附中2012届高考数学前热身练习题 文理 北师大版

2012高考考前数学热身练习题
（请认真完成每一道题） 1、命题“存在0x ∈
R ，0
2
x ≤0”的否定是 （ D ） 复习量词、命题的否定
（A ）不存在
0x ∈
R, 0
2x >0 （B ）存在0x ∈
R, 0
2
x ≥0
（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈
R, 2x >0
2、设函数1
()ln (0),
3f x x x x =->则()y f x = （ D ） A 在区间1
(,1),(1,)
e e 内均有零点。

什么是零点？ B 在区间1
(,1),(1,)
e e 内均无零点。

C 在区间1
(,1)
e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1
(,1)
e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

3、执行右边的程序框图，输出的T= 30 . 读懂程序框图，逐步推演。

4、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则=a ____3___ 三视图：注意还原几何体
5、随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （乙）
(2)计算甲班的样本方差 （57）
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名 身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的
同学被抽中的概率. (2
5) 读懂茎叶图，学会算
平均数、方差，
标准差，将两者进行比较。

开始
S=0,T=0,n=0
T>S S=S+5 n=n+2
T=T+n
输出T 结束
是
否
6、1
2
00
cos xdx x dx π
⎰+⎰的值为 1
3 学会求简单的定积分。

7、点P （1，0）到曲线⎩⎨
⎧==t
y t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距
离为 1 参数方程与极坐标相关知识请读教材与笔记
8、极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方__
2220x y x +-=_________.
9、 如图，PC 切
O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的
半径为3，2PA =，则PC =__4__，OE =___9
5__. 几何证明：相似、圆的简单问
题
10、某单位为了了解用电量y （度）与气温x （°C ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照
表：
由表中数据得线性回归方程ˆ
y bx a =+中2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量的度数约为 ．68 注意：线性回归方程（读教材）。

线性回归方程y=bx+a 过定点_(,)x y ___.
11、已知随机变量ζ服从正态分布
2
(3,),N σ则(3)P ξ<= （ D ） 理解正态分布简单问题
(A)1
5
(B)14
(C)13
(D)12
12、在区间[-1，1]上随机取一个数x ，
cos
2x
π的值介于0到21
之间的概率为 ( A ).
A.31
B.π2
C.21
D.32 请复习几何概型、条件概率
13、某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 气温x （°C ） 18 13 10 －1 用电量y （度） 24
34
38
64
· P
C
A D
E
O 96 98 100 102 104 0.150
0.125 0.100 0.075
0.050
克
频率/组
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是 ( A ).
A.90
B.75
C. 60
D.45 读懂频率分布直方图
14、设a 、b 、c 、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 ( D )
A.ad －bc=0
B.ac －bd=0
C. ac+bd=0
D.ad+bc=0 复数必考简单题，要准确
复数21()2-对应的点位于第 二 象限 234
i i i i +++= 0 复数172i i +-的虚部
为 3 15、圆
104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 C
A ．36 B. 18 C. 26 D. 25 与圆相关问题注意利用圆的平面几何性质解决！
若圆224x y +=与圆
22
260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长
为，则=a _1_.k.s.5.u.c.o.m
16、设直线l ⊂平面α，过平面α外一点P 与,l α都成0
30角的直线有且只有：( B )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
17、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 5 “线性规划问题”要准确画出可行
域
已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨
≥-⎪⎩
则2x y +的最大值是 4 表示的平面区域的面积是 1
设m 为实数，若22
250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫
-+≥⎧⎪
⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪
⎪⎪+≥⎩⎩⎭
，则m 的取值范围是
__40,3⎡⎤⎢
⎥⎣⎦______。

18、有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A
B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；
②A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤；③
A
B
的充分条件是()()card A card B ≤；
④A B =的充要条件是()()card A card B =； 其中真命题的序号是 B A ．③④ B．①② C．①④ D．②③
“a=1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的 ( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
设p ：x 2
－x －20>0,q ：
2
12--x x <0,则p 是q 的 A
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
19、已知(x x 1
2-
)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为143
，则展开式中常数项是
D
(A)－1 (B)1 (C)－45 (D)45 注意准确利用通项公式：第1r +项：
1r n r r
r n T C a b
-+=
20、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 78 .(用数字作答) 排列组合问题注意“分类计数”
21、已知函数x
y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 D
A ．()22()
x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)
f x x x =⋅> C ．
()22()x f x e x R =∈ D ．
()2ln ln 2(0)
f x x x =+>
22、设1
2
3
2,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， 2
23、函数
()
f x 对于任意实数x 满足条件
()()
1
2f x f x +=
，若
()15,
f =-则
()()5f f =
15-
24、已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA •=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设
OC =m OA +n OB (m 、n∈R)，则n m
等于 3
设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ B ）
A.0PA PB +=
B.0PC PA +=
C.0PB PC +=
D.0PA PB PC ++=
设向量a,b,c 满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若｜a ｜=1,则｜a ｜22
||b ++｜c ｜2的值是
4
25、已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ D
）Ａ．
Ｃ．
Ｄ．
26、设M 是椭圆22
1
43x y +=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则
12MA MA •的 最小值等于 1- .
已知F 是双曲线2
2
1
412y x
-=的左焦点，定点A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则
||||PF PA + 的最小值为_ 9_ （掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识，定准,,,a b c p ，
注意用定义解题） 27、已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 (D )
（Ａ）
(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）
(][),13,-∞-+∞
设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为______4_____。

