2022高考数学总复习(人教A理一轮)单元质检卷六 数列(B)

单元质检卷六 数列(B )
(时间:60分钟 满分:76分)
一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若1a 1
+1a 2
+1
a 3
=2,a 2=2,则S 3=( )
A.8
B.7 C .6 D.4 2.等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项的和S 9等于( )
A.66
B.99
C.144
D.297
3.(2020河北衡水中学三模,理5)有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,向共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为( ) A.35 B.75 C.155 D.315
4.(2020福建福州模拟,理6)已知数列{a n }为等差数列,若a 1,a 6为函数f (x )=x 2-9x+14的两个零点,则
a 3a 4= ( )
A.-14
B.9
C.14
D.20 5.已知在等比数列{a n }中,a n >0,a 22+a 42
=900-2a 1a 5,a 5=9a 3,则a 2 019的个位数字是( )
A.6
B.7 C .8 D.9
6.(2020河北武邑中学三模,5)若数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a 2=2,(S n +1)(S n+2+1)=(S n+1+1)2,
则S n =( ) A.
n (n+1)
2
B.2n-1
C.2n -1
D.2n-1+1
二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.
7.(2020北京海淀期中,13)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=9,公差d=-2.则S n 的最大值为 .
8.(2020广东广州一模,文16)记S n 为数列{a n }的前n 项和,若2S n -a n =1
2
n -1,则
a 3+a 4= ,数列
{a n+2-a n }的前n 项和T n = .
三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(12分)(2020湖南永州二模,理17)已知S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,S 3=6,a 3是a 1与a 9的等比中项.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列b n =(-1)n 4a n 4n 2-1
(n ∈N *),数列{b n }的前2n 项和为P 2n ,若|P 2n +1|<1
2 020,求正整数n 的最小值.
10.(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+3n-1,b n=a n+n.
(1)证明:数列{b n}为等比数列;
(2)求数列{a n}的前n项和.
11.(12分)(2020江西名校大联考,理18)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,数列{b n}满足
a n=b1
2+1+b2
22+1
+…+b n
2n+1
.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)若c n=a n b n
4
-n,求数列{c n}的前n项和T n.
参考答案
单元质检卷六数列(B)
1.A因为等比数列{a n}的前n项和为S n,且1
a1+1
a2
+1
a3
=2,a2=2,
则1a 1
+1a 2
+1
a 3
=
a 1+a 3a 1a 3
+1
a 2
=
a 1+a 2+a 3
a 2
2=
S 3
4
=2,则S 3=8.故选A .
2.B 由等差数列的性质得a 1+a 7=2a 4,a 3+a 9=2a 6,∴a 1+a 4+a 7=3a 4=39,a 3+a 6+a 9=3a 6=27,∴a 4=13,a 6=9,
∴a 4+a 6=22,
∴数列{a n }前9项的和S 9=
9(a 1+a 9)
2
=
9(a 4+a 6)
2
=
9×22
2
=99. 3.C 由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a 1,公比为q ,前n 项和为S n ,所以a 1=5,q=2,因此前
5天所屠肉的总两数为a 1(1-q 5)
1-q
=
5×(1-25)
1-2
=155.故选C.
4.D 因为方程x 2-9x+14=0的两个实数根为2,7.所以a 1=2,a 6=7或a 1=7,a 6=2,当a 1=2,a 6=7时,d=
a 6-a 16-1=1,则a 3=4,a 4=5,所以a 3a 4=20.当a 1=7,a 6=2时,d=a 6-a 1
6-1
=-1,则a 3=5,a 4=4,所以a 3a 4=20.故选D.
5.D 设等比数列{a n }的公比q ,首项为a 1,由a 22+a 42=900-2a 1a 5,得a 22+a 42
+2a 2a 4=900,解得
a 2+a 4=30,即a 1q+a 1q 3=30,由a 5=9a 3,得q=3,所以a 1=1,所以a n =3n-1,所以
a 1=30=1,a 2=31=3,a 3=32=9,a 4=33=27,a 5=34=81,a 6=35=243,…,所以a n 的个位数是以4为周期重复出现的.所以a 2 019的个位数字是a 3的个位数字9,故选D .
6.C ∵(S n +1)(S n+2+1)=(S n+1+1)2,令b n =S n +1,∴b n ·b n+2=b n+12,
∴{b n }为等比数列,设其公比为q , ∵b 1=S 1+1=a 1+1=2,b 2=S 2+1=a 1+a 2+1=4,
∴q=b
2b 1
=2,∴b n =b 1·q n-1=2×2n-1=2n ,∴S n =b n -1=2n -1.故选C .
7.25 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=9,公差d=-2,
∴S n =9n+n (n -1)
2
×(-2)=-n 2+10n=-(n-5)2+25,∴n=5时,S n 取最大值且最大值为25.
8.-18
12−12
n+1 ∵2S n -a n =
1
2
n -1,
∴2S n+1-a n+1=1
2n ,两式相减,得a n+1+a n =-12n ,∴a 3+a 4=-12
3=-18;∵a n+1+a n =-12n ,∴a n+2+a n+1=-12n+1
,
两式相减,得a n+2-a n =-
1
2
n+1
+1
2n =
12
n+1,∴{a n+2-a n }是以14为首项,1
2为公比的等比数列,∴
T n =14(1-12n )1-12
=12−12n+1.
9.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由a 3是a 1与a 9的等比中项,可得a 1·a 9=a 32
,即
a 1(a 1+8d )=(a 1+2d )2,解得a 1=d.又因为S 3=3a 1+3d=6,所以a 1=d=1,所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n.
(2)由(1)可得b n =(-1)n 4n
4n 2-1=(-1)n
12n -1+1
2n+1
,所以P 2n =-1-13+13+15−15−17+…-1
4n -3−
14n -1+14n -1+14n+1=-1+14n+1.因为|P 2n +1|=1
4n+1
<
1
2 020
,所以n>
2 019
4
,所以正整数n 的最小值为505.
10.(1)证明 ∵b n =a n +n ,∴b n+1=a n+1+n+1.又a n+1=4a n +3n-1,∴
b n+1
b n
=
a n+1+n+1a n +n
=
(4a n +3n -1)+n+1
a n +n
=
4(a n +n )
a n +n
=4.又b 1=a 1+1=1+1=2, ∴数列{b n }是首项为2,公比为4的等比数列. (2)解 由(1)知,b n =2×4n-1,∴a n =b n -n=2×4n-1-n , ∴S n =a 1+a 2+…+a n =2(1+4+42
+…+4
n-1
)-(1+2+3+…+n )=2(1-4n )1-4−
n (n+1)
2
=2
3(4n -1)-12n 2-12
n.
11.解 (1)因为S n =n 2+n ,所以当n=1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n ,又a 1=2也满足上式,所以a n =2n (n ∈N *).因为
b 12+1+b 222+1
+…+b
n 2n +1=a n =2n , 所以b
1
2+1+
b 2
22
+1+…+
b n -1
2
n -1
+1
=2n-2(n ≥2,n ∈N *),
两式作差,得b
n
2n +1=2,所以b n =2n+1+2(n ≥2,n ∈N *),当n=1时,b
13=2,所以b 1=6.又b 1=6满足上
式,所以b n =2n+1+2(n ∈N *).
(2)因为c n =
a n
b n 4
-n=n·2n
,所以T n =1×2+2×22+3×23+…+n·2n ,
2T n =1×22+2×23+…+(n-1)×2n +n·2n+1,
两式相减,得-T n =2+22+23+…+2n -n·2n+1,即-T n =2n+1-2-n·2n+1,所以T n =(n-1)·2n+1+2.
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