齿轮设计参数的指形刀轴截形磨削轨迹推导

齿轮设计参数的指形刀轴截形磨削轨迹推导
仲志丹;王劲松;王斌;许淼南
【摘要】为了实现齿轮指状铣刀轴截形的精密磨削,基于齿轮仿形加工理论,推导了基于齿轮设计参数的铣刀轴截形的数学表达式.在此基础上,针对指状齿轮铣刀轴与
砂轮轴平行或垂直两种情况,分别通过求解指状齿轮铣刀轴截形曲线的法线、向量
合成,最终求解出了砂轮磨削指状齿轮铣刀时的两种运动轨迹表达式.并运用MATLAB软件,对两种磨削运动中的砂轮运动轨迹进行了计算验证.结果表明,砂轮
运动轨迹计算正确,该研究为齿轮指状齿轮铣刀廓形的精密磨削提供了理论依据.【期刊名称】《机械设计与制造》
【年(卷),期】2016(000)011
【总页数】4页(P19-22)
【关键词】磨削;指状铣刀;轴截形;向量合成
【作者】仲志丹;王劲松;王斌;许淼南
【作者单位】河南科技大学机电工程学院,河南洛阳471003;河南科技大学机电工
程学院,河南洛阳471003;河南科技大学机电工程学院,河南洛阳471003;河南科技
大学机电工程学院,河南洛阳471003
【正文语种】中文
【中图分类】TH16
在大模数齿轮精加工中，经常使用成形铣刀进行仿形加工。

目前，指状齿轮铣刀渐开线廓形的磨削主要还是使用样板，依靠人工操作完成。

这种方法误差大且不稳定，
对人工经验的依赖程度大，即便是同批次制造的用于加工同规格齿轮的多个刀具，相互之间也误差悬殊，根本无法满足精加工的要求。

现有研究及文献中，针对加工齿轮用指状铣刀轴截形数控磨削多有研究，但是大多只是理论推导，都是以渐开线展开角或者齿槽半角为变量，并没有给出以齿轮的设计参数，如齿数、模数、压力角、变位系数等，为参数的加工运动轨迹表达式，无法直接用于指导生产实践。

基于此，进行了齿轮指状铣刀轴截形通用数控磨削运动轨迹的推导及验证。

使用砂轮磨削刀具的轴截形时，砂轮轴与指形铣刀的轴线或者平行，或者垂直。

两种情况下，砂轮中心均需处于截形曲线和砂轮的瞬时接触点法线方向，通过向量合成，就可求得砂轮中心的运动轨迹[3]。

要实现齿轮指形铣刀轴截形的精确磨削，首先需要有正确的轴截形数学模型。

现有研究及文献中，给出的一般都是参数方程，且参变量都是渐开线展开角等间接函数，而在实际的数控加工中，一般在数控加工界面直接输入的是齿数、模数、变位系数等齿轮设计参数。

所以，首先推导基于齿轮设计参数的铣刀轴截形曲线数学模型非常必要。

指状齿轮铣刀的廓形由工作部分和非工作部分组成，工作部分为渐开线，是齿轮的齿形啮合部分[5]。

非工作部分为过渡曲线，不参与齿轮啮合。

当齿数大
于等于35时，过渡曲线为圆弧，当z小于35时，过渡曲线则由曲线和直线组成。

针对上述两种情况，可分别求解铣刀轴截形曲线的数学模型[2]。

2.1 渐开线部分
由于指形铣刀在加工直齿圆柱齿轮时是按仿形法进行工作的，故其齿形与被加工齿轮的齿槽形状完全相同。

指状齿轮铣刀的渐开线部分[1-2]，如图1所示。

设o点为坐标原点，齿形上任意点M的半径为R，则M点坐标Xm和Ym如下：式中：ωm—M点齿槽中心半角。

式中：αx—M点压力角。

式中：ωb—基圆齿间中心半角。

以齿轮的设计参数为变量，对上述公式计算化简，齿轮坐标系下的渐开线数学模型为：
式中：m—齿轮模数；z—齿轮齿数；R—齿轮渐开线上任意点M的半径；ξ—变
位系数（标准齿轮ξ=0）；ha—齿高系数（ha=1）；α—压力角（α=20）；
Δs—分圆齿厚减薄量；Rb—基圆半径；rf—齿根圆半径；ωf—根圆齿间中心半角。

2.2 齿轮齿根过渡曲线部分
齿根过渡曲线部分指的是铣刀齿顶角处齿形，虽然不参与啮合，但是要求其不影响轮齿的啮合；和有效齿形过渡圆滑；有适当圆角以避免应力集中[6]。