28、已知
0,1413
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan 的值.
（） （Ⅱ）求β.（3πβ=
） 变角：()βααβ=-- ）
29、已知
1
tan 3α=-
，cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （=1） （2
）求函数())cos()f x x x αβ=
-++的最大值．
（先化简为：x ）
30、已知函数2π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x
=+．
（I ）设
x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()
g x 的值．（提示：
0 π
2π6x k =-
，
当k 为偶数时，
01π13()1sin 12644g x ⎛⎫
=+-=-=
⎪⎝⎭，当k 为奇数时，01π15
()1sin 12644g x =+=+=
．）
（II）求函数
()()()
h x f x g x
=+的单调递增区间．（
5ππ
ππ
1212
k k
⎡⎤
-+
⎢⎥
⎣⎦
，
（k∈Z）．）
在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：.5.u.c25
.o.m (II) 求sin
2
4
A
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭的值
2
10
31、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品
作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495】，（495，500】，……，（510，515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4
根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。

40(0.0550.015)12
⨯⨯+⨯=（1）
（3）231 703
32、某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学
期望；
1.48 Eξ=
（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞
)上单
调递增”为事件A，求事件A的概率. （0.76）
33、某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.
已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考
试，科目A每次考试成绩合格的概率均为2
3，科目B每次考试成绩合格的概率均为
1
2.假设
各次考试成绩合格与否均互不影响.
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（1 3）
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，
Y012
P
63
130
56
130
11
130
求ξ的数学期望E ξ. （8
3）
34、矩形ABCD 中，，沿对角线BD 将三角形ABD 向上折起，使点A 移动到点P ，使点P 在平面BCD 上的射影F 在DC 上（如右图）.（I ）求证：PD ⊥PC ；
（II ）求二面角P —DB —C 的大小；
22arcsin
3 （III ）求直线CD 与平面PBD 所成角的大小。

2arcsin
3
35、四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。

已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。

(Ⅰ)证明：SA ⊥BC ；
(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； （
22
arcsin
11） 36、如图，在直三棱柱111
ABC A B C -中，,AB BC D =、E 分
别为1
BB 、
1
AC 的中点。

（I ）证明：ED 为异面直线
1
BB 与
1
AC 的公垂线；
（II ）设
12,AA AC AB ==求二面角11A AD C --的大小。

60
37、已知集合
22
2|
{-+=x x x A ＜}1， B={x| x2+4x -5>0 }，|||{m x x C -=＜1，}R m ∈．
（Ⅰ）求B A ⋂； {|A B x =1＜x ＜}2
（Ⅱ）若()A
B C ⊆，求m 的取值范围． （1≤m ≤2 ）
38、已知函数f(x)＝ln(x2 +1) -ax （a ∈R ）．
（Ⅰ）若函数f(x)在R 上是增函数，求a 的取值范围； （(-∞，-1]) （Ⅱ）若|a|＜1，求f(x)的单调增区间．（提示：分类讨论）
39、设函数
2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当
1
2b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
B
C
C 1
B 1
A 1
D
E
40、已知动点P 到直线
334
-
=x 的距离是到定点（0,3-）的距离的332倍.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程； （1
422
=+y x ）
（Ⅱ）如果直线
:(1)l y k x =+)0(≠k 与P 点的轨迹有两个交点A 、B ，求弦AB 的垂直平分
线在y 轴上的截距0
y 的取值范围. （
]43
,0()0,43[⋃-
）
41、已知抛物线y x 42
=及定点P （0，8），A 、B 是抛物线上的两动点，且)0(>=λλPB AP 。

