , 时, .
, .
设 , ,则 ,
在 单调递增,故 ,即 .
.…………………8分
②当 时,函数 在 单调递增, .…………………9分
③当 时,由（1）可知, 时, .
又 , ,
.
综上,当 时,对 , .…………………12分
21.（本小题满分12分）
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理可得在 中, ,
在 中, ,…………………………3分
又因为 , .…………………………6分
（Ⅱ） ,由正弦定理得 ,
设 ,则 ,则 .…………………………9分
因为 ,
所以 ,解得 .
.…………………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）调整前 关于 的表达式为 ,
过 做 的垂线，则垂足 为线段 的中点．
设点 的坐标为 ，则 ．
由方程组 解得 ，即 ．
而 ，
所以直线 的方程为 ． …………………………………………12分
22.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ） …………………………3分
（Ⅱ） ………………………7分……………7分
又 , 平面 .…………………8分
（Ⅱ） .…………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ,…………………2分
由 得 或 .
当 时, ,函数 在 内单调递增.…………………3分
当 时,函数 在 , 内单调递增,在 内单调递减.…………4分
当 时,函数 在 , 内单调递增,在 内单调递减.…………5分
绝密★启用前
四川省成都市石室中学
2020届高三年级上学期10月月考质量检测
数学（理）试题答案
1、选择题：
B D B C A DCC A B D C
二、填空题：
13.__ ____．
14.___ ___．
15.____ __．
16. ___ ___．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
其中不在同一收入人群的有： , , , , , , , , , , , ,共12种,所以所求概率为 .…………………10分
（Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元,
按调整起征点前应纳个税为 元；
按调整起征点后应纳个税为 元,
由此可知,调整起征点后应纳个税少交220元,
即个人的实际收入增加了220元,
解：（Ⅰ）由题意得 …………………………………………3分
解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．…………………………………………4分
（Ⅱ）设直线 的方程为 ， ,
由 得 . …………………………6分
令 ，得 ．
， ．……………………………………7分
因为 是以 为顶角的等腰直角三角形，
所以 平行于 轴． ………………………………8分
所以小红的实际收入增加了220元.…………………12分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：取 的中点为 ,连接 , , ,设 交 于 ,连接 .
, ,
四边形 与四边形 均为菱形.
, . .
等边三角形, 为 中点,
.…………………3分
平面 平面 且平面 平面 , 平面 且 ,
平面 .
平面 , .
（Ⅱ）由频数分布表可知从 及 的人群中按分层抽样抽取7人,其中 中占3人,分别记为 , 中占4人,分别记为1,2,3,4,再从这7人中选2人的所有组合有： , , , , , , , , , , , , , , ,12,13,14,23,24,34,共21种情况,…………………7分
（Ⅱ）证明：要证 , ,即证 , .
①由（Ⅰ）可知,当 , 时, .
, .
设 , ,则 ,
在 单调递增,故 ,即 .
.…………………8分
②当 时,函数 在 单调递增, .…………………9分
③当 时,由（1）可知, 时, .
又 , ,
.
综上,当 时,对 , .…………………12分
21.（本小题满分12分）
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理可得在 中, ,
在 中, ,…………………………3分
又因为 , .…………………………6分
（Ⅱ） ,由正弦定理得 ,
设 ,则 ,则 .…………………………9分
因为 ,
所以 ,解得 .
.…………………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）调整前 关于 的表达式为 ,
过 做 的垂线，则垂足 为线段 的中点．
设点 的坐标为 ，则 ．
由方程组 解得 ，即 ．
而 ，
所以直线 的方程为 ． …………………………………………12分
22.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ） …………………………3分
（Ⅱ） ………………………7分……………7分
又 , 平面 .…………………8分
（Ⅱ） .…………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ,…………………2分
由 得 或 .
当 时, ,函数 在 内单调递增.…………………3分
当 时,函数 在 , 内单调递增,在 内单调递减.…………4分
当 时,函数 在 , 内单调递增,在 内单调递减.…………5分
绝密★启用前
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2020届高三年级上学期10月月考质量检测
数学（理）试题答案
1、选择题：
B D B C A DCC A B D C
二、填空题：
13.__ ____．
14.___ ___．
15.____ __．
16. ___ ___．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
其中不在同一收入人群的有： , , , , , , , , , , , ,共12种,所以所求概率为 .…………………10分
（Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元,
按调整起征点前应纳个税为 元；
按调整起征点后应纳个税为 元,
由此可知,调整起征点后应纳个税少交220元,
即个人的实际收入增加了220元,
解：（Ⅰ）由题意得 …………………………………………3分
解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．…………………………………………4分
（Ⅱ）设直线 的方程为 ， ,
由 得 . …………………………6分
令 ，得 ．
， ．……………………………………7分
因为 是以 为顶角的等腰直角三角形，
所以 平行于 轴． ………………………………8分
所以小红的实际收入增加了220元.…………………12分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：取 的中点为 ,连接 , , ,设 交 于 ,连接 .
, ,
四边形 与四边形 均为菱形.
, . .
等边三角形, 为 中点,
.…………………3分
平面 平面 且平面 平面 , 平面 且 ,
平面 .
平面 , .