北京市丰台区高三数学下学期统一练习(二)理(丰台二模)

丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）
数学（理科）
第一部分（选择题 共40分）
一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 复数(34)i i +的虚部为
（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 【答案】A
解析2
(34)3443i i i i i +=+=-+，所以虚部为3，选A. 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）0 【答案】B 解析
因为,a b r r 方向相反，所以设,0b ma m =<r r ，则有(4,)(,1)(,)x m x mx m ==，所以4mx m x
=⎧⎨=⎩，
解得2
2m x =-⎧⎨
=-⎩
，选B.
3.
41()x x
-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-6 【答案】A
解析展开式的通项公式为4421441()(1)k
k
k k k k k T C x
C x x
--+=-=-，由420k -=，解得2k =，所以常数项为22
34(1)6T C =⨯-=，选A.
4. 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“1322a a a +=”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 【答案】C
解析若{a n }为等差数列，一定有1322a a a +=。

若1322a a a +=，不妨取数列，0,0,0,2,0，
满足1322a a a +=，当数列不是等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“1322a a a +=”的充分而不必要条件，选C.
5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12
x π
=
对称的是
（A ） sin()23x y π=+
（B ） sin()23x y π
=-
（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3
y x π
=-
【答案】C
解析因为函数的周期是π，所以2T π
πω
=
=，解得2ω=，排除A,B.当12
x π
=
时，
sin(2)sin 11232y π
ππ=⨯
+==为最大值，所以sin(2)3y x π
=+图象关于直线12
x π=对称，选C. 6. 在平面区域01,01
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于1
4，则b 的取
值范围是
（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ） (1,)+∞
【答案】D
解析其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为
2
21224
b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率
2
2414
b b P ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．
7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是
(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72 【答案】B
解析从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间，可用1
33C =中选法，而6与8可以交换位置有2
22A =种方法，把6与8及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有3
36A =种方法，利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数
是32636⨯⨯=.选B ．
8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：
① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；
② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；
③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③ 【答案】D
解析①当a=4时，偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：
存在直线l ，如y=0，与图象G 恰有5个公共点；故①正确；②若对于[0,1]m ∀∈，由于偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：
直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a≤2；故②正确；③(1,)m ∀∈+∞，偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：
(4,)a ∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；
其中正确命题的序号是①②③．选D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。

【答案】1 解析由
2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，即222x y x +=，所以圆的标准方程为
22(1)1x y -+=，半径为1.
10.已知变量,x y 具有线性相关关系，测得(,)x y 的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5)，
其回归方程为ˆ 1.4y
x a =+，则a 的值是 。

【答案】0.9
解析样本数据的平均数1(123) 1.54x =
++=，1
(1245)34
y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

11.如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。

【答案】2
延长CO 交⊙O 于点E ，由相交弦定理可得AD•DB=CD•DE，所以4×3=CD×（8﹣CD ），
解得CD=2或6．因为CD ＜4，故CD=2．所以CD 的长为2．
12.若双曲线C:22
21(0)3
x y a a -
=>
则抛物线28y x =的焦点到C 的渐近线距离是______。

，即
c
a
=
c =，2222223c a a b a ==+=+
，解得2
3,a a ==22
133
x y -
=，所以双曲线的渐近线为y x =±，不妨取渐近线为0x y -=。

抛物线2
8y x =的焦点坐标为(2,0)
，由点到直线的距离公式可得，
d =
=
= 13.曲线1()f x x x =+
在1
2
x =处的切线方程是______，在x=x 0处的切线与直线y x =和y 轴围成三角形的面积为 。

【答案】340x y +-=，2 解析函数的导数为21'()1f x x =-，所以1
'()1432
f =-=-，即3
k =-，又115()2222f =+=，所以切线方程为51
3()22
y x -
=--，即340x y +-=。

可得在0x x =处的切线斜率为0201'()1f x x =-
，故方程为：002
00
11
()(1)()y x x x x x -+=--，令y x =可得02x y x ==，令0x =可得02y x =
，故三角形的面积为00
12
222S x x =⨯
⋅=.
14.在圆22
25x y +=上有一点P (4,3)，点E ,F 是y 轴上两点，且满足PE PF =,直线PE ，PF 与圆交于C ，D ，则直线CD 的斜率是________。