过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．
（Ⅰ）证明：点M 的纵坐标为定值； （点M 的纵坐标为定值8-）
（Ⅱ）是否存在定点Q ，使得无论AB 怎样运动，都有BQP AQP ∠=∠？证明你的结论． (0,8)Q -
42、已知抛物线C ：
x y 42
=的准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点(A 在M 、B 之间)．
(1)F 为抛物线C 的焦点，若
||45||AF AM =
，求k 的值； （
43
±=k ） (2)如果抛物线C 上总存在点Q ，使得QB QA ⊥，试求k 的取值范
围．（⎥⎦⎤
⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣
⎡-55,00,55 ） 43、设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为1
1
3OF ．
（Ⅰ）证明a =；
（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222
x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交
椭圆于
1
Q ，
2
Q 两点，则
12
OQ OQ ⊥．
()t =
44、设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()n=1,
2,3.
（Ⅰ）求证：数列
{}
1+n
S
为等比数列； （Ⅱ）求通项公式
n
a ；（
1*
23,N n n a n -=⨯∈ ）
（Ⅲ）设
2n n
n S a b =
,求证：1...21<+++n b b b .
45、无穷数列{}n a 满足：1221+-=
+n n
n a a n
n λ（0≥λ为常数）.
（1）若,11=a 且数列
{}n na 为等比数列，求λ； （ 0=λ ） （2）已知,
11=a 3=λ，若8050<<m a ，求m ；（ 5m = ）
（3）若存在正整数N ，使得当N n >时，有n
n a a <+1，求证：存在正整数M ，使得当M
n >时，有
.
0<n a
46、现有一组互不相同且从小到大排列的数据：
5
43210,,,,,a a a a a a ，其中
0=a ．为提取
反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记
5
10a a a T +++= ，
5n
x n =
，
)(1
10n n a a a T y +++=
，作函数)(x f y =，使其图象为逐点依次连接点
)
5,,2,1,0)(,( =n y x P n n n 的折线．
（Ⅰ）求)0(f 和)1(f 的值； （0， 1 ） （Ⅱ）设
n
n P P 1-的斜率为
)
5,4,3,2,1(=n k n ，判断
5
4321,,,,k k k k k 的大小关系；
（k1<k2<k3<k4<k5.）
（Ⅲ）证明：当)1,0(∈x 时，x x f <)(； 47． 给定平面上的点集
{}123,,,,(6)
n P P P P P n =≥.点集P 中任意三点不共线，将P 中
所有的点任意分成(2)k k ≥组，使得每组至少三个点，且每个点恰属于一组.然后将同一组的任意两点都用线段相连,不同组的点间不用线段连接.这样得到一个图案G ,不同的方式得到不同的图案,将图案G 中所含的以点集P 中的点为顶点的三角形的个数记为()m G . (Ⅰ)当7,2n k ==时，求()m G 的值； （5 ）
(Ⅱ) 当13,3n k ==时，求()m G 的最小值； （18 ）
(Ⅲ) 当2010,100n k ==时，求()m G 的最小值； （115900） 高考前热身练习 参考答案
28、已知
0,1413
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.
解：（Ⅰ）由
1cos ,072παα=<<
，得sin α===
∴sin 7
tan cos 1ααα===
22tan tan 21tan 1ααα==--
（Ⅱ）由
02π
αβ<<<
，得
02π
αβ<-<
又∵
()13cos 14αβ-=
，∴()
sin 14αβ-== 由
()
βααβ=--得：
()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+
-1131
7147142=⨯+=
所以
3π
β=
29、已知
1
tan 3α
=-
，
cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；
（2）求函数
())cos()f x x x αβ=-++的最大值．
解：（
1）由
cos 5β=
(0,)βπ∈ 得tan 2β
=，
sin 5β=
于是tan()αβ+=12
tan tan 31
21tan tan 13αβ
αβ-++==-+
.
（2）因为1
tan ,(0,)
3ααπ=-∈
所以
sin αα=
=
()sin cos cos 5555f x x x x x =-
-+-
x =
()f x
30、已知函数2π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x
=+．
（I ）设
x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()
g x 的值．
（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
解：（I ）由题设知
1π
()[1cos(2)]
26f x x =++． 因为
x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以
0π
26x +
πk =，
即
0 π
2π6x k =-
（k ∈Z ）．
所以
0011π
()1sin 21sin(π)
226g x x k =+=+-． 当k 为偶数时，
01π13()1sin 12644g x ⎛⎫
=+-=-=
⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，
01π15
()1sin 12644g x =+=+=
．
（II ）
1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=
++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
1π3131
3cos 2sin 2cos2sin 22622222
x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=
+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
1π3sin 2232x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭． 当
πππ
2π22π232k x k -++
≤≤，即
5ππππ1212k x k -
+≤≤（k ∈Z ）时，
函数
1π3()sin 2232h x x ⎛
⎫=++
⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．
31、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品
作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495】，（495，500】，……，（510，515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量，
在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； 从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。

分析：（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12⨯⨯+⨯=件； （2）Y 的所有可能取值为0，1，2；
22824063(0)130C P Y C ===，11122824056(1)130C C P Y C ===，2
122
4011
(1)130C P Y C ===，
Y 的分布列为
（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为
2
312
28
5
40
1211282726
2111231213214039383736371970354321C C C ⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