当齿数z＞
35时，这时指状铣刀齿形由渐开线EF、圆弧AF两分组成，如图2所示。

上图中，过渡圆弧中心在y1轴上，这时决定圆弧半径Rc和圆心位置的计算步骤
如下：
延伸渐开线与渐开线切点F的向径Rf为：
F点的坐标公式为：
将F点坐标转换到o1x1y1坐标系中：
F点切线与y1轴间夹角φ：
圆弧半径Rc：
圆弧中心OC坐标：
当齿数19＜z＜35时，当齿轮不发生根切的时候，铣刀齿形便由三部分组成：圆
弧（、CF倾斜直线和渐开线，如图3所示。

指状铣刀的渐开线部分计算如式（3）～式（6）。

圆弧中心在y1轴上，圆弧半径Rc计算如下：
圆弧和直线的切点C的坐标为：
如果以齿轮的设计参数为变量，也可得到过渡圆弧的新的数学磨削，限于篇幅，不再赘述。

磨削指形铣刀的轴截形时，砂轮与被加工刀具的位置关系常见的有两种。

一种是砂轮轴与别加工刀具的轴线空间垂直，如图4所示。

另外一种说砂轮轴线与被加工
刀具的轴线平行，如图6所示。

两种情况下，砂轮与刀具的位置关系不同，其数
控加工运动轨迹必然不同，下文中将就这两种情况分别研究并计算其数控磨削的运动轨迹[7]。

3.1 刀具轴线与砂轮轴线垂直时的加工轨迹计算
3.1.1 磨削轨迹计算
根据机床坐标设置，建立刀具磨削加工坐标系，如图4所示。

砂轮主轴垂直于XOZ平面。

OM是指形铣刀的轮廓曲线向量，MO1是指形铣刀截形曲法向量，
砂轮中心处于该向量方向，长短和砂轮半径有关系。

OO1是OM向量和MO1线的合成后的向量，它就是砂轮中心在XOZ坐标系中的向量。

一系列连续的该向量就是砂轮在加工运动中的运动轨迹。

显然，该轨迹是指形铣刀廓形的等距线。

由图4知：砂轮中心向量：
向量OM前面已经求得，向量MO1是选用砂轮的半径，带入式（8），求解并化简，磨削刀具渐开线部分时的砂轮轨迹为：
磨削刀具过渡圆弧部分时的砂轮轨迹为：
当齿数19<z<35时，直线CF部分的磨削直线插补即可，无需求解砂轮运动轨迹。

3.1.2 磨削轨迹验证
根据上述计算公式，在MATLAB环境下，将齿轮的模数、齿数、压力角、变位系数等设计参数带入式（9）、式（10），得到一系列砂轮运动的中心轨迹坐标，将其和刀具轴截形在同一坐标系下绘图，如图5所示。

进行刀具轨迹验证。

由图5可见，砂轮的中心运动轨迹，其实质就是刀具轴截形曲线的等距线，砂轮
时刻与截形曲线相切，和图4中的设想一致，说明刀具轴线与砂轮轴线垂直时的
加工轨迹计算正确。

3.2 刀具轴线与砂轮轴线平行时的加工轨迹计算
3.2.1 磨削轨迹计算
当砂轮轴与被加工刀具轴线平行时，建立刀具磨削加工坐标系，砂轮主轴在XOZ
平面内，如图6所示。

OM是指形铣刀的轮廓曲线向量，MO2是指形铣刀截形曲法向量，且O2点是砂轮修磨后参与磨削的圆弧中心点，显然向量MO2的模就是砂轮轴截形中参与磨削部分的圆弧半径。

O1点是砂轮轴线与砂轮对称中心线的交点，或者说是刀具中心点。

根据向量合成法则，由图，砂轮中心向量为：
向量OM根据刀具轴截形坐标可知，向量MO2、O1O2均已知，带入式（11），求解并化简，磨削刀具渐开线部分时的砂轮轨迹为：
磨削刀具过渡圆弧部分时的砂轮轨迹为：
式（12）、式（13）中，#1、#2、#3、#4、#5、#6同式（9）、式（10）。

3.2.2 磨削轨迹验证
根据式（12）、式（13），在MATLAB环境下，将齿轮的模数、齿数、压力角、变位系数等设计参数带入式（12）、式（13），得到一系列砂轮运动的中心轨迹
坐标，将其和刀具轴截形在同一坐标系下绘图，如图7所示。

进行刀具轨迹验证。

由图7可见，砂轮的中心运动轨迹，和图5中的不同，并非刀具轴截形的等距线。

但砂轮时刻与截形曲线相切，相切点时刻变话，和图6中的设想一致，说明刀具
轴线与砂轮轴线平行时的加工轨迹计算正确。

针对齿轮指形铣刀轴截形的数控磨削，以齿轮设计参数为变量，研究推导了砂轮轴与刀具轴在两种不同位置状况下的数控磨削运动轨迹，并用MATLAB软件对其进行了计算验证。

结果表明：刀具轴截形的数学模型计算正确，砂轮运动轨迹的数学表达计算正确。

该研究为齿轮指形铣刀渐开线廓形的精密磨削提供了依据。

【相关文献】
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