【答案】
43
解析过P 点作x 轴平行线，交圆弧于G ，连接OG ，则：G 点坐标为（﹣4，3），PG ⊥EF ．因为PEF 是以P 为顶点的等腰三角形，所以PG 就是角DPC 的平分线，所以G 就是圆弧CD 的中点，所以OG ⊥CD ．设CD 与y 轴交于点A ，PG 与CD 交与点M ，PG 与y 轴交与点N ，所以∠DAO+∠GOA=90°，又∠AMP+∠DA O=90°，所以∠CMP=∠GOA ．所以直线CD 的斜率等于
tan tan CMP GOA ∠=∠.直角三角形GON 中4
tan 3
GN GOA ON ∠=
=.
三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题13分） 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()32.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；
（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .
16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：
污染指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
34 140 18 73
121 210 40 45 78
23 65
79
207 81 60
42 101 38 163 154 22
27 36 151 49 103 135 20
16 48
根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.
分组 频数 频率 [0,50] 14 15
7
(50,100] a
x
17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE AB
⊥于E ，现将△A DE 沿D E 折起到△PDE 的位置（如图（2）
）. （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；
（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 长.
P
E B
E
D
B
A
C
C
D
图（1） 图（2）
18.（本小题13分）已知函数 ()2
1()2ln (21)2
f x x ax a x a R =+-+∈. （Ⅰ）当1
2
a =-
时，求函数f(x )在[1,e]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若a >0，讨论()f x 的单调性.
19.（本小题14分）已知椭圆C ：2
214
x y +=的短轴的端点分别为A,B,直线AM ,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,1
2
) 满足0m ≠，且3m ≠±. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；
（Ⅲ）若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值.
(100,150] 5
6
1 (150,200] b
y
(200,250]
2 15
1 合计
30
1
20.（本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，
1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把
集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c . （Ⅰ）求数列{b n }的通项公式，并写出数列
{}n c 的前4项；
（Ⅱ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，求数列{}n d 的通项公式，并说明理由； （Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和.n
S
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）
数学（理科）
一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 1； 10. 0.9； 11. 2； 13. 3x +y -4=0, 2； 14. 43
. 三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题13分） 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；
（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .
解: （Ⅰ）Θ22sin ()2.B C A +=
22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分
sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴=∴=Q ……………………….4分
60,0=∴<<A A πΘ°. …………………….6分
（Ⅱ）在ABC ∆中, ο
Θ60cos 22
2
2
⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==
,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分
3102
3852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=
∴∆οAC AB S ABC . …………………….13分
16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
34 140 18 73
121 210 40 45 78
23 65
79
207 81 60
42 101 38 163 154 22
27 36 151 49 103 135 20
16 48
根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.
解：（Ⅰ）10
1,51,3,6====y x b a , ………………………….4分 （Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=
3
2
52154=+，………..5分 4
0411(0),381P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,8183132)1(3
1
4=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P
,2783132)2(2
2
2
4
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ,81323
132)3(3
3
4=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P
4
44216(4)381
P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. ………………………….10分
X ∴的分布列为:
………………………….11分
ΘX ~B (4，
32), ∴3
8
324=⨯=EX . ………………………….13分
17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE AB
⊥于E ，现将△A DE 沿D E 折起到△PDE 的位置（如图（2）
）. （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；
（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 的长.
P
E B
E
D
B
A
C
D
图（1） 图（2）
解: （Ⅰ）Q DE AB ⊥，DE BE ∴⊥,DE ⊥PE , ……………….2分
Q E PE BE =I ， ∴DE ⊥平面PEB , PEB PB 平面⊂Θ,∴ BP ⊥ DE ; ……………………….4分
（Ⅱ）ΘPE ⊥BE ， PE ⊥DE ，DE BE ⊥,所以，可由DE ,BE ,PE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图），……………………………………………………………5分
∴设PE=a ，则B (0,4-a ,0),D (a ,0,0)，C (2,2-a ,0),P (0,0,a )，……………………7分
(0,4,)PB a a =--u u u r ，(2,2,0)BC =-u u u r
,……………………8分
设面PBC 的法向量),,(z y x n =,
(4)0,220,a y az x y --=⎧∴⎨-=⎩
令1y =, ∴4(1,1,)
a n a -=u u r , …………10分 …………….10分 Θ(,0,)PD a a =-u u u r
, ……………………….12分
ΘBC 与平面PCD 所成角为30°,
∴sin 30cos ,PD n ︒=u u u r r
. ……………………….11分
2
2
2
(4)1
2
(4)22a a a a a --=
-⨯+
， 解得：a=
45,或a=4(舍)，所以，PE 的长为4
5
.……………………….13分 18.（本小题13分）已知函数 ()2
1()2ln (21)2
f x x ax a x a R =+-+∈.
（Ⅰ）当1
2
a =-时，求函数f(x )在[1,e]上的最大值和最小值；
x
y
z
（Ⅱ）若a >0，讨论()f x 的单调性.
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, ……………………….1分 当2
1
-
=a 时，,2)2)(2()(x x x x f -+-=' ……………………….2分
令()0,f x '=在[1,e ]上得极值点,2=x
x )2,1[
2 ],2(e
)(x f '
+
-
)(x f
增
12ln 2-
减
……………………….4分
,4
2)(,41)1(2
e e
f f -=-= ……………………….5分
Θ),()1(e f f <max min 1
()(2)2ln 21,()(1)4
f x f f x f ∴==-==-. ………………….7分
（Ⅱ）(2)(1)
()x ax f x x
--'=， ……………………….8分
①
2
1
0<
<a 时，由()f x '>0得0<x <2或x>a 1,所以f(x)的单调增区间是(0,2),1(,)a +∞,
由()f x '<0得2<x <1a ,所以f (x )的单调减区间是(2,1
a
)； ……………………….10分 ②2
1
=
a 时，()0f x '≥在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当(2)0f '=， ()f x ∴在（0，+∞）单调递增； ……………………….11分
③当2
1
>
a 时，由()f x '>0得0<x <1a 或x >2,所以f (x )的单调增区间是(0,1a ),(2,)+∞,
由()f x '<0得1a <x <2,所以f (x )的单调减区间是(1
a
,2). ……………………….13分
19.（本小题14分）已知椭圆C ：22
14
x y +=的短
轴的端点分别为A,B （如图）,直线AM ,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,
1
2
) 满足0m ≠，且3m ≠±.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；
（Ⅲ）若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值. 解：（Ⅰ）依题意知2a =,3=c ,2
3=∴e ; ……………………… 3分
（Ⅱ）Θ)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,
1
2)，且0m ≠， ………………………4分 ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m
23
,
∴直线AM 的方程为y =121+-x m
,直线BM 的方程为y =123
-x m , ……………6分
由⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+,
121,142
2x m y y x 得()
22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,
11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭
………………………8分
由⎪⎩
⎪⎨
⎧-==+,
123,1422
x m y y x 得()
012922=-+mx x m ， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪
++⎝⎭
； ………………………10分 （Ⅲ）Θ1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=
∠,1
||||sin 2
BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||
||
MA MB ME MF =, ………………..12分
∴
22
5,41219m m m m
m m m m =--++
Θ 0m ≠，
∴整理方程得22
1
15
11
9
m m =
-++，即22(3)(1)0m m --=， 又
Θm ≠∴230m -≠， 12
=∴m ，1m ∴=±为所求. ………………14分
20.（本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，
1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把
集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .
（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式，并写出数列
{}n c 的前4项；
（Ⅱ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，求数列{}n d 的通项公式，并说明理由； （Ⅲ）求数列
{}n c 的前n 项和.n
S
解：（Ⅰ）设等比数列{}n b 的公比为q ，
Θ11431,18b a b a ===+=，则q 3=8，∴q =2，∴b n =2n -1， ………………..2分 Θ数列{}n a 的前4项为1,4,7,10，数列{b n }的前4项为1,2,4,8，
∴数列{}n c 的前4项为1，2，4，7； ………………..3分
（Ⅱ）据集合B 中元素2，8，32，128∉A ，猜测数列{}n d 的通项公式为d n =2
2n -1
.
………………..4分
Θd n =b 2n ，∴只需证明数列{b n }中，b 2n-1∈A ，b 2n ∉A （n N *∈）.
证明如下：
Θb 2n +1-b 2n-1=22n -22n -2=4n -4n -1=3×4n -1,即b 2n +1=b 2n -1+3×4n -1，
若∃m ∈N *
,使b 2n -1=3m -2，那么b 2n +1=3m -2+3×4n -1=3(m +4n-1
)-2，所以，若b 2n -1∈A ，则b 2n +1∈A .因为b 1∈A ，重复使用上述结论，即得b 2n -1∈A （n N *∈）。