Y 0 1
2 P
63130 56130 11
130
31、解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取
值为3，2，1，0，所以
ξ的可能取值为1，3.
P（ξ=3）=P（A1·A2·A3）+ P（
3
2
1
A
A
A⋅
⋅
）
= P（A1）P（A2）P（A3）+P（
)
(
)
(
)
3
2
1
A
P
A
P
A
）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（
ξ=1）=1－0.24=0.76.
所以
ξ的分布列为
E
ξ=1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）解法一因为
,
4
9
1
)
2
3
(
)
(2
2ξ
ξ-
+
-
=x
x
f
所以函数
)
,
2
3
[
1
3
)
(2+∞
+
-
=ξ
ξ在区间
x
x
x
f
上单调递增，
要使
)
,2[
)
(+∞
在
x
f上单调递增，当且仅当
.
3
4
,2
2
3
≤
≤ξ
ξ即
从而
.
76
.0
)1
(
)
3
4
(
)
(=
=
=
≤
=ξ
ξP
P
A
P
32、解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，
则
1111
211 ()()()
323 P A B P A P B
=⨯=⨯=
.
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为1 3.
(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114.
3233399=⨯+⨯=+=
112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++
2112111211114,
3223223326693=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+
12111211111,
3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=
故
4418
234.
9993E ξ=⨯+⨯+⨯= 答：该考生参加考试次数的数学期望为8
3.
33、【解】：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品， 记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种， （Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅
()()P C P A B A B =⋅+⋅()(
)P A B P A B
=⋅+⋅
()()
()()P A P B P A P B
=⋅+⋅0.50.40.50.6=⨯+⨯0.5=
（Ⅱ）D A B =⋅
()()
P D P A B =⋅()()P A P B
=⋅0.50.4=⨯0.2=
()()
10.8
P D P D =-=
（Ⅲ）
()
3,0.8B ξ
，故ξ的分布列
()300.20.008
P ξ===
()1
2310.80.20.096
P C ξ==⨯⨯= ()2
2320.80.20.384
P C ξ==⨯⨯=
()330.80.512
P ξ===
所以30.8 2.4E ξ=⨯=
34、解：（I ）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥CD ，DA ⊥AB ，∵A 点移动到了P 点 ∴PD ⊥PB ，又∵P 点在平面BCD 上的射影在CD 上，∴过P 点作PF ⊥CD ， ∴PF ⊥面BCD ， ∴BC ⊥面PCD ， ∴BC ⊥PD ， ∴PD ⊥面PBC ， ∴PD ⊥PC ；
（II ）解：∵PF ⊥面BCD ，∴过点F 作FE ⊥BD ，连结PE ，∴∠PEF 为二面角P —BD —C 的平面角， ∵PD ⊥PC ，∴△CPD 为Rt △，
26,PD CD PC ==∴=
，又∵在中，， ∴PE ＝3 ， ；
（III ）解：过F 点作FG ⊥PE ，由（2）可知FG ⊥面PBD ，连结GD ，∴∠GDF 为直线CD 与平面PDB 所成的角， ∵在中，，∴
DF ＝2，
∵在中，，
1,3EF FG ∴=∴=
，
， ． 35、四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。

已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。

(Ⅰ)证明：SA ⊥BC ；
(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； 解答：解法一：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面
ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =，
又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD
BC ∥， 故SA AD ⊥
，由AD BC ==SA =
AO =1SO =，SD =．
SAB △的面积
211122S AB
SA ⎛=-= ⎝．
连结DB ，得DAB △的面积
21
sin13522S AB AD =
=
A
设D 到平面SAB 的距离为h ，由于
D SAB S ABD
V V --=，得
1211
33h S SO S
=，
解得h =
设SD 与平面
SAB 所成角为α
，则
sin 11h SD α=
==．
所以，直线
SD 与平面SBC 所成的我为arcsin
11．
解法二：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面
ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =．
又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x
0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．
（Ⅱ）取AB 中点E ，
022E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，， 连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，
1442G ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．
所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．
D ，(DS =．
22cos 11
OG DS OG DS
α
=
=
，
sin β=
，
所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为
arcsin
．
36、解法一：（Ⅰ）设O 为AC 中点，连接EO ，BO ，则EO ∥＝1
2C1C ，又C1C ∥＝B1B ，所以EO ∥＝DB ，EOBD 为平行四边形，ED ∥OB ． ∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ，
又平面ABC ⊥平面ACC1A1，BO ⊂面ABC ，故BO ⊥平面ACC1A1， ∴ED ⊥平面ACC1A1，BD ⊥AC1，ED ⊥CC1，
∴ED ⊥BB1，ED 为异面直线AC1与BB1的公垂线．
（Ⅱ）连接A1E ，由AA1＝AC ＝2AB 可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E ⊥AC1，又由ED ⊥平面ACC1A1和ED ⊂平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E ⊥平面ADC1．作EF ⊥AD ，垂足为F ， 连接A1F ，则A1F ⊥AD ，∠A1FE 为二面角A1－AD －C1的平面角． 不妨设AA1＝2，则AC ＝2，AB ＝2ED ＝OB ＝1，EF ＝AE ×ED AD ＝2
3
，
tan ∠A1FE ＝3，∴∠A1FE ＝60°．所以二面角A1－AD －C1为60°．
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O －xyz ，其中原点O 为AC 的中点． 设A(a ，0，0)，B(0，b ，0)，B1(0，b ，2c)．
则C(－a ，0，0)，C1(－a ，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b ，c)． ……3分 ED →＝（0，b ，0），BB 1→＝(0，0，2c)． ED →·BB 1→
＝0，∴ED ⊥BB1． 又AC 1→
＝(－2a ，0，2c)，
ED →·AC 1→
＝0，∴ED ⊥AC1， ……6分
所以ED 是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)， BC →＝(－1，－1，0)，AB →＝(－1，1，0)，AA 1→
＝(0，0，2)， BC →·AB →＝0，BC →·AA 1→
＝0，即BC ⊥AB ，BC ⊥AA1，又AB ∩AA1＝A ， ∴BC ⊥平面A1AD ．
又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， EC →＝(－1，0，－1)，AE →＝(－1，0，1)，ED →
＝(0，1，0)， EC →·AE →＝0，EC →·ED →
＝0，即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又AE ∩ED ＝E ，
A
B C
D
E A1
B1
C1
O
F
∴ EC ⊥面C1AD ． ……10分
cos ＜EC →，BC →＞＝EC →·BC →
|EC →|·|BC →|＝12，即得EC →和BC →的夹角为60°．
所以二面角A1－AD －C1为60°．
37．解：（Ⅰ）∵
22
2|
{-+=x x x A ＜1} 得
2x+2
x-2
<1 ⇔ (x+4)（x -2)<0 …… 2分 ∴4|{-=x A ＜x ＜2} …… 3分 x2+4x -5>0 ⇔ (x+5)（x -1)>0 ∴{|51}B x x x =<->或 ∴{|A B x =1＜x ＜}2
（Ⅱ）∵|||{m x x C -=＜1，}R m ∈
即1|{-=m x C ＜x ＜},1R m m ∈+ …… 8分 ∵()A
B C ⊆
1-m ≤1
∴ 1+m ≥2 …… 10分 1-m ＜1+m
∴1≤m ≤2 …… 12分 38．解：（Ⅰ） f ˊ(x) ＝2x
x2＋1 - a …… 2分
(ⅰ) 当 f ˊ(x)>0， x ∈（,-∞+∞）时，f(x)是（,-∞+∞）上的增函数 f ˊ(x) ＝2x
x2＋1
- a ＞0在（,-∞+∞）上恒成立
a ＜2x
x2＋1在（,-∞+∞）上恒成立， …… 3分
令g(x)＝2x
x2＋1
当x 的值等于0时，g(x)的值等于0，
当0x ≠时，
2()1
g x x x =
+
，由于1(,2][2,)
x x +∈-∞-+∞，故()[1,0)(0,1]g x ∈-
由上述，当(,)x ∈-∞+∞时， ()[1,1]g x ∈-，
所以，当1a <-时， 即a ＜2x
x2＋1在（,-∞+∞）上恒成立 …… 5分
（ⅱ）当a = -1时， f(x)的值等于ln(x2＋1)＋x f ˊ(x) ＝2x
x2＋1
＋1 0
所以f(x)是（,-∞+∞）上的增函数， …… 6分 (ⅲ) 当a> -1时，在（,-∞+∞）上存在一个区间其上有f ˊ(x)<0 所以f(x)不是（,-∞+∞）上的增函数
综上所求a 的取值范围是(-∞，-1]． …… 7分
（Ⅱ）① 当a ＝0时，解f ' (x)＞0得x ＞0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；…8分
②当a ≠0时，令f ' (x)＝0，△=1－a2
因为|a|<1，所以x ＝1－1－a2a 或x ＝1＋1－a2
a …… 10分
当0＜a ＜1时，由△＞0，f ' (x)＞0
函数f(x)在（1－1－a2a ，1＋1－a2
a ）上单调递增； ……12分
当－1＜a ＜0时，由△＞0，f ' (x)＞0
函数f(x)在（－∞，1＋1－a2a ）、（1－1－a2
a
，＋∞）上单调递增． ……14分
39、设函数
2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当
1
2b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23
111ln 1n
n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立． 解(I) 函数
2
()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞. 222'()211b x x b
f x x x x ++=+=
++，
令2
()22g x x x b =++，则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在
11,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭上递减， min 11()()22g x g b =-=-+.当12b >时，min 1()0
2g x b =-+>，
2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.'()0,f x ∴>
即当
1
2b >
时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。