同理，b 2n+2-b 2n =2
2n +1
-2
2n -1
=2×4n -2×4n -1=3×2×4n -1,即b 2n +2=b 2n +3×2×4n -1，因为“3×2×4n -1
” 数
列{}n a 的公差3的整数倍，所以说明b 2n 与b 2n +2()n N *∈同时属于A 或同时不属于A ， 当n =1时，显然b 2=2∉A ，即有b 4=2∉A ，重复使用上述结论， 即得b 2n ∉A ，∴d n =2
2n -1
； ………………………………………8分
（Ⅲ）（1）当n =1时，所以因为111b a ==，所以S 1=1； ………………..9分 （2）当n ≥2时，由（Ⅱ）知，数列{b n }中，b 2n -1∈A ，b 2n ∉A ，则k N *∃∈，且k<n ，使得
21
1
n k k
n i i
i i S a b -===+∑∑12()()(14)()(331)2(41)
21423
k k n k n k a a b n k n k --+-----=+=+
-.
……………….. 11分 下面讨论正整数k 与n 的关系： 数列{}n c 中的第n 项不外如下两种情况：
① 2k n b c =或者② n k n a c -=，
若①成立，即有213()223(1)2k n k n k ---<<-+-， 若②成立，即有212123()22k k n k -+<--< ，
∴有212123123233k k k k n --+-++<<或者212123223233
k k k k n -+++++<<
， 显然212323k k -++=22
2[(21)]3k k -+⨯+∉N *，所以
212123123233k k k k n -++-++<<. 综上所述，21211,1
()(331)2(41)231232,(,)(,)2333k k k n n S n k n k k k n k n N -+*
=⎧⎪=⎨----+-+++∈∈⎪
⎩
. ………………..14分。