（II ）分以下几种情形讨论：（1）由（I ）知当
1
2b >
时函数()f x 无极值点.
（2）当12b =时，2
1
2()2'()1x f x x +=+，11,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭时，'
()0,f x >
1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，'
()0,f x >12b ∴=时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

（3）当
1
2b <
时，解'()0f x =
得两个不同解1x =
，2
x =. 当0b <
时，
11x =
<-
，21x =>-，
()()121,,1,,
x x ∴∉-+∞∈-+∞
此时()f x 在
()1,-+∞
上有唯一的极小值点
2x =
.
当
1
02b <<
时，()12,1,,x x ∈-+∞
'()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，
此时()f x
有一个极大值点
112x --=
和一个极小值点212x -+=
.
综上可知，0b <时，()f x 在
()1,-+∞
上有唯一的极小值点
212x -+=
；
1
02b <<
时，()f x
有一个极大值点112x -=
和一个极小值点212x -+=
；
1
2b ≥
时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

（III ） 当1b =-时，
2
()ln(1).f x x x =-+
令332
()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32
'
3(1)()1x x h x x +-=+在
[)0,+∞上恒正， ()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.
即当
()
0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23
ln(1)x x x +>-，
对任意正整数n ，取
1x n =
得23
111
ln(1)n n n +>-
40、解：（Ⅰ）设动点),(y x P ，由题意知
22)3(33
2334y x x ++=+
.
142
2=+∴y x . 即动点P 的轨迹方程是1422=+y x .
（Ⅱ）联立方程组22
(1),
1.4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：
0448)41(2222=-+++k x k x k . 从而 22122
21224816081444.14k k x x k k x x k ⎧
⎪∆=+>⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-⋅=⎪+⎩，， 弦AB 的中点坐标为：)41,414(2
22k k k k ++-
弦AB 的线段垂直平分线方程为
)414(1412
2
2k k x k k k y ++-=+-. 所以垂直平分线在y 轴上的截距为：
20413k k
y +-
=，()0k ≠.
故弦AB 的线段垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围为
]43,0()0,43[⋃-
.
41、 解：（1）方法1：设),(),,(2211y x B y x A ，抛物线方程为
241x y =
，求导得x y 21
='，所以，过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别为：
111)(21
y x x x y +-=
，
222)(21y x x x y +-=
，即2
2
22114121,4121x x x y x x x y -=-=，解得)4,2(2121x x x x M +。

又)0(>=λλPB AP ，得)8,()8,(2211-=--y x y x λ，即
⎩⎨
⎧-=-=-)
2()
8(8)1(2121y y x x λλ
将式（1）两边平方并代入
22221141,41x y x y ==
得
22
1y y λ=，再代入（2）得82=y λ，解得
λλ8
,821=
=y y 且有32422
221-=-=-=y x x x λλ，所以，点M 的纵坐标为-8。

方法2：（II ）
,AB x 直线与轴不垂直:8.AB y kx =+设 1122(,),(,).A x y B x y
28,
1.4y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩由可得
24320x kx --=， 124x x k +=，1232x x =-
抛物线方程为
211
,.42y x y x '=
=求导得
所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是
1112k x =
，221
2k x = ，
221112221111
:();:()
4242MA y x x x x MB y x x x x ∴-=--=-
解得：221212
1221111448
4M x x x x y x x x x -+===--
即点M 的纵坐标为定值8-
（2）考虑到AB//x 轴时，显然要使BQP AQP ∠=∠，则点Q 必定在y 轴上，
设点(0,)Q t ，此时1212,AQ BQ y t y t
k k x x --=
=，
结合（1）中
12124,32
x x k x x ∴+==-
故
22
121212121212
()4()440
4AQ BQ
x x t t
x x x x t x x k k x x x x --+-++=+==对一切k 恒成立
即：(8)0k t +=
故当8t =-，即(0,8)Q -时，使得无论AB 怎样运动，都有BQP AQP ∠=∠
42、(1)法一：由已知)0,1(-M
设),(11y x A ，则|1|1||12
++=x k AM ，
|1|4)1()1(||112
12
121+=+-=+-=x x x y x AF ， 由||5||4AF AM =得，
5142
=+k ， 解得
43
±
=k ………………………2分
法二：记A 点到准线距离为d ，直线l 的倾斜角为α，
由抛物线的定义知
d
AM 45||=
∴
54||cos ±=±=AM d α， ∴43
tan ±
==αk
（2）设
)
,(00y x Q ，),(11y x A ，),(22y x B
由⎩⎨⎧+==)1(42x k y x y 得0442=+-k y ky 首先由
⎩⎨⎧>-≠0161602k k 得11<<-k 且0≠k 1021
201010104
44y y y y y y x x y y k QA +=--=--=
，同理
204y y k QB += 由QB QA ⊥得1
4
42010-=+⋅+y y y y ，
即：16)(212102
-=+++y y y y y y ，
∴
0204
02
0=++
y k y
80)4
(2≥-=∆k ，得
5555≤≤-k 且0≠k ， 由11<<-k 且0≠k 得，
k 的取值范围为⎥⎦⎤
⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣
⎡-55,00,55 43、设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为1
1
3OF ．
（Ⅰ）证明a =；
（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222
x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交
椭圆于
1
Q ，
2
Q 两点，则
12
OQ OQ ⊥．
（Ⅰ）证法一：由题设
212
AF F F ⊥及
1(0)
F c -，，
2(0)
F c ，，不妨设点()A c y ，，其中
0y >，由于点A 在椭圆上，有22
22
1
c y a b +=， 222
221a b y a b -+=，
解得
2
b y a =
，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 直线2AF 的方程为2
()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．
由题设，原点O 到直线1AF 的距离为1
1
3OF ，即
23c =
将222c a b =-代入原式并化简得22
2a b =
，即a =
．
证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，，
过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△
21
1BO F A OF F A
=
由椭圆定义得
122AF AF a
+=，又
113BO OF =
，所以
2212132F A
F A F A a F A
==
-，
解得
22a
F A =
，而22b F A a =，得22b a a =
，即a =． （Ⅱ）解法一：圆222
x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为2
00x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222
x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆
于两个不同的点
1
Q 和
2
Q ，因此点
111()
Q x y ，，
222()
Q x y ，的坐标是方程组
2
0022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ① ②的解．当00y ≠时，由①式得
200t x x y y -=
代入②式，得2
222
0022t x x x b
y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即
2222422
0000(2)4220
x y x t x x t b y +-+-=，
于是2012220042t x x x x y +=+，422
1222
00222t b y x x x y -=+
220112
1201t x x t x x y y y y --=
422
01201220
1()t x t x x x x x y ⎡⎤=
-++⎣⎦
2422
42200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭
422
022
00
22t b x x y -=+．
若
12
OQ OQ ⊥，则
4224224222
00001212222222
000000
22232()
0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++．
所以，4222
0032()0
t b x y -+=．由
22
2
00x y t +=，得422
320t b t -=．在区间(0)b ，内此方
程的解为
t =
．
当
00
y =时，必有
00
x ≠，同理求得在区间(0)b ，
内的解为
t =
．
另一方面，当
3t =
时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥．
综上所述，
(0)3t b b =
∈，使得所述命题成立．
44、证明：（Ⅰ）
2
+3=1+n n S S ,
)
1+(3=1+∴1+n n S S .
又3=1+1S {}1+∴n S 是首项为3，公比为3的等比数列且*
31,N n n S n =-∈.
（Ⅱ）1=n 时，2==11S a ,
1>n 时，)13()13(11---=-=--n n n n n S S a
)13(31
-=-n 132-⨯=n .
故
1*
23,N n n a n -=⨯∈.
（Ⅲ） ()11211232311
,1(31)(31)(31)3131n n n n n n n n
b n ----⨯⨯=<=->-----
)131
131()131131()131131(21...1322121---+⋅⋅⋅+---+---+<
+++∴-n n n b b b
1131
2121<--+=
n .
45、解：（１）2121n n a n n
a n λ+-=+，
1(1) 2.n n n a n na λ++∴=-
由
{}n na 为等比数列，知2-n λ与n 无关，故0=λ.
当0=λ时，数列
{}n na 是以１为首项，以2-为公比的等比数列.
（２）当3=λ时，2
3)1(1
-=++n na a n n n .
取n 为１，２，３，1,-n ，累乘得:
)53(74111
-⨯⨯⨯⨯=n a na n
（2≥n ）. 11,
a =
14(35)
(2)1(1). n n n a n
n ⨯⨯⨯-⎧≥⎪
∴=⎨⎪=⎩，
当2≥n 时，n n n n a a n n
n a a >⇒>+-=++1111
)23(.
而
80
,56,50654>=<a a a ，5=∴m
（３）当0=λ时，
01
21<+-=+n n
a a n n ，说明
n
n a a 与1+异号，此时不存在正整数N ，使得当
N n >时，有n n a a <+1.
当0>λ时，必存在正整数0N （取大于λλ
2493++的正整数即可），使得当0n N >时，
有
1
1
22>+-n n
n λ，即存在正整数
N ，使得当
n N >时，有
11
>+n
n a a ；
因为存在正整数N ，使得当N n >时，恒有n
n a a <+1成立，
取
1
N 为
N 与N 的较大者，则必存在正整数
1
M N ≥，使得当M n >时，
<n a .
∴存在正整数M ，使得当M n >时，有.0<n a
46、现有一组互不相同且从小到大排列的数据：
5
43210,,,,,a a a a a a ，其中
0=a ．为提取
反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记
5
10a a a T +++= ，
5n
x n =
，
)(1
10n n a a a T y +++=
，作函数)(x f y =，使其图象为逐点依次连接点
)
5,,2,1,0)(,( =n y x P n n n 的折线．
（Ⅰ）求)0(f 和)1(f 的值； （Ⅱ）设
n
n P P 1-的斜率为
)
5,4,3,2,1(=n k n ，判断
5
4321,,,,k k k k k 的大小关系；
（Ⅲ）证明：当)1,0(∈x 时，x x f <)(；
（Ⅰ）解：
,
0)0(5
00
=++=
a a a f
,
1)1(5
05
0=++++=
a a a a f
（Ⅱ）解：
,
5,,2,1,5
11 ==--=
--n a T
x x y y k n n n n n n
因为a1<a2<a3<a4<a5,
所以k1<k2<k3<k4<k5.
（Ⅲ）证明：由于f (x)的图象是连接各点
)
5,,1,0)(,( =n y x P n n n 的折线，要证明
,
),(,).4,3,2,1()(),10()(1时当事实上只需证明n n n n x x x n x x f x x x f -∈=<<<<
x
x x x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x f x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =--+--<
--+--=+---=
------------1
1
1111
111111)
()()
()()
()()(
下面证明
.
)(n n x x f <
证法一：
对任何n (n=1,2,3,4),
.5
)()(])5([)5()())(5()())](5([)(51511111111n n n n n n n n n n n n n x n
T a a x f nT a a a a n a n a a n na n a a n a a n a a n a a n n a a =<++=
=+++++<-+++=-+++≤++-+++=++-+=+++ 所以
证法二： 对任何n （n=1,2,3,4）
.)(,,
5
)5(511)(511)]()()[(1)
(,1.5)(51)()()(152145121552111201n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x f x n
n k k k y y y y y y y y y y k x n
k k k y y y y y y y k <==--<+++-=-++-+--=--=≥=<+++=-++-+-=<+++++-综上时当时
当
47． 给定平面上的点集
{}123,,,,(6)
n P P P P P n =≥.点集P 中任意三点不共线，将P 中
所有的点任意分成(2)k k ≥组，使得每组至少三个点，且每个点恰属于一组.然后将同一组的任意两点都用线段相连,不同组的点间不用线段连接.这样得到一个图案G ,不同的方式得到不同的图案,将图案G 中所含的以点集P 中的点为顶点的三角形的个数记为()m G . (Ⅰ)当7,2n k ==时，求()m G 的值； (Ⅱ) 当13,3n k ==时，求()m G 的最小值； (Ⅲ) 当2010,100n k ==时，求()m G 的最小值；
20、解：（I ）当n=7，k=2时，分组方法只能是其中一组3个点，另一组4个点， 于是m(G)=
33
345
C C +=
（Ⅱ）当n=13，k=3时，由于13=3+3+7=3+4+6=3+5+5=4+4+5 于是m(G)=33333737C C C ++= 或m(G)=33334625C C C ++= 或m(G)=33335521C C C ++= 或m(G)=
33344518
C C C ++=
由上可知：所求m(G)的最小值为18．
（III ）由（Ⅱ）可受到启发：分组越均匀，m(G)的值越小． 设m(G)的最小值为
m ，G 由分组
12100
,,,X X X 得到，其中
()
1,2,,100i X i =为
第i 组的点构成的集合．设
()
1,2,,100i i X x i ==．
则
121002010
x x x +++=，且
12100
33
3
0x x x
m C C C =+++．
下面证明：当1100i j ≤≠≤时，有1
i j x x -≤
（即m(G)取最小时，任意两组的点的个数之差不超过1）．
事实上，若存在1100i j ≤≠≤，使得2i j x x -≥，不妨设i j x x >．
则作点集P 的另一种分组
12100
,,,Y Y Y ，其中
()
1,2,,100i Y i =为第i 组的点构成
的集合．使得
()()
(),1
1k
k k i j
x k i k j y Y x k i x k j ⎧≠≠⎪
==-=⎨⎪+=⎩．
于是，对于由分组12100
,,
,Y Y Y 得到的图案G '，有
()12100
33
3
y y y
m G C C C '=+++．
从而 ()0
m G m '-
3333i j i j
y y x x C C C C =+--
33331
1i j i j x x x x C C C C -+=+--
()
332323111i j j i i j
x x x x x x C C C C C C ---=++-+-
221
0j i x x C C -=-<
()
1j i x x <-
∴
()0
m G m '<，这与
m 的最小性矛盾．
故：对任何1100i j ≤≠≤，都有1
i j x x -≤．
又2010=100⨯20+10=90⨯20+10⨯21， ∴m(G)的最小值33
020219010115900
m C C =⨯+⨯=